круг Мора

Рисунок 1. Круги Мора для трехмерного состояния стресса

Круг Мора представляет собой двумерное графическое представление закона о трансформации для тензора стресса Коши .

Круг Мора часто используется в расчетах, касающихся машиностроения для прочности материалов , геотехнической инженерии для прочности грунтов и строительной техники для прочности построенных конструкций. Он также используется для расчета напряжений во многих плоскостях, уменьшая их до вертикальных и горизонтальных компонентов. Они называются основными плоскостями, в которых основные напряжения рассчитываются ; Круг Мора также можно использовать для нахождения главных плоскостей и главных напряжений в графическом представлении, и это один из самых простых способов сделать это.

После выполнения анализа напряжений материального тела, рассматриваемого как континуум , компоненты тензора напряжений Коши в конкретной материальной точке известны относительно системы координат . Затем круг Мора используется для графического определения компонентов напряжения, действующих на повернутую систему координат, т. е. действующих на по-разному ориентированную плоскость, проходящую через эту точку.

Абсцисса и ордината ( $\sigma _{\mathrm {n} }$, $\tau _{\mathrm {n} }$) каждой точки окружности — это величины составляющих нормального напряжения и сдвигового напряжения соответственно, действующих на повернутую систему координат. Другими словами, круг — это геометрическое место точек, которые представляют состояние напряжения на отдельных плоскостях во всех их ориентациях, где оси представляют собой главные оси элемента напряжения.

Немецкий инженер XIX века Карл Кульманн был первым, кто придумал графическое представление напряжений при учете продольных и вертикальных напряжений в горизонтальных балках во время изгиба . Его работа вдохновила немецкого инженера Кристиана Отто Мора (тезку круга), который распространил ее как на двух-, так и на трехмерные напряжения и разработал критерий разрушения, основанный на круге напряжений.

Альтернативные графические методы представления напряженного состояния в точке включают эллипсоид напряжений Ламе и квадрику напряжений Коши .

Круг MOHR может быть применен к любой симметричной 2x2 тензорной матрице , включая деформацию и момент тензоров инерции .

Мотивация

Рисунок 2. Напряжение в загруженном деформируемом теле материала, предполагаемом в качестве континуума.

Внутренние силы возникают между частицами деформируемого объекта, рассматриваемого как континуум , как реакция на приложенные внешние силы, т. е. либо поверхностные , либо объемные силы . Эта реакция следует из законов движения Эйлера для континуума, которые эквивалентны законам движения Ньютона для частицы. Мера интенсивности этих внутренних сил называется стрессом . Поскольку объект предполагается в качестве континуума, эти внутренние силы непрерывно распределяются в объеме объекта.

В инженерии, например, в структурной , механической или геотехнической , распределение напряжений внутри объекта, например напряжений в горной массе вокруг туннеля, крыльев самолета или колонн зданий, определяется посредством анализа напряжений . Расчет распределения напряжений подразумевает определение напряжений в каждой точке (частица материала) в объекте. Согласно Коши , напряжение в любой точке объекта (рис. 2), рассматриваемого как континуум, полностью определяется девятью компонентами напряжения. $\sigma _{ij}$ второго порядка тензора типа (2,0), известного как тензор стресса Cauchy , ${\boldsymbol {\sigma }}$:

${\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right]$

Рисунок 3. Преобразование напряжения в точке в континууме в условиях плоского напряжения.

После того, как распределение напряжений в объекте было определено в отношении системы координат $(x,y)$, может возникнуть необходимость расчета составляющих тензора напряжений в конкретной материальной точке $P$ относительно повернутой системы координат $(x',y')$, то есть напряжения, действующие на плоскость с другой ориентацией, проходящей через эту интересующую точку, образуя угол с системой координат $(x,y)$ (Рисунок 3). Например, интересно найти максимальное нормальное напряжение и максимальное касательное напряжение, а также ориентацию плоскостей, на которые они действуют. Чтобы достичь этого, необходимо выполнить тензорное преобразование при вращении системы координат. Из определения тензора тензор стресса Cauchy подчиняется закону о трансформации тензора . Графическим представлением этого закона преобразования тензора напряжений Коши является круг Мора для напряжений.

Круг Мора для двухмерного состояния стресса

Рисунок 4. Компоненты напряжения в плоскости, проходящей через точку в континууме в условиях плоского напряжения.

В двух измерениях тензор напряжения в данной материальной точке $P$ Что касается любых двух перпендикулярных направлений полностью определяется только тремя компонентами напряжения. Для конкретной системы координат $(x,y)$ этими компонентами напряжения являются: нормальные напряжения $\sigma _{x}$ и $\sigma _{y}$, и напряжение сдвига $\tau _{xy}$. Из баланса углового импульса может быть продемонстрирована симметрия тензора напряжения Cauchy. Эта симметрия означает, что $\tau _{xy}=\tau _{yx}$. Таким образом, тензор напряжений Коши можно записать в виде:

${\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&0\\\tau _{xy}&\sigma _{y}&0\\0&0&0\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{y}\\\end{matrix}}\right]$

Цель состоит в том, чтобы использовать кружок MOHR, чтобы найти компоненты напряжения $\sigma _{\mathrm {n} }$ и $\tau _{\mathrm {n} }$ в повернутой системе координат $(x',y')$, т.е. на по -разному ориентированной плоскости, проходящей через $P$ и перпендикулярно $x$- $y$ самолет (рис. 4). Повернутая система координат $(x',y')$ делает угол $\theta$ с исходной системой координат $(x,y)$.

Уравнение круга Мора

Чтобы вывести уравнение круга Мора для двумерных случаев плоского напряжения и плоской деформации , сначала рассмотрим двумерный бесконечно малый материальный элемент вокруг материальной точки. $P$ (Рисунок 4), с единичной площадью в направлении, параллельной $y$- $z$ плоскости, т. е. перпендикулярно странице или экрану.

Из равновесия сил на бесконечно максимальном элементе величины нормального напряжения $\sigma _{\mathrm {n} }$ и напряжение сдвига $\tau _{\mathrm {n} }$ даны:

$\sigma _{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\cos 2\theta +\tau _{xy}\sin 2\theta$

$\tau _{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin 2\theta +\tau _{xy}\cos 2\theta$

showВывод параметрических уравнений Круга Мора - равновесие сил

From equilibrium of forces in the direction of $\sigma _{\mathrm {n} }$ ($x'$-axis) (Figure 4), and knowing that the area of the plane where $\sigma _{\mathrm {n} }$ acts is $dA$, we have: $\ {\begin{aligned}\sum F_{x'}&=\sigma _{\mathrm {n} }dA-\sigma _{x}dA\cos ^{2}\theta -\sigma _{y}dA\sin ^{2}\theta -\tau _{xy}dA\cos \theta \sin \theta -\tau _{xy}dA\sin \theta \cos \theta =0\\\sigma _{\mathrm {n} }&=\sigma _{x}\cos ^{2}\theta +\sigma _{y}\sin ^{2}\theta +2\tau _{xy}\sin \theta \cos \theta \\\end{aligned}}$ However, knowing that $\cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}},\qquad \sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}}\qquad {\text{and}}\qquad \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$ we obtain $\sigma _{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\cos 2\theta +\tau _{xy}\sin 2\theta$ Now, from equilibrium of forces in the direction of $\tau _{\mathrm {n} }$ ($y'$-axis) (Figure 4), and knowing that the area of the plane where $\tau _{\mathrm {n} }$ acts is $dA$, we have: $\ {\begin{aligned}\sum F_{y'}&=\tau _{\mathrm {n} }dA+\sigma _{x}dA\cos \theta \sin \theta -\sigma _{y}dA\sin \theta \cos \theta -\tau _{xy}dA\cos ^{2}\theta +\tau _{xy}dA\sin ^{2}\theta =0\\\tau _{\mathrm {n} }&=-(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin \theta \cos \theta +\tau _{xy}\left(\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \right)\\\end{aligned}}$ However, knowing that $\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =\cos 2\theta \qquad {\text{and}}\qquad \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$ we obtain $\tau _{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin 2\theta +\tau _{xy}\cos 2\theta$

Оба уравнения можно получить также, применив закон тензорного преобразования к известному тензору напряжений Коши, что эквивалентно выполнению статического равновесия сил в направлении $\sigma _{\mathrm {n} }$ и $\tau _{\mathrm {n} }$.

showВывод параметрических уравнений Круга Мора - преобразование тензора

The stress tensor transformation law can be stated as ${\begin{aligned}{\boldsymbol {\sigma }}'&=\mathbf {A} {\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {A} ^{T}\\\left[{\begin{matrix}\sigma _{x'}&\tau _{x'y'}\\\tau _{y'x'}&\sigma _{y'}\\\end{matrix}}\right]&=\left[{\begin{matrix}a_{x}&a_{xy}\\a_{yx}&a_{y}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}a_{x}&a_{yx}\\a_{xy}&a_{y}\\\end{matrix}}\right]\\&=\left[{\begin{matrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{matrix}}\right]\end{aligned}}$ Expanding the right hand side, and knowing that $\sigma _{x'}=\sigma _{\mathrm {n} }$ and $\tau _{x'y'}=\tau _{\mathrm {n} }$, we have: $\sigma _{\mathrm {n} }=\sigma _{x}\cos ^{2}\theta +\sigma _{y}\sin ^{2}\theta +2\tau _{xy}\sin \theta \cos \theta$ However, knowing that $\cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}},\qquad \sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}}\qquad {\text{and}}\qquad \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$ we obtain $\sigma _{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\cos 2\theta +\tau _{xy}\sin 2\theta$ $\tau _{\mathrm {n} }=-(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin \theta \cos \theta +\tau _{xy}\left(\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \right)$ However, knowing that $\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =\cos 2\theta \qquad {\text{and}}\qquad \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$ we obtain $\tau _{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin 2\theta +\tau _{xy}\cos 2\theta$ It is not necessary at this moment to calculate the stress component $\sigma _{y'}$ acting on the plane perpendicular to the plane of action of $\sigma _{x'}$ as it is not required for deriving the equation for the Mohr circle.

Эти два уравнения являются параметрическими уравнениями круга Мора. В этих уравнениях $2\theta$ является параметром, а $\sigma _{\mathrm {n} }$ и $\tau _{\mathrm {n} }$ это координаты. Это означает, что при выборе системы координат с Abscissa $\sigma _{\mathrm {n} }$ и ордината $\tau _{\mathrm {n} }$, присваивая значения параметру $\theta$ Поместит полученные точки, лежащие на круге.

Устранение параметра $2\theta$ Из этих параметрических уравнений даст непараметрическое уравнение круга MOHR. Это может быть достигнуто путем перестройки уравнений для $\sigma _{\mathrm {n} }$ и $\tau _{\mathrm {n} }$, сначала транспонировать первый термин в первом уравнении и квадрат обе стороны каждого из уравнений, а затем добавление их. Таким образом, мы имеем

${\begin{aligned}\left[\sigma _{\mathrm {n} }-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{\mathrm {n} }^{2}&=\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}\\(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{\mathrm {avg} })^{2}+\tau _{\mathrm {n} }^{2}&=R^{2}\end{aligned}}$

где

$R={\sqrt {\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{\mathrm {avg} }={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})$

Это уравнение круга ( круга Мора) формы

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$

с радиусом $r=R$ центрирован в точке с координатами $(a,b)=(\sigma _{\mathrm {avg} },0)$ в $(\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })$ система координат.

Соглашения о подписании

Существует два отдельных набора соглашений о знаках, которые необходимо учитывать при использовании круга Мора: одно соглашение о знаках для компонентов напряжения в «физическом пространстве», а другое — для компонентов напряжения в «пространстве круга Мора». Кроме того, в рамках каждого из двух наборов соглашений о знаках литература по инженерной механике ( строительное проектирование и машиностроение ) придерживается другого соглашения о знаках, чем литература по геомеханике . Не существует стандартного соглашения о знаках, и на выбор конкретного соглашения о знаках влияет удобство вычислений и интерпретации для конкретной рассматриваемой проблемы. Более подробное объяснение этих знаковых соглашений представлено ниже.

Предыдущий вывод для уравнения круга MOHR с использованием рисунка 4 следует соглашению о знаке инженерной механики. В этой статье будет использоваться соглашение о знаках инженерной механики .

Соглашение о знаках физического пространства

Согласно соглашению о тензоре напряжений Коши (рис. 3 и рис. 4), первый индекс в компонентах напряжения обозначает грань, на которую действует компонент напряжения, а второй индекс указывает направление компонента напряжения. Таким образом $\tau _{xy}$ - касательное напряжение, действующее на грань с вектором нормали в положительном направлении $x$-оси и в положительном направлении $y$-ось.

В соответствии с соглашением о знаках физического пространства положительные нормальные напряжения направлены наружу к плоскости действия (растяжение), а отрицательные нормальные напряжения — внутрь плоскости действия (сжатие) (рис. 5).

В соответствии с соглашением о знаках физического пространства положительные напряжения сдвига действуют на положительные грани материального элемента в положительном направлении оси. Кроме того, положительные напряжения сдвига действуют на отрицательные лица материала элемента в отрицательном направлении оси. Положительная грань имеет вектор нормали в положительном направлении оси, а отрицательная грань имеет вектор нормали в отрицательном направлении оси. Например, касательные напряжения $\tau _{xy}$ и $\tau _{yx}$ позитивны, потому что действуют на позитивные лица, а также действуют в позитивном направлении. $y$-ось и $x$-ось соответственно (рис. 3). Точно так же соответствующие противоположные напряжения сдвига $\tau _{xy}$ и $\tau _{yx}$ действуя в отрицательных лицах имеют отрицательный знак, потому что они действуют в негативном направлении $x$-ось и $y$- ось соответственно.

Соглашение о знаках Мора, круга и пространства

Рисунок 5. Конвенция по обозначению инженерных механиков для рисования круга Мора. Эта статья следует за значением № 3, как показано.

В соглашении о знаках Мора-круга-пространства нормальные напряжения имеют тот же знак, что и нормальные напряжения в соглашении о знаках физического пространства: положительные нормальные напряжения действуют наружу, в плоскость действия, а отрицательные нормальные напряжения действуют внутрь, в плоскость действия.

Однако стрессы сдвига имеют другое соглашение в пространстве круга МОРА по сравнению с соглашением в физическом пространстве. В соответствии с соглашением о знаках круга Мора и пространства положительные сдвиговые напряжения вращают материальный элемент в направлении против часовой стрелки, а отрицательные сдвиговые напряжения вращают материал в направлении по часовой стрелке. Таким образом, компонента напряжения сдвига $\tau _{xy}$ положительный в пространстве круга MOHR и компонент напряжения сдвига $\tau _{yx}$ отрицательна в пространстве кругов Мора.

Существуют два варианта для рисования пространства Mohr-Circle, которые производят математически правильный кружок Mohr:

1. Положительные напряжения сдвига нанесены вверх (рис. 5, соглашение о знаке № 1)
2. Положительные напряжения сдвига построены вниз, т.е. $\tau _{\mathrm {n} }$-Ка инвертирована (Рисунок 5, Соглашение о знаке № 2).

Построение положительных напряжений сдвига вверх делает угол $2\theta$ На кругу Мор имеет положительное вращение по часовой стрелке, которое противоположна физическому пространству. Именно поэтому некоторые авторы предпочитаю построить положительные напряжения сдвига вниз, что делает угол $2\theta$ На кругу Мор имеют положительное вращение против часовой стрелки, аналогично конвенции о физическом пространстве для напряжений сдвига.

Чтобы преодолеть «проблему» расположения оси напряжения сдвига вниз в пространстве круга Мора, существует альтернативное соглашение о знаках, где предполагается, что положительные напряжения сдвига вращают материальный элемент по часовой стрелке, а отрицательные напряжения сдвига — для вращения элемента. материального элемента в направлении против часовой стрелки (рисунок 5, вариант 3). Таким образом, положительные напряжения сдвига нанесены вверх в пространстве MOHR-Circle и на угле $2\theta$ имеет положительное вращение против часовой стрелки в пространстве круга МОРА. Это соглашение об альтернативном знаке создает круг, идентичный соглашению о знаке № 2 на рисунке 5, потому что положительное напряжение сдвига $\tau _{\mathrm {n} }$ также является напряжением сдвига против часовой стрелки, и оба построены вниз. Кроме того, отрицательное напряжение сдвига $\tau _{\mathrm {n} }$ это напряжение сдвига по часовой стрелке, и оба построены вверх.

Эта статья соответствует соглашению о знаках инженерной механики для физического пространства и альтернативному соглашению о знаках для пространства круга Мора (соглашение о знаках № 3 на рисунке 5).

Рисование круга Мора

Рисунок 6. Круг Мора для плоского напряжения и условий плоского деформации (подход с двойным углом) . После стресс-анализа компоненты стресса $\sigma _{x}$, $\sigma _{y}$, и $\tau _{xy}$ в материальной точке $P$ известны. Эти компоненты напряжения действуют на двух перпендикулярных плоскостях $A$ и $B$ проходя через $P$. Координаты точки $A$ и $B$ На круге Мор находятся компоненты напряжения, действующие на плоскости $A$ и $B$ материального элемента соответственно. Круг MOHR затем используется для поиска компонентов напряжения $\sigma _{\mathrm {n} }$ и $\tau _{\mathrm {n} }$, т. е. координаты любой точки напряжения $D$ на окружности, действующей в любой другой плоскости $D$ проходя через $P$. Угол между линиями ${\overline {OB}}$ и ${\overline {OD}}$ в два раза больше угла $\theta$ между векторами нормалей плоскостей $B$ и $D$ проходя через $P$.

Предполагая, что мы знаем компоненты стресса $\sigma _{x}$, $\sigma _{y}$, и $\tau _{xy}$ в какой-то момент $P$ В исследуемом объекте, как показано на рисунке 4, следующие шаги для построения круга MOHR для состояния напряжений при $P$:

1. Нарисуйте декартову систему координат $(\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })$ с горизонтальным $\sigma _{\mathrm {n} }$-ось и вертикаль $\tau _{\mathrm {n} }$-ось.
2. Постройте две точки $A(\sigma _{y},\tau _{xy})$ и $B(\sigma _{x},-\tau _{xy})$ в $(\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })$ пространство, соответствующее известным компонентам напряжения на обеих перпендикулярных плоскостях $A$ и $B$, соответственно (рис. 4 и 6), после выбранного соглашения о знаке.
3. Нарисуйте диаметр круга , соединив точки $A$ и $B$ с прямой линией ${\overline {AB}}$.
4. Нарисуйте круг Мора . Центр $O$ окружности является серединой линии диаметра ${\overline {AB}}$, что соответствует пересечению этой линии с $\sigma _{\mathrm {n} }$ ось.

Нахождение главных нормальных напряжений

Напряженные компоненты на 2D вращающемся элементе . Нажмите, чтобы увидеть анимацию . Пример того, как компоненты стресса варьируются на грани (края) прямоугольного элемента, поскольку угол его ориентации варьируется. Основные напряжения возникают, когда напряжения сдвига одновременно исчезают с всех лиц. Ориентация, при которой это происходит, дает основные направления . В этом примере, когда прямоугольник горизонталь, напряжения задаются $\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}\\\tau _{yx}&\sigma _{yy}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}-10&10\\10&15\end{matrix}}\right].$ Соответствующее представление Круга Мора показано внизу.

Величина главных напряжений - это абсциссы точек $C$ и $E$ (Рисунок 6), где круг пересекает $\sigma _{\mathrm {n} }$-ось. Величина главного главного напряжения $\sigma _{1}$ всегда является наибольшим абсолютным значением абсциссы любого из этих двух точек. Кроме того, величина незначительного основного стресса $\sigma _{2}$ всегда является самым низким абсолютным значением абсциссы этих двух точек. Как и ожидалось, ординаты этих двух точек равны нулю, что соответствует величине компонентов напряжения сдвига на основных плоскостях. Альтернативно, значения основных напряжений могут быть найдены

$\sigma _{1}=\sigma _{\max }=\sigma _{\text{avg}}+R$

$\sigma _{2}=\sigma _{\min }=\sigma _{\text{avg}}-R$

где величина среднего нормального напряжения $\sigma _{\text{avg}}$ это абсцисса центра $O$, заданный

$\sigma _{\text{avg}}={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})$

и длина радиуса $R$ круга (на основе уравнения круга, проходящего через две точки), дается

$R={\sqrt {\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}}}$

Нахождение максимального и минимального напряжения сдвига

Максимальные и минимальные напряжения сдвига соответствуют ординатам самых высоких и самых низких точек на круге соответственно. Эти точки расположены на пересечении круга с вертикальной линией, проходящей через центр круга, $O$. Таким образом, величина максимальных и минимальных напряжений сдвига равна значению радиуса круга $R$

$\tau _{\max ,\min }=\pm R$

Нахождение составляющих напряжений на произвольной плоскости

Как упоминалось ранее, после выполнения двухмерного анализа стресса мы знаем компоненты напряжения $\sigma _{x}$, $\sigma _{y}$, и $\tau _{xy}$ в материальной точке $P$. Эти компоненты напряжения действуют в двух перпендикулярных плоскостях $A$ и $B$ проходя через $P$ Как показано на рисунке 5 и 6. Круг MOHR используется для поиска компонентов напряжения $\sigma _{\mathrm {n} }$ и $\tau _{\mathrm {n} }$, т. е. координаты любой точки $D$ на окружности, действующей в любой другой плоскости $D$ проходя через $P$ делая угол $\theta$ с самолетом $B$. Для этого можно использовать два подхода: двойной угол, а также полюс или происхождение плоскостей.

Двойной угол

Как показано на рисунке 6, чтобы определить компоненты напряжения $(\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })$ действие в самолете $D$ под углом $\theta$ против часовой стрелки к плоскости $B$ на котором $\sigma _{x}$ действует, мы путешествуем под углом $2\theta$ В том же направлении против часовой стрелки вокруг круга от известной точки напряжения $B(\sigma _{x},-\tau _{xy})$ указывать $D(\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })$, то есть угол $2\theta$ между строк ${\overline {OB}}$ и ${\overline {OD}}$ в круге Мора.

Подход с двойным углом зависит от того факта, что угол $\theta$ между нормальными векторами до двух физических плоскостей, проходящих через $P$ (Рисунок 4) - это половина угла между двумя линиями, соединяющими их соответствующие точки напряжения $(\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })$ на круге Мора и в центре круга.

Это соотношение с двойным углом исходит из того факта, что параметрические уравнения для круга MOHR являются функцией $2\theta$. Также видно, что самолеты $A$ и $B$ в материальном элементе вокруг $P$ на рисунке 5 разделены углом $\theta =90^{\circ }$, который в круге Мора представлен $180^{\circ }$ угол (удвоенный угол).

Полюс или происхождение самолетов

Рисунок 7. Круг Мора для плоского напряжения и условий плоского деформации (подход полюса). Любая прямая линия, проведенная от полюса, будет пересекать круг Мора в точке, которая представляет состояние напряжения на плоскости, наклоненной в той же ориентации (параллельной) в пространстве, что и эта линия.

Второй подход включает в себя определение точки на кругу Мора, называемого полюсом или происхождением плоскостей . Любая прямая линия, проведенная от полюса, будет пересекать круг Мора в точке, которая представляет состояние напряжения на плоскости, наклоненной в той же ориентации (параллельной) в пространстве, что и эта линия. Поэтому, зная компоненты напряжения $\sigma$ и $\tau$ На любой конкретной плоскости можно провести линию, параллельную этой плоскости через конкретные координаты $\sigma _{\mathrm {n} }$ и $\tau _{\mathrm {n} }$ На кругу Мора и найдите полюс как пересечение такой линии с кругом Мора. Например, давайте предположим, что у нас есть состояние напряжения с компонентами стресса $\sigma _{x},\!$, $\sigma _{y},\!$, и $\tau _{xy},\!$, как показано на рисунке 7. Во -первых, мы можем провести линию из точки $B$ параллельно плоскости действия $\sigma _{x}$, или, если мы выберем иное, линию из точки $A$ параллельно плоскости действия $\sigma _{y}$. Пересечение любой из этих двух линий с кругом Мора является полюсом. Как только полюс был определен, чтобы найти состояние напряжения на плоскости, делающем угол $\theta$ с вертикальной или, другими словами, плоскость, имеющая его нормальный вектор, образующий угол $\theta$ С горизонтальной плоскостью мы можем провести линию от полюса, параллельной этой плоскости (см. Рисунок 7). Нормальные и касательные напряжения в этой плоскости тогда являются координатами точки пересечения линии и круга Мора.

Нахождение ориентации главных плоскостей

Ориентацию плоскостей, в которых действуют максимальное и минимальное главные напряжения, также известных как главные плоскости , можно определить, измерив в круге Мора углы ∠BOC и ∠BOE соответственно и взяв половину каждого из этих углов. Таким образом, угол ∠BOC между ${\overline {OB}}$ и ${\overline {OC}}$ в два раза больше угла $\theta _{p}$ которую главная главная плоскость образует с плоскостью $B$.

Углы $\theta _{p1}$ и $\theta _{p2}$ также можно найти из следующего уравнения

$\tan 2\theta _{\mathrm {p} }={\frac {2\tau _{xy}}{\sigma _{y}-\sigma _{x}}}$

Это уравнение определяет два значения для $\theta _{\mathrm {p} }$ которые $90^{\circ }$ друг от друга (рис.). Это уравнение может быть получено непосредственно из геометрии круга или путем создания параметрического уравнения круга для $\tau _{\mathrm {n} }$ Равное нуль (стресс сдвига в основных плоскостях всегда равна нулю).

Пример

Рисунок 8

Рисунок 9

Предположим, что материальный элемент находится в состоянии напряжения, как показано на рисунках 8 и 9, при этом плоскость одной из его сторон ориентирована под углом 10° к горизонтальной плоскости. Используя круг Мора, найдите:

• Ориентация их плоскостей действия.
• Максимальные напряжения сдвига и ориентация их плоскостей действий.
• Компоненты напряжений в горизонтальной плоскости.

Проверьте ответы, используя формулы преобразования напряжений или закон о преобразовании стресса.

Решение: Следуя соглашению о знаках инженерной механики для физического пространства (рис. 5), компоненты напряжения для материального элемента в этом примере таковы:

$\sigma _{x'}=-10{\textrm {MPa}}$

$\sigma _{y'}=50{\textrm {MPa}}$

$\tau _{x'y'}=40{\textrm {MPa}}$.

Следуя шагам для рисования круга Мора для этого конкретного состояния стресса, мы сначала нарисуем декартовую систему координат $(\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })$ с $\tau _{\mathrm {n} }$- ось вверх.

Затем мы наносим на график две точки A(50,40) и B(-10,-40), представляющие состояние напряжения в плоскостях A и B, как показано на рисунках 8 и 9. Эти точки соответствуют соглашению о знаках инженерной механики для Пространство круга Мора (рис. 5), которое предполагает положительные нормальные напряжения, исходящие наружу от материального элемента, и положительные касательные напряжения в каждой плоскости, вращающей материальный элемент по часовой стрелке. Таким образом, касательное напряжение, действующее на плоскость B, отрицательно, а касательное напряжение, действующее на плоскость A, положительно. Диаметр круга - это точка соединения линии A и B. Центр круга - это пересечение этой линии с $\sigma _{\mathrm {n} }$-ось. Зная как расположение центра, так и длину диаметра, мы можем построить кружок Мора для этого конкретного состояния напряжения.

Абсцисы обеих точек E и C (рис. 8 и рисунок 9) пересекают $\sigma _{\mathrm {n} }$Ось -это величины минимальных и максимальных нормальных напряжений, соответственно; ординаты обеих точек E и C представляют собой величины касательных напряжений, действующих как на второстепенную, так и на большую главные плоскости соответственно, которые равны нулю для главных плоскостей.

Несмотря на то, что идея использования круга Мора состоит в том, чтобы графически найти различные компоненты напряжения путем фактического измерения координат различных точек на круге, удобнее подтверждать результаты аналитически. Таким образом, радиус и абсцисса центра круга

${\begin{aligned}R&={\sqrt {\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\\&={\sqrt {\left[{\tfrac {1}{2}}(-10-50)\right]^{2}+40^{2}}}\\&=50{\textrm {MPa}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\sigma _{\mathrm {avg} }&={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})\\&={\tfrac {1}{2}}(-10+50)\\&=20{\textrm {MPa}}\\\end{aligned}}$

и главные напряжения

${\begin{aligned}\sigma _{1}&=\sigma _{\mathrm {avg} }+R\\&=70{\textrm {MPa}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\sigma _{2}&=\sigma _{\mathrm {avg} }-R\\&=-30{\textrm {MPa}}\\\end{aligned}}$

Координаты для обеих точек H и G (рис. 8 и рисунок 9) представляют собой величины минимальных и максимальных напряжений сдвига соответственно; по оси абсцисс для обеих точек H и G показаны величины нормальных напряжений, действующих в тех же плоскостях, где действуют соответственно минимальное и максимальное касательные напряжения. Величины минимальных и максимальных напряжений сдвига можно найти аналитически

$\tau _{\max ,\min }=\pm R=\pm 50{\textrm {MPa}}$

и нормальные напряжения, действующие на тех же плоскостях, где действуют минимальные и максимальные напряжения сдвига, равны $\sigma _{\mathrm {avg} }$

Мы можем выбрать либо использовать подход двойного угла (рис. 8), либо подход полюса (рис. 9), чтобы найти ориентацию главных нормальных напряжений и главных касательных напряжений.

Используя подход двойного угла, мы измеряем углы ∠BOC и ∠BOE в круге Мора (рис. 8), чтобы найти двойной угол, который большее главное напряжение и меньшее главное напряжение составляют с плоскостью B в физическом пространстве. Чтобы получить более точное значение этих углов, вместо измерения углов вручную мы можем использовать аналитическое выражение

${\begin{aligned}2\theta _{\mathrm {p} }=\arctan {\frac {2\tau _{xy}}{\sigma _{x}-\sigma _{y}}}=\arctan {\frac {2*40}{(-10-50)}}=-\arctan {\frac {4}{3}}\end{aligned}}$

Одно из решений: $2\theta _{p}=-53.13^{\circ }$. Судя по рисунку 8, это значение соответствует углу ∠BOE. Таким образом, малый главный угол равен

$\theta _{p2}=-26.565^{\circ }$

Тогда большой главный угол равен

${\begin{aligned}2\theta _{p1}&=180-53.13^{\circ }=126.87^{\circ }\\\theta _{p1}&=63.435^{\circ }\\\end{aligned}}$

Помните, что в этом конкретном примере $\theta _{p1}$ и $\theta _{p2}$ есть углы по отношению к плоскому действию $\sigma _{x'}$ (ориентирован на $x'$-у ось), а не углов по плоскости действия $\sigma _{x}$ (ориентирован на $x$-ось).

Используя подход полюса, мы сначала локализуем полюс или происхождение самолетов. Для этого проведем через точку А на круге Мора линию, наклоненную на 10° к горизонтали, или, другими словами, линию, параллельную плоскости А, где $\sigma _{y'}$ действует. Полюс - это место, где эта линия пересекает кружок Мора (рис. 9). Чтобы подтвердить местоположение полюса, мы могли бы провести линию через точку B на кругу Мора, параллельно плоскости B, где $\sigma _{x'}$ действует. Эта линия также пересекает круг Мор на полюсе (рис. 9).

От полюса проводим линии к разным точкам круга Мора. Координаты точек пересечения этих линий с кругом Мора обозначают компоненты напряжений, действующие на плоскость в физическом пространстве, имеющую тот же наклон, что и линия. Например, линия от полюса к точке C в круге имеет тот же наклон, что и плоскость в физическом пространстве, где $\sigma _{1}$ действует. Эта плоскость составляет угол 63,435 ° с плоскостью B, как в пространстве MOHR-Circle, так и в физическом пространстве. Точно так же линии прослеживаются от полюса до точек E, D, F, G и H, чтобы найти компоненты напряжения на плоскостях с той же ориентацией.

Круг Мора для общего трехмерного состояния стрессов

Рисунок 10. Круг Мора для трехмерного состояния стресса

Для построения круга Мора для общего трехмерного случая напряжений в точке, значения основных напряжений $\left(\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}\right)$ и их основные направления $\left(n_{1},n_{2},n_{3}\right)$ необходимо сначала оценить.

Учитывая основные оси как систему координат, вместо общего $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ системе координат и предполагая, что $\sigma _{1}>\sigma _{2}>\sigma _{3}$, затем нормальные и сдвижные компоненты вектора напряжения $\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}$, для данной плоскости с единичным вектором $\mathbf {n}$, удовлетворяют следующим уравнениям

${\begin{aligned}\left(T^{(n)}\right)^{2}&=\sigma _{ij}\sigma _{ik}n_{j}n_{k}\\\sigma _{\mathrm {n} }^{2}+\tau _{\mathrm {n} }^{2}&=\sigma _{1}^{2}n_{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}n_{3}^{2}\end{aligned}}$

$\sigma _{\mathrm {n} }=\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}.$

Зная это $n_{i}n_{i}=n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}=1$, мы можем решить $n_{1}^{2}$, $n_{2}^{2}$, $n_{3}^{2}$, используя метод устранения Гаусса, который дает

${\begin{aligned}n_{1}^{2}&={\frac {\tau _{\mathrm {n} }^{2}+(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{2})(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{3})}{(\sigma _{1}-\sigma _{2})(\sigma _{1}-\sigma _{3})}}\geq 0\\n_{2}^{2}&={\frac {\tau _{\mathrm {n} }^{2}+(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{3})(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{1})}{(\sigma _{2}-\sigma _{3})(\sigma _{2}-\sigma _{1})}}\geq 0\\n_{3}^{2}&={\frac {\tau _{\mathrm {n} }^{2}+(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{1})(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{2})}{(\sigma _{3}-\sigma _{1})(\sigma _{3}-\sigma _{2})}}\geq 0.\end{aligned}}$

