СА-группа

В математике , в области теории групп , группа называется CA-группой или централизатором абелевой группы, если централизатор любого неединичного элемента является абелевой подгруппой . Конечные CA-группы имеют историческое значение как ранний пример типа классификаций, которые будут использоваться в теореме Фейта – Томпсона и классификации конечных простых групп . Несколько важных бесконечных групп являются CA-группами, например свободные группы , монстры Тарского и некоторые группы Бернсайда , а локально конечные CA-группы классифицированы явно. CA-группы также называются коммутативно-транзитивными группами (или CT-группами для краткости ), поскольку коммутативность является транзитивным отношением между нетождественными элементами группы тогда и только тогда, когда группа является CA-группой.

История

Локально конечные CA-группы были классифицированы несколькими математиками с 1925 по 1998 год. Во-первых, было показано, что конечные CA-группы просты или разрешимы в ( Weisner 1925 ) . Затем в теореме Брауэра-Сузуки-Уолла ( Брауэр, Сузуки и Уолл, 1958 ) было показано, что конечные CA-группы четного порядка являются группами Фробениуса , абелевыми группами или двумерными проективными специальными линейными группами над конечным полем четного порядка, ПСЛ(2, 2 ^ж) для f ) было показано, что конечные CA-группы нечетного порядка являются группами Фробениуса или абелевыми группами ≥ 2. Наконец, в ( Сузуки 1957 , и поэтому, в частности, никогда не являются неабелевыми простыми.

CA-группы сыграли важную роль в контексте классификации конечных простых групп . Мичио Судзуки что каждая конечная простая показал , неабелева CA-группа имеет четный порядок . Этот результат был сначала распространен на теорему Фейта–Холла–Томпсона, показывающую, что конечные простые неабелевы CN-группы имеют четный порядок, а затем на теорему Фейта–Томпсона , которая утверждает, что каждая конечная простая неабелева группа имеет четный порядок. Учебное изложение классификации конечных CA-групп дано в качестве примера 1 и 2 в ( Suzuki 1986 , стр. 291–305). Более подробное описание появляющихся групп Фробениуса включено в ( Wu 1998 ), где показано, что конечная разрешимая CA-группа является полупрямым произведением абелевой группы и автоморфизма без неподвижных точек, и что, наоборот, каждый такое полупрямое произведение является конечной разрешимой CA-группой. Ву также расширил классификацию Suzuki et al. локально конечным группам .

Примеры

Всякая абелева группа является CA-группой, а группа с нетривиальным центром является CA-группой тогда и только тогда, когда она абелева. Конечные CA-группы классифицируются: разрешимые из них представляют собой полупрямые произведения абелевых групп на циклические группы такие, что каждый нетривиальный элемент действует без неподвижных точек и включают такие группы, как группы диэдра порядка 4 k +2 и группы диэдра. знакопеременная группа на 4 точках порядка 12, а неразрешимые все простые и представляют собой двумерные проективные специальные линейные группы PSL(2, 2 ^н) для n ≥ 2. Бесконечные CA-группы включают свободные группы PSL (2, R ) и группы Бернсайда с большим простым показателем ( Lyndon & Schupp 2001 , стр. 10). Некоторые более поздние результаты в бесконечном случае включены в ( Wu 1998 ), включая классификацию локально конечных CA-групп. Ву также отмечает, что монстры Тарского являются очевидными примерами бесконечных простых СА-групп.

Цитируемые работы

Брауэр, Р .; Сузуки, Мичио ; Уолл, GE (1958), «Характеристика одномерных унимодулярных проективных групп над конечными полями», Illinois Journal of Mathematics , 2 (4B): 718–745, doi : 10.1215/ijm/1255448336 , ISSN 0019-2082 , МР 0104734
Линдон, Роджер С .; Шупп, Пол Э. (2001), Комбинаторная теория групп , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-41158-1 , МР 0577064
Судзуки, Мичио (1957), «Несуществование определенного типа простых групп нечетного порядка», Proceedings of the American Mathematical Society , 8 (4): 686–695, doi : 10.2307/2033280 , ISSN 0002-9939 , JSTOR 2033280 , МР 0086818
Судзуки, Мичио (1986), Теория групп. II , Фундаментальные принципы математических наук, т. 1, с. 248, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-0-387-10916-9 , МР 0815926
Вейснер, Л. (1925), «Группы, в которых нормализатор каждого элемента, кроме единицы, абелев», Бюллетень Американского математического общества , 31 (8): 413–416, doi : 10.1090/S0002-9904-1925-04079 -3 , ISSN 0002-9904 , JFM 51.0112.06
Ву, Ю-Фен (1998), «Группы, в которых коммутативность является транзитивным отношением», Journal of Algebra , 207 (1): 165–181, doi : 10.1006/jabr.1998.7468 , ISSN 0021-8693 , MR 1643082