Критерий устойчивости Найквиста

В теории управления и теории устойчивости — критерий устойчивости Найквиста или критерий устойчивости Стрекера-Найквиста , независимо открытый немецким инженером-электриком Феликсом Штрекером [ де ] в компании Siemens в 1930 году. ^[1]^[2]^[3] и шведско-американский инженер-электрик Гарри Найквист из Bell Telephone Laboratories в 1932 году. ^[4] — графический метод определения устойчивости динамической системы .

Поскольку он рассматривает только график Найквиста разомкнутых систем , его можно применять без явного вычисления полюсов и нулей как замкнутой, так и разомкнутой системы (хотя количество каждого типа особенностей правой полуплоскости надо знать). В результате его можно применять к системам, определяемым нерациональными функциями , например к системам с задержками. В отличие от графиков Боде , он может обрабатывать передаточные функции с особенностями в правой полуплоскости. Кроме того, существует естественное обобщение на более сложные системы с множеством входов и выходов , такие как системы управления самолетами.

Критерий устойчивости Найквиста широко используется в электронике и технике управления , а также в других областях для проектирования и анализа систем с обратной связью . Хотя Найквист является одним из наиболее общих тестов стабильности, он по-прежнему ограничен линейными стационарными (LTI) системами. Тем не менее, существуют обобщения критерия Найквиста (и графика) для нелинейных систем, такие как критерий окружности и масштабированный относительный график нелинейного оператора . ^[5] другие критерии устойчивости , такие как методы Ляпунова Кроме того, для нелинейных систем можно применять и .

Хотя Найквист представляет собой графический метод, он дает лишь ограниченное представление о том, почему система стабильна или нестабильна или как модифицировать нестабильную систему, чтобы сделать ее стабильной. Такие методы, как диаграммы Боде , хотя и менее общие, иногда являются более полезным инструментом проектирования.

сюжет Найквиста

График Найквиста — это параметрический график частотной характеристики, используемый в автоматическом управлении и обработке сигналов . Чаще всего графики Найквиста используются для оценки стабильности системы с помощью обратной связи . В декартовых координатах действительная часть отображается передаточной функции на оси X , а мнимая часть — на Y. оси Частота изменяется как параметр, в результате чего на каждую частоту приходится одна точка. Тот же график можно описать с использованием полярных координат , где усиление передаточной функции — это радиальная координата, а фаза передаточной функции — соответствующая угловая координата. Сюжет Найквиста назван в честь Гарри Найквиста , бывшего инженера Bell Laboratories .

Оценка устойчивости замкнутой системы с отрицательной обратной связью осуществляется путем применения критерия устойчивости Найквиста к графику Найквиста разомкнутой системы (т. е. той же системы без петли обратной связи ). Этот метод легко применим даже для систем с задержками и другими нерациональными передаточными функциями, анализ которых с помощью других методов может показаться трудным. Стабильность определяется по количеству охватов точки (−1, 0). Диапазон выигрышей, в котором система будет стабильной, можно определить, рассматривая пересечения реальной оси.

График Найквиста может предоставить некоторую информацию о форме передаточной функции. Например, график предоставляет информацию о разнице между количеством нулей и полюсов передаточной функции. ^[6] углом, под которым кривая приближается к началу координат.

При рисовании вручную иногда используется мультяшная версия графика Найквиста, которая показывает линейность кривой, но где координаты искажены, чтобы показать больше деталей в интересующих областях. При построении графика с помощью вычислений необходимо позаботиться о том, чтобы охватить все интересующие частоты. Обычно это означает, что параметр изменяется логарифмически, чтобы охватить широкий диапазон значений.

Фон

В математике используется преобразование Лапласа , которое преобразует интегралы и производные во временной области в простое умножение и деление во временной области .

Рассмотрим систему, передаточная функция которой равна $G(s)$ ; при помещении в замкнутый контур с отрицательной обратной связью $H(s)$ , передаточная функция замкнутого контура (CLTF) тогда принимает вид:

{\frac {G(s)}{1+G(s)H(s)}}

Стабильность можно определить, исследуя корни полинома коэффициента чувствительности. $1+G(s)H(s)$ , например, с помощью массива Routh , но этот метод несколько утомителен. Выводы также можно сделать, исследуя передаточную функцию разомкнутого контура (OLTF). $G(s)H(s)$ , используя графики Боде или, как здесь, полярный график с использованием критерия Найквиста следующим образом.

