Жорданова операторная алгебра

В математике йордановые операторные алгебры — это вещественные или комплексные йордановые алгебры с совместимой структурой банахового пространства. Когда коэффициенты являются действительными числами , алгебры называются йордановыми банаховыми алгебрами . Теория получила широкое развитие лишь для подкласса алгебр JB . Аксиомы для этих алгебр были разработаны Альфсеном, Шульцем и Стермером (1978) . Те, которые могут быть конкретно реализованы как подалгебры самосопряженных операторов в вещественном или комплексном гильбертовом пространстве с операторным йордановым произведением и операторной нормой, называются алгебрами JC . Аксиомы комплексных йордановых операторных алгебр, впервые предложенные Ирвингом Каплански в 1976 году, требуют инволюции и называются алгебрами JB* или алгебрами Иордана C* . По аналогии с абстрактной характеристикой алгебр фон Неймана как C*-алгебр, для которых основное банахово пространство является двойственным другому, существует соответствующее определение алгебр JBW . Те, которые можно реализовать с помощью сверхслабо замкнутых йордановых алгебр самосопряженных операторов с операторным йордановым произведением, называются JW-алгебры . Алгебры JBW с тривиальным центром, так называемые факторы JBW , классифицируются в терминах факторов фон Неймана: кроме исключительной 27-мерной алгебры Альберта и спиновых факторов , все остальные факторы JBW изоморфны либо самосопряженной части фактора фон Неймана или к его алгебре неподвижных точек при *-антиавтоморфизме периода два. Жордановые операторные алгебры применялись в квантовой механике и комплексной геометрии , где Кёхером описание ограниченных симметричных областей с использованием йордановых алгебр было расширено до бесконечных измерений.

Определения

JC алгебра

Алгебра JC — это вещественное подпространство пространства самосопряженных операторов в вещественном или комплексном гильбертовом пространстве, замкнутое относительно операторного йорданового произведения a ∘ b = ⁠ 1/2 ⁠ + ( ) и замкнуто в ab операторной ba норме.

JC алгебра

Алгебра JC — это нормозамкнутое самосопряженное подпространство пространства операторов в комплексном гильбертовом пространстве, замкнутое относительно операторного йорданового произведения a ∘ b = ⁠ 1/2 ⁠ + ( ) и замкнуто в ab операторной ba норме.

Жорданова операторная алгебра

Жорданова операторная алгебра — это нормозамкнутое подпространство пространства операторов комплексного гильбертова пространства, замкнутое относительно йорданового произведения a ∘ b = ⁠ 1/2 ⁠ + ( ) и замкнуто в ab операторной ba норме.

Джордан Банахова алгебра

Йордановой банаховой алгеброй называется действительная йорданова алгебра с нормой, делающей ее банаховым пространством и удовлетворяющей || а ∘ б || ≤ || а ||⋅|| б ||.

JB алгебра

Алгебра JB — это йорданова банахова алгебра, удовлетворяющая

$\displaystyle {\|a^{2}\|=\|a\|^{2},\,\,\,\|a^{2}\|\leq \|a^{2}+b^{2}\|.}$

JB*-алгебры

Алгебра JB* или йорданова C* алгебра — это комплексная йорданова алгебра с инволюцией a ↦ a * и нормой, делающей ее банаховым пространством и удовлетворяющей условиям

• || а ∘ б || ≤ || а ||⋅|| б ||
• || а *|| = || а ||
• ||{ а , а *, а }|| = || а || ³ где тройное произведение Жордана определяется формулой { а , б , c } знак равно ( а ∘ б ) ∘ c + ( c ∘ б ) ∘ а - ( а ∘ c ) ∘ б .

JW-алгебры

Алгебра JW — это йордановая подалгебра йордановой алгебры самосопряженных операторов в комплексном гильбертовом пространстве, замкнутая в слабой операторной топологии .

JBW-алгебры

Алгебра JBW — это алгебра JB, которая, как вещественное банахово пространство, является двойственной к банаховому пространству, называемому его предуальным . Существует эквивалентное более техническое определение с точки зрения свойств непрерывности линейных функционалов в предуальном, называемых нормальными функционалами . Обычно это принимают за определение и полученную как следствие абстрактную характеристику двойственного банахова пространства.

• Для порядковой структуры алгебры JB (определенной ниже) любая возрастающая сеть ограниченных по норме операторов должна иметь наименьшую верхнюю границу.
• Нормальные функционалы — это функционалы, непрерывные на возрастающих ограниченных сетях операторов. Положительные нормальные функционалы — это те, которые неотрицательны для положительных операторов.
• Для каждого ненулевого оператора существует положительный нормальный функционал, который не обращается в нуль на этом операторе.

Свойства JB-алгебр

Смотрите также: Евклидова йорданова алгебра

• Если алгебра JB с единицей ассоциативна , то ее комплексификация с естественной инволюцией является коммутативной C*-алгеброй. Поэтому он изоморфен C( X ) для компакта X , пространства характеров алгебры.
• Спектральная теорема. Если a — единственный оператор в алгебре JB, замкнутая подалгебра, порожденная 1 и a, ассоциативна. Его можно отождествить с непрерывными вещественными функциями в спектре a , множестве вещественных λ, для которых a − λ1 не обратимо.
• Положительными элементами в единичной алгебре JB являются элементы, спектр которых содержится в [0,∞). По спектральной теореме они совпадают с пространством квадратов и образуют замкнутый выпуклый конус. Если b ≥ 0, то { a , b , a } ≥ 0.
• Алгебра JB является формально вещественной йордановой алгеброй : если сумма квадратов членов равна нулю, то каждый член равен нулю. В конечных размерностях алгебра JB изоморфна евклидовой йордановой алгебре .
• Спектральный радиус алгебры JB определяет эквивалентную норму, также удовлетворяющую аксиомам алгебры JB.
• Состояние на единичной алгебре JB — это ограниченный линейный функционал f такой, что f (1) = 1 и f неотрицательен на положительном конусе. Пространство состояний представляет собой выпуклое множество, замкнутое в слабой* топологии. Крайние точки называются чистыми состояниями. Учитывая a, существует чистое состояние f такое, что | ж ( а )| = || а ||.
• Конструкция Гельфанда–Наймарка–Сигала : если алгебра JB изоморфна самосопряженным n на n матрицам с коэффициентами из некоторой ассоциативной единичной *-алгебры, то она изометрически изоморфна алгебре JC. Алгебра JC удовлетворяет дополнительному условию, согласно которому ( T + T *)/2 принадлежит алгебре всякий раз, когда T является произведением операторов алгебры.
• Алгебра JB является чисто исключительной , если она не имеет ненулевого йорданового гомоморфизма на алгебру JC. Единственная простая алгебра, которая может возникнуть как гомоморфный образ чисто исключительной алгебры JB, — это алгебра Альберта , самосопряженные матрицы 3 на 3 над октонионами .
• Каждая алгебра JB имеет однозначно определенный замкнутый идеал, который является чисто исключительным и такой, что фактор по идеалу является алгеброй JC.
• Теорема Ширшова–Кона. Алгебра JB, порожденная двумя элементами, является алгеброй JC.

Свойства JB*-алгебр

Определение JB*-алгебры было предложено в 1976 году Ирвингом Каплански на лекции в Эдинбурге. Действительная часть алгебры JB* всегда является алгеброй JB. Райт (1977) доказал, что, наоборот, комплексификация любой JB-алгебры является JB*-алгеброй. Алгебры JB* широко использовались в качестве основы для изучения ограниченных симметричных областей в бесконечных измерениях. Это обобщает теорию в конечных измерениях, развитую Максом Кехером с использованием комплексификации евклидовой йордановой алгебры .

Свойства алгебр JBW

Элементарные свойства

• Теорема Капланского о плотности справедлива для вещественных йордановых алгебр с единицей самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве с операторным йордановым произведением. В частности, йордановая алгебра замкнута в слабой операторной топологии тогда и только тогда, когда она замкнута в сверхслабой операторной топологии . Обе топологии совпадают на йордановой алгебре.
• Для алгебры JBW пространство положительных нормальных функционалов инвариантно относительно квадратичного представления Q ( a ) b = { a , b , a }. Если f положителен, то и f ∘ Q ( a ).
• Слабая топология алгебры JW M определяется полунормами | ж ( а )| где f – нормальное состояние; сильная топология определяется полунормами | е ( а ² )| ^1/2 . Квадратичное представление и операторы жорданового произведения L ( a ) b = a ∘ b являются непрерывными операторами на M как для слабой, так и для сильной топологии.
• Идемпотент p в алгебре JBW M называется проектором . Если p — проектор, то Q ( p ) M — алгебра JBW с тождеством p .
• Если a - любой элемент алгебры JBW, наименьшая слабо замкнутая подалгебра с единицей, которую он порождает, ассоциативна и, следовательно, является самосопряженной частью абелевой алгебры фон Неймана. В частности, а можно аппроксимировать по норме линейными комбинациями ортогональных проекций.
• Проекции в алгебре JBW замкнуты относительно решеточных операций. образом, для семейства pα _{такая ,} существует наименьшая проекция p такая, что p ≥ pα _, и наибольшая проекция q что q ≤ pα _Таким .
• Центр L JBW-алгебры состоит из всех z таких, что ( z ) коммутирует с L ( a ) для a в M. M Это ассоциативная алгебра и действительная часть абелевой алгