Критерий устойчивости Рауса – Гурвица.

В теории систем управления критерий устойчивости Рауса -Гурвица представляет собой математический тест, который является необходимым и достаточным условием устойчивости ( линейной нестационарной ЛТИ) динамической системы или системы управления . Стабильная система — это система, выходной сигнал которой ограничен; положение, скорость или энергия не увеличиваются до бесконечности с течением времени. Тест Рауса — это эффективный рекурсивный алгоритм, который английский математик Эдвард Джон Раут предложил в 1876 году для определения того, все ли корни характеристического многочлена линейной системы имеют отрицательные действительные части. Немецкий математик Адольф Гурвиц независимо предложил в 1895 году расположить коэффициенты многочлена в квадратную матрицу, называемую матрицей Гурвица , и показал, что многочлен стабилен тогда и только тогда, когда все последовательности определителей его главных подматриц положительны. Эти две процедуры эквивалентны: тест Рауса обеспечивает более эффективный способ вычисления определителей Гурвица ( $\Delta _{i}$), чем вычислять их напрямую. Полином, удовлетворяющий критерию Рауса–Гурвица, называется полиномом Гурвица .

Важность критерия состоит в том, что корни p характеристического уравнения линейной системы с отрицательными действительными частями представляют собой решения e ^пт системы, которые устойчивы ( ограничены ). Таким образом, критерий позволяет определить, имеют ли уравнения движения линейной системы только устойчивые решения, не решая систему напрямую. Для дискретных систем соответствующий тест на устойчивость можно выполнить с помощью критерия Шура – ​​Кона, теста Жюри и теста Бистрица . С появлением компьютеров этот критерий стал использоваться менее широко, поскольку альтернативой является численное решение полинома с непосредственным получением приближений к корням.

Тест Рауса можно получить с помощью алгоритма Евклида и теоремы Штурма при оценке индексов Коши . Гурвиц вывел свои условия иначе.

Используя алгоритм Евклида

Критерий связан с теоремой Рауса–Гурвица . Из утверждения этой теоремы имеем $p-q=w(+\infty )-w(-\infty )$ где:

• $p$ - количество корней многочлена $f(z)$ с отрицательной действительной частью;
• $q$ - количество корней многочлена $f(z)$ с положительной вещественной частью (согласно теореме $f$ предполагается, что не имеет корней, лежащих на воображаемой прямой);
• w ( x ) — число вариаций обобщенной цепочки Штурма, полученной из $P_{0}(y)$ и $P_{1}(y)$ (последовательными евклидовыми делениями ), где $f(iy)=P_{0}(y)+iP_{1}(y)$ по- настоящему .

По основной теореме алгебры каждый многочлен степени n должен иметь n корней в комплексной плоскости (т.е. для ƒ без корней на мнимой прямой p + q = n ). Таким образом, мы имеем условие, что ƒ является (Гурвиц) устойчивым полиномом тогда и только тогда, когда p − q = n ( доказательство приведено ниже). Используя теорему Рауса–Гурвица, мы можем заменить условие на p и q условием на обобщенную цепочку Штурма, что, в свою очередь, даст условие на коэффициенты ƒ .

Использование матриц

Пусть f ( z ) — комплексный полином. Процесс выглядит следующим образом:

1. Вычислите полиномы $P_{0}(y)$ и $P_{1}(y)$ такой, что $f(iy)=P_{0}(y)+iP_{1}(y)$ где у — действительное число.
2. Вычислите матрицу Сильвестра, связанную с $P_{0}(y)$ и $P_{1}(y)$.
3. Переставьте каждую строку так, чтобы в нечетной строке и следующей за ней было одинаковое количество ведущих нулей.
4. Вычислите каждый главный минор этой матрицы.
5. Если хотя бы один из миноров отрицателен (или равен нулю), то многочлен f неустойчив.

Пример

• Позволять $f(z)=az^{2}+bz+c$ (для простоты мы берем действительные коэффициенты), где $c\neq 0$ (чтобы избежать корня из нуля и использовать теорему Рауса – Гурвица). Сначала нам нужно вычислить действительные полиномы $P_{0}(y)$ и $P_{1}(y)$:

$f(iy)=-ay^{2}+iby+c=P_{0}(y)+iP_{1}(y)=-ay^{2}+c+i(by).$

Затем мы разделим эти полиномы, чтобы получить обобщенную цепочку Штурма:

• $P_{0}(y)=((-a/b)y)P_{1}(y)+c,$ урожайность $P_{2}(y)=-c,$
• $P_{1}(y)=((-b/c)y)P_{2}(y),$ урожайность $P_{3}(y)=0$ и евклидово деление останавливается.

Обратите внимание, что нам пришлось предположить, что b отличается от нуля в первом делении. Обобщенная цепочка Штурма в этом случае $(P_{0}(y),P_{1}(y),P_{2}(y))=(c-ay^{2},by,-c)$. положить $y=+\infty$, знак $(c-ay^{2})$ является противоположным знаком a , а знак by является знаком b . Когда мы ставим $(y=-\infty )$, знак первого элемента цепочки снова противоположен знаку a , а знак by противоположен знаку b . Наконец, -c всегда имеет знак, противоположный c .

Предположим теперь, что f устойчива по Гурвицу. Это означает, что $w(+\infty )-w(-\infty )=2$ (степень f ). По свойствам функции w это то же самое, что $w(+\infty )=2$ и $w(-\infty )=0$. Таким образом, a , b и c должны иметь одинаковый знак. Таким образом, мы нашли необходимое условие устойчивости многочленов степени 2.

Критерий Рауса – Гурвица для полиномов второго, третьего и четвертого порядка.

• Для полинома второго порядка $P(s)=a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}=0$, все коэффициенты должны быть положительными, где $a_{i}>0$ для $(i=0,1,2)$.
• Для полинома третьего порядка $P(s)=a_{3}s^{3}+a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}=0$, все коэффициенты должны быть положительными, где $a_{i}>0$ для $(i=0,1,2,3)$, и $a_{2}a_{1}-a_{3}a_{0}>0$.
• Для полинома четвертого порядка $P(s)=a_{4}s^{4}+a_{3}s^{3}+a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}=0$, все коэффициенты должны быть положительными, где $a_{i}>0$ для $(i=0,1,2,3,4)$, $a_{2}a_{1}-a_{3}a_{0}>0$ и $a_{3}a_{2}a_{1}-a_{4}a_{1}^{2}-a_{3}^{2}a_{0}>0$ (Когда это выводится, вы не знаете, что все коэффициенты должны быть положительными, и добавляете $a_{3}a_{2}>a_{1}$.)
• В общем, критерий устойчивости Рауса утверждает, что полином имеет все корни в открытой левой полуплоскости тогда и только тогда, когда все элементы первого столбца массива Рауса имеют одинаковый знак.
• Наличие всех положительных (или всех отрицательных) коэффициентов необходимо для того, чтобы все корни располагались в открытой левой полуплоскости. Вот почему здесь $a_{n}$ фиксировано равно 1, что является положительным. Если это предполагается, мы можем удалить $a_{3}a_{2}>a_{1}$ из полинома четвертого порядка, а условия для пятого и шестого порядка можно упростить. Для пятого порядка нам нужно только проверить, что $\Delta _{2}>0,\Delta _{4}>0$ а для шестого порядка нам нужно только проверить $\Delta _{3}>0,\Delta _{5}>0$ и это дополнительно оптимизируется с помощью критерия Льенара-Шипара . Действительно, некоторые положительные коэффициенты не являются независимыми, поскольку главные миноры являются положительными, например $a_{2}>0$ проверку можно снять для полинома третьего порядка.

Пример высшего порядка

Табличный метод можно использовать для определения устойчивости, когда корни характеристического полинома более высокого порядка получить трудно. Для степени полинома n-й

• $D(s)=a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_{0}$

таблица имеет n + 1 строк и имеет следующую структуру:

$a_{n}$	$a_{n-2}$	$a_{n-4}$	$\dots$
$a_{n-1}$	$a_{n-3}$	$a_{n-5}$	$\dots$
$b_{1}$	$b_{2}$	$b_{3}$	$\dots$
$c_{1}$	$c_{2}$	$c_{3}$	$\dots$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\ddots$

где элементы $b_{i}$ и $c_{i}$ можно вычислить следующим образом:

• $b_{i}={\frac {a_{n-1}\times {a_{n-2i}}-a_{n}\times {a_{n-(2i+1)}}}{a_{n-1}}}.$
• $c_{i}={\frac {b_{1}\times {a_{n-(2i+1)}}-a_{n-1}\times {b_{i+1}}}{b_{1}}}.$

По завершении количество смен знака в первом столбце будет равно количеству неотрицательных корней.

0.75	1.5	0	0
-3	6	0	0
3	0	0	0
6	0	0	0

В первом столбце есть две смены знака (0,75 → −3 и −3 → 3), таким образом, есть два неотрицательных корня, в которых система неустойчива.

Характеристическое уравнение сервосистемы имеет вид:

• $b_{0}s^{4}+b_{1}s^{3}+b_{2}s^{2}+b_{3}s+b_{4}=0$

$b_{0}$	$b_{2}$	$b_{4}$	0
$b_{1}$	$b_{3}$	0	0
$b_{1}b_{2}-b_{0}b_{3} \over b_{1}$	$b_{1}b_{4}-b_{0}\times 0 \over b_{1}$= $b_{4}$	0	0
$(b_{1}b_{2}-b_{0}b_{3})b_{3}-b_{1}^{2}b_{4} \over b_{1}b_{2}-b_{0}b_{3}$	0	0	0
$b_{4}$	0	0	0

для стабильности все элементы первого столбца массива Рауса должны быть положительными. Итак, условия, которым должна удовлетворяться устойчивость данной системы, следующие:

$b_{1}>0,b_{1}b_{2}-b_{0}b_{3}>0,(b_{1}b_{2}-b_{0}b_{3})b_{3}-b_{1}^{2}b_{4}>0,b_{4}>0$

Мы видим, что если

$(b_{1}b_{2}-b_{0}b_{3})b_{3}-b_{1}^{2}b_{4}\geq 0$

затем

$b_{1}b_{2}-b_{0}b_{3}>0$

Доволен.

• $s^{4}+6s^{3}+11s^{2}+6s+200=0$

У нас есть следующая таблица:

1	11	200	0
1	1	0	0
1	20	0	0
-19	0	0	0
20	0	0	0

есть две смены знаков. Система неустойчива, так как имеет два полюса в правой полуплоскости и два полюса в левой полуплоскости. Система не может иметь jω полюсов, так как в таблице Рауса не появился ряд нулей.

Иногда наличие полюсов на мнимой оси создает ситуацию предельной устойчивости. В этом случае коэффициенты «массива Рауса» во всей строке становятся равными нулю и дальнейшее решение многочлена для нахождения изменения знака невозможно. Тогда в игру вступает другой подход. Строка полинома, которая находится чуть выше строки, содержащей нули, называется «вспомогательным полиномом».

• $s^{6}+2s^{5}+8s^{4}+12s^{3}+20s^{2}+16s+16=0.\,$

У нас есть следующая таблица:

1	8	20	16
2	12	16	0
2	12	16	0
0	0	0	0

В таком случае вспомогательный многочлен равен $A(s)=2s^{4}+12s^{2}+16\,$ что снова равно нулю. Следующим шагом является дифференцирование приведенного выше уравнения, которое дает полином $B(s)=8s^{3}+24s^{1}$. Коэффициенты строки, содержащей ноль, теперь становятся «8» и «24». Процесс массива Рауса продолжается с использованием этих значений, которые дают две точки на мнимой оси. Эти две точки на воображаемой оси являются основной причиной предельной устойчивости.

См. также

• Техника управления
• Получение массива Рауса
• Критерий устойчивости Найквиста
• Теорема Рауса – Гурвица
• Корневой локус
• Передаточная функция
• Критерий Льенара – Шипарта (вариант, требующий меньшего количества вычислений)
• Теорема Харитонова (вариант для неизвестных коэффициентов, ограниченных интервалами)
• Критерий устойчивости Жюри (аналог для систем LTI с дискретным временем)
• Критерий устойчивости Бистрица (аналог для систем LTI с дискретным временем)

Ссылки

• Феликс Гантмахер (переводчик Дж. Л. Бреннера) (1959). Приложения теории матриц , стр. 177–80, Нью-Йорк: Interscience.
• Пиппард, AB; Дике, Р.Х. (1986). «Отклик и стабильность. Введение в физическую теорию» . Американский журнал физики . 54 (11): 1052. Бибкод : 1986AmJPh..54.1052P . дои : 10.1119/1.14826 . Архивировано из оригинала 14 мая 2016 г. Проверено 7 мая 2008 г.
• Ричард К. Дорф , Роберт Х. Бишоп (2001). Современные системы управления (9-е изд.). Прентис Холл. ISBN  0-13-030660-6 .
• Рахман, QI; Шмайссер, Г. (2002). Аналитическая теория полиномов . Монографии Лондонского математического общества. Новая серия. Том. 26. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета . ISBN  0-19-853493-0 . Збл   1072.30006 .
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Рауса-Гурвица» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram .
• Стивен Барнетт (1983). Полиномы и линейные системы управления , Нью-Йорк: Marcel Dekker, Inc.

Внешние ссылки

• Сценарий MATLAB, реализующий тест Рауса-Гурвица.
• Онлайн-реализация критерия Рауса-Гурвица