С $\sigma _{1}>\sigma _{2}>\sigma _{3}$, и $(n_{i})^{2}$ неотрицательно, числители из этих уравнений удовлетворяют

$\tau _{\mathrm {n} }^{2}+(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{2})(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{3})\geq 0$ как знаменатель $\sigma _{1}-\sigma _{2}>0$ и $\sigma _{1}-\sigma _{3}>0$

$\tau _{\mathrm {n} }^{2}+(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{3})(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{1})\leq 0$ как знаменатель $\sigma _{2}-\sigma _{3}>0$ и $\sigma _{2}-\sigma _{1}<0$

$\tau _{\mathrm {n} }^{2}+(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{1})(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{2})\geq 0$ как знаменатель $\sigma _{3}-\sigma _{1}<0$ и $\sigma _{3}-\sigma _{2}<0.$

Эти выражения можно переписать как

${\begin{aligned}\tau _{\mathrm {n} }^{2}+\left[\sigma _{\mathrm {n} }-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{2}+\sigma _{3})\right]^{2}\geq \left({\tfrac {1}{2}}(\sigma _{2}-\sigma _{3})\right)^{2}\\\tau _{\mathrm {n} }^{2}+\left[\sigma _{\mathrm {n} }-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{1}+\sigma _{3})\right]^{2}\leq \left({\tfrac {1}{2}}(\sigma _{1}-\sigma _{3})\right)^{2}\\\tau _{\mathrm {n} }^{2}+\left[\sigma _{\mathrm {n} }-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{1}+\sigma _{2})\right]^{2}\geq \left({\tfrac {1}{2}}(\sigma _{1}-\sigma _{2})\right)^{2}\\\end{aligned}}$

которые являются уравнениями трех кругов Мор для стресса $C_{1}$, $C_{2}$, и $C_{3}$, с радиусами $R_{1}={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{2}-\sigma _{3})$, $R_{2}={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{1}-\sigma _{3})$, и $R_{3}={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{1}-\sigma _{2})$, и их центры с координатами $\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{2}+\sigma _{3}),0\right]$, $\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{1}+\sigma _{3}),0\right]$, $\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}),0\right]$, соответственно.

Эти уравнения для кругов MOHR показывают, что все допустимые точки напряжения $(\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })$ Лежать на этих кругах или в затененной области, заключенной ими (см. Рисунок 10). Точки стресса $(\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })$ удовлетворяющее уравнению для круга $C_{1}$ лежать на круге или за его пределами $C_{1}$. Точки стресса $(\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })$ удовлетворяющее уравнению для круга $C_{2}$ лежать на круге или внутри круга $C_{2}$. И наконец, точки стресса $(\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })$ удовлетворяющее уравнению для круга $C_{3}$ лежать на круге или за его пределами $C_{3}$.

См. также

• Анализ критической плоскости

Библиография

• Пиво, Фердинанд Пьер; Элвуд Рассел Джонстон; Джон Т. ДеВольф (1992). Механика материалов . МакГроу-Хилл Профессионал. ISBN  0-07-112939-1 .
• Брэди, БХГ; Э. Т. Браун (1993). Рок Механика для подземного добычи (третье изд.). Академическое издательство Клювер. стр. 17–29. ISBN  0-412-47550-2 .
• Дэвис, РОД; Сальвадурай. АПС (1996). Упругость и геомеханика . Издательство Кембриджского университета. стр. 100-1 16–26. ISBN  0-521-49827-9 .
• Хольц, Роберт Д.; Ковач, Уильям Д. (1981). Введение в инженерно-геологическую инженерию . Серия Гражданского строительства и инженерии Prentice-Hall. Прентис-Холл. ISBN  0-13-484394-0 .
• Джагер, Джон Конрад; Кук, НГВ; Циммерман, RW (2007). Основы механики горных пород (Четвертое изд.). Уайли-Блэквелл. стр. 9–41. ISBN  978-0-632-05759-7 .
• Юмикис, Альфредс Р. (1969). Теоретическая механика почвы: с практическим применением к механике почвы и фундаментной технике . компании Ван Ностранд Рейнхольд ISBN  0-442-04199-3 .
• Парри, Ричард Хоули Грей (2004). Мохрские круги, пути стресса и геотехника (2 изд.). Тейлор и Фрэнсис. стр. 1–30. ISBN  0-415-27297-1 .
• Тимошенко, Стивен П .; Джеймс Норман Гудьер (1970). Теория упругости (Третье изд.). McGraw-Hill International Editions. ISBN  0-07-085805-5 .
• Тимошенко, Стивен П. (1983). История силы материалов: с кратким описанием истории теории эластичности и теории структур . Дуврские книги по физике. Дуврские публикации. ISBN  0-486-61187-6 .

Внешние ссылки

• Круг Мора и больше кругов Ребекки Браннон
• Doitpoms Teaching and Learning Package- Анализ стресса и кружок Мора »