Любая домена Лапласа функция переноса ${\mathcal {T}}(s)$ можно выразить как отношение двух многочленов :

{\mathcal {T}}(s)={\frac {N(s)}{D(s)}}.

Корни $N(s)$ называются нулями ${\mathcal {T}}(s)$ , и корни $D(s)$ являются полюсами ${\mathcal {T}}(s)$ . Полюса ${\mathcal {T}}(s)$ называются также корнями характеристического уравнения $D(s)=0$ .

Стабильность ${\mathcal {T}}(s)$ определяется значениями его полюсов: для устойчивости действительная часть каждого полюса должна быть отрицательной. Если ${\mathcal {T}}(s)$ формируется путем замыкания отрицательной единичной обратной связи вокруг передаточной функции разомкнутого контура,

G(s)H(s)={\frac {A(s)}{B(s)}}

то корни характеристического уравнения являются также нулями $1+G(s)H(s)$ или просто корни $A(s)+B(s)=0$ .

Принцип аргументации Коши

Из комплексного анализа контур $\Gamma _{s}$ нарисовано в комплексе $s$ плоскость, охватывающая, но не проходящая через любое количество нулей и полюсов функции $F(s)$ , может быть отображен на другую плоскость (с именем $F(s)$ плоскость) функцией $F$ . Точнее, каждая комплексная точка $s$ в контуре $\Gamma _{s}$ отображается в точку $F(s)$ в новом $F(s)$ плоскость, дающая новый контур.

График Найквиста $F(s)$ , который является контуром $\Gamma _{F(s)}=F(\Gamma _{s})$ будет окружать точку $s={-1/k+j0}$ принадлежащий $F(s)$ самолет $N$ времена, где $N=P-Z$ по принципу аргументации Коши . Здесь $Z$ и $P$ соответственно количество нулей $1+kF(s)$ и полюса $F(s)$ внутри контура $\Gamma _{s}$ . Обратите внимание, что мы считаем окружения в $F(s)$ плоскость в том же смысле, что и контур $\Gamma _{s}$ и что окружение в противоположном направлении является отрицательным окружением. То есть мы считаем окружение по часовой стрелке положительным, а окружение против часовой стрелки отрицательным.

Вместо принципа аргументации Коши в оригинальной статье Гарри Найквиста 1932 года используется менее элегантный подход. Описываемый здесь подход аналогичен подходу, используемому Лероем МакКоллом («Фундаментальная теория сервомеханизмов», 1945 г.) или Хендриком Боде («Сетевой анализ и проектирование усилителей с обратной связью», 1945 г.), оба из которых также работали в Bell Laboratories . Такой подход встречается в большинстве современных учебников по теории управления.

Определение

Сначала мы строим контур Найквиста , контур, охватывающий правую половину комплексной плоскости:

тропа, идущая вверх по $j\omega$ ось, от $0-j\infty$ к $0+j\infty$ .
полукруглая дуга радиусом $r\to \infty$ , это начинается с $0+j\infty$ и движется по часовой стрелке к $0-j\infty$ .

Контур Найквиста, отображенный с помощью функции $1+G(s)$ дает участок $1+G(s)$ в комплексной плоскости. Согласно принципу аргумента, количество обходов начала координат по часовой стрелке должно равняться количеству нулей $1+G(s)$ в правой полукомплексной плоскости минус количество полюсов $1+G(s)$ в правой полукомплексной плоскости. Если вместо этого контур отображается с помощью передаточной функции разомкнутого контура. $G(s)$ , результатом является Найквиста график $G(s)$ . Подсчитав окружности полученного контура для −1, мы находим разницу между количеством полюсов и нулей в правой половине комплексной плоскости $1+G(s)$ . Вспоминая, что нули $1+G(s)$ являются полюсами замкнутой системы, и, учитывая, что полюса $1+G(s)$ такие же, как полюса $G(s)$ , теперь мы сформулируем критерий Найквиста :

Учитывая контур Найквиста $\Gamma _{s}$ , позволять $P$ быть числом полюсов $G(s)$ окруженный $\Gamma _{s}$ , и $Z$ быть числом нулей $1+G(s)$ окруженный $\Gamma _{s}$ . Альтернативно, и что более важно, если $Z$ - число полюсов замкнутой системы в правой полуплоскости, а $P$ - количество полюсов передаточной функции разомкнутого контура $G(s)$ в правой полуплоскости результирующий контур в $G(s)$ -самолет, $\Gamma _{G(s)}$ должен окружить (по часовой стрелке) точку $(-1+j0)$ $N$ раз такое, что $N=Z-P$ .

Если система изначально нестабильна в разомкнутом контуре, для стабилизации системы необходима обратная связь. Полюсы правой полуплоскости (RHP) представляют собой эту нестабильность. Для устойчивости системы число замкнутых корней в правой половине s -плоскости должно быть равно нулю. Следовательно, количество обходов против часовой стрелки вокруг $-1+j0$ должно быть равно числу полюсов разомкнутого контура в RHP. Любое обход критической точки по часовой стрелке частотной характеристикой разомкнутого контура (при оценке от низкой частоты к высокой частоте) будет указывать на то, что система управления с обратной связью будет дестабилизироваться, если контур замкнут. (Использование нулей RHP для «компенсации» полюсов RHP не устраняет нестабильность, а скорее гарантирует, что система останется нестабильной даже при наличии обратной связи, поскольку корни замкнутого контура перемещаются между полюсами разомкнутого контура и нулями в присутствии Фактически, ноль RHP может сделать нестабильный полюс ненаблюдаемым и, следовательно, не стабилизируемым посредством обратной связи.)

Критерий Найквиста для систем с полюсами на мнимой оси

Вышеупомянутое рассмотрение проводилось в предположении, что передаточная функция разомкнутого контура $G(s)$ не имеет полюса на мнимой оси (т.е. полюсов вида $0+j\omega$ ). Это следует из требования принципа аргумента , согласно которому контур не может проходить через какой-либо полюс отображающей функции. Наиболее распространенным случаем являются системы с интеграторами (полюсы в нуле).

Чтобы иметь возможность анализировать системы с полюсами на воображаемой оси, контур Найквиста можно изменить, чтобы он не проходил через точку. $0+j\omega$ . Один из способов сделать это — построить полукруговую дугу радиусом $r\to 0$ вокруг $0+j\omega$ , это начинается с $0+j(\omega -r)$ и движется против часовой стрелки $0+j(\omega +r)$ . Такая модификация означает, что вектор $G(s)$ движется по дуге бесконечного радиуса $-l\pi$ , где $l$ – кратность полюса на мнимой оси.

Математический вывод

с единичной отрицательной обратной связью Система G со скалярным коэффициентом усиления, обозначаемым K

Наша цель — с помощью этого процесса проверить стабильность передаточной функции нашей системы с единичной обратной связью с коэффициентом усиления k , который определяется выражением

T(s)={\frac {kG(s)}{1+kG(s)}}

То есть мы хотели бы проверить, является ли характеристическое уравнение приведенной выше передаточной функции, заданное формулой

D(s)=1+kG(s)=0

имеет нули вне открытой левой полуплоскости (обычно инициализируемой как OLHP).

Предположим, что у нас есть контур, направленный по часовой стрелке (т.е. отрицательно ориентированный). $\Gamma _{s}$ охватывающая правую полуплоскость с необходимыми отступами, чтобы избежать прохождения через нули или полюса функции $G(s)$ . Коши Принцип аргументации гласит, что

-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\Gamma _{s}}{D'(s) \over D(s)}\,ds=N=Z-P

Где $Z$ обозначает количество нулей $D(s)$ заключены в контур и $P$ обозначает количество полюсов $D(s)$ по тому же контуру. Переставляя, мы имеем $Z=N+P$ , то есть

Z=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\Gamma _{s}}{D'(s) \over D(s)}\,ds+P

Затем мы отмечаем, что $D(s)=1+kG(s)$ имеет точно такие же полюса, что и $G(s)$ . Таким образом, мы можем найти $P$ путем подсчета полюсов $G(s)$ которые появляются внутри контура, то есть внутри открытой правой полуплоскости (ОРП).

Теперь мы изменим приведенный выше интеграл путем замены. То есть установка $u(s)=D(s)$ , у нас есть

N=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\Gamma _{s}}{D'(s) \over D(s)}\,ds=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{u(\Gamma _{s})}{1 \over u}\,du

Затем мы делаем еще одну замену, полагая $v(u)={\frac {u-1}{k}}$ . Это дает нам

N=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{u(\Gamma _{s})}{1 \over u}\,du=-{{1} \over {2\pi i}}\oint _{v(u(\Gamma _{s}))}{1 \over {v+1/k}}\,dv

Теперь мы отмечаем, что $v(u(\Gamma _{s}))={{D(\Gamma _{s})-1} \over {k}}=G(\Gamma _{s})$ дает нам изображение нашего контура под $G(s)$ , то есть наш график Найквиста . Мы можем еще уменьшить интеграл

N=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{G(\Gamma _{s}))}{\frac {1}{v+1/k}}\,dv

применив интегральную формулу Коши . Фактически, мы обнаруживаем, что приведенный выше интеграл точно соответствует количеству раз, когда график Найквиста обходит точку $-1/k$ по часовой стрелке. Таким образом, мы можем окончательно заявить, что

{\begin{aligned}Z={}&N+P\\[6pt]={}&{\text{(number of times the Nyquist plot encircles }}{-1/k}{\text{ clockwise)}}\\&{}+{\text{(number of poles of }}G(s){\text{ in ORHP)}}\end{aligned}}

Таким образом, мы находим, что $T(s)$ как определено выше, соответствует стабильной системе с единичной обратной связью, когда $Z$ , как оценено выше, равно 0.

Важность

Критерий устойчивости Найквиста — это графический метод, определяющий устойчивость динамической системы, например системы управления с обратной связью. Он основан на принципе аргумента и графике Найквиста передаточной функции разомкнутой системы. Его можно применять к системам, которые не определяются рациональными функциями, например к системам с запаздыванием. Он также может обрабатывать передаточные функции с особенностями в правой полуплоскости, в отличие от графиков Боде. Критерий устойчивости Найквиста также можно использовать для определения запасов по фазе и коэффициенту усиления системы, которые важны для проектирования контроллера частотной области. ^[7]

Краткое содержание

Если передаточная функция разомкнутого контура $G(s)$ имеет нулевой полюс кратности $l$ , то график Найквиста имеет разрыв в точке $\omega =0$ . При дальнейшем анализе следует предположить, что вектор движется $l$ раз по часовой стрелке по полукругу бесконечного радиуса. После применения этого правила нулевыми полюсами следует пренебречь, т.е. если других неустойчивых полюсов нет, то передаточная функция разомкнутого контура $G(s)$ следует считать стабильным.
Если передаточная функция разомкнутого контура $G(s)$ устойчива, то замкнутая система неустойчива тогда и только тогда, когда график Найквиста хотя бы один раз окружает точку −1.
Если передаточная функция разомкнутого контура $G(s)$ неустойчива часовой стрелки , , то для того, чтобы замкнутая система была стабильной, должно быть одно окружение против равное −1, для каждого полюса $G(s)$ в правой половине комплексной плоскости.
Число избыточных окружений ( N + P больше 0) равно количеству неустойчивых полюсов замкнутой системы.
Однако если график проходит через точку $-1+j0$ , то принятие решения даже о предельной устойчивости системы становится затруднительным, и единственный вывод, который можно сделать из графика, состоит в том, что на $j\omega$ ось.

См. также

Ссылки

^ Рейншке, Курт (2014). «Глава 4.3. Критерий устойчивости Шлитцера-Найквиста» . Теория линейного регулирования и управления (на немецком языке) (2-е изд.). Издательство Спрингер . п. 184. ИСБН 978-3-64240960-8 . Проверено 14 июня 2019 г.
^ Бисселл, Кристофер К. (2001). «Изобретение« черного ящика »: математика как забытая технология в истории коммуникационной техники» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 14 июня 2019 г. Проверено 14 июня 2019 г.
^ Носилки, Феликс [на немецком языке] (1947). Электрическое самовозбуждение с теорией активных сетей (на немецком языке). Штутгарт, Германия: С. Хирзель Верлаг [ de ] . (Примечание. Более ранние работы можно найти в разделе литературы.)
^ Найквист, Гарри (январь 1932 г.). «Теория регенерации» . Технический журнал Bell System . 11 (1). США: Американская телефонная и телеграфная компания (AT&T): 126–147. дои : 10.1002/j.1538-7305.1932.tb02344.x . S2CID 115002788 .
^ Чаффи, Томас; Форни, Фульвио; Могила, Родольф (2023). «Графический нелинейный системный анализ» . Транзакции IEEE при автоматическом управлении . 68 (10): 6067–6081. arXiv : 2107.11272 . дои : 10.1109/TAC.2023.3234016 . ISSN 0018-9286 . S2CID 236318576 .
^ Графики Найквиста , заархивированные 30 сентября 2008 г. в Wayback Machine.
^ «12.2: Критерий Найквиста устойчивости» . Математика LibreTexts . 05.09.2017 . Проверено 25 декабря 2023 г.

Дальнейшее чтение

Фолкнер, Э.А. (1969): Введение в теорию линейных систем ; Чепмен и Холл; ISBN 0-412-09400-2
Пиппард, AB (1985): Реакция и стабильность ; Издательство Кембриджского университета; ISBN 0-521-31994-3
Гессинг, Р. (2004): Основы управления ; Силезский технологический университет; ISBN 83-7335-176-0
Франклин, Г. (2002): Управление динамическими системами с обратной связью ; Прентис Холл, ISBN 0-13-032393-4

Внешние ссылки

Апплеты с изменяемыми параметрами
EIS Spectrum Analyser — бесплатная программа для анализа и моделирования спектров импеданса.
Функция MATLAB для создания графика Найквиста частотной характеристики модели динамической системы.
Формирование графика ПИД-Найквиста - бесплатный интерактивный виртуальный инструмент, симулятор контура управления
Функция Mathematica для создания графика Найквиста
Диаграмма Найквиста для электрических цепей

[Reinschke_2014-1] Рейншке, Курт (2014). «Глава 4.3. Критерий устойчивости Шлитцера-Найквиста» . Теория линейного регулирования и управления (на немецком языке) (2-е изд.). Издательство Спрингер . п. 184. ИСБН 978-3-64240960-8 . Проверено 14 июня 2019 г.

[Bissel_2001-2] Бисселл, Кристофер К. (2001). «Изобретение« черного ящика »: математика как забытая технология в истории коммуникационной техники» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 14 июня 2019 г. Проверено 14 июня 2019 г.

[Strecker_1947-3] Носилки, Феликс [на немецком языке] (1947). Электрическое самовозбуждение с теорией активных сетей (на немецком языке). Штутгарт, Германия: С. Хирзель Верлаг [ de ] . (Примечание. Более ранние работы можно найти в разделе литературы.)

[Nyquist_1932-4] Найквист, Гарри (январь 1932 г.). «Теория регенерации» . Технический журнал Bell System . 11 (1). США: Американская телефонная и телеграфная компания (AT&T): 126–147. дои : 10.1002/j.1538-7305.1932.tb02344.x . S2CID 115002788 .

[5] Чаффи, Томас; Форни, Фульвио; Могила, Родольф (2023). «Графический нелинейный системный анализ» . Транзакции IEEE при автоматическом управлении . 68 (10): 6067–6081. arXiv : 2107.11272 . дои : 10.1109/TAC.2023.3234016 . ISSN 0018-9286 . S2CID 236318576 .

[Bucknell-6] Графики Найквиста , заархивированные 30 сентября 2008 г. в Wayback Machine.

[7] «12.2: Критерий Найквиста устойчивости» . Математика LibreTexts . 05.09.2017 . Проверено 25 декабря 2023 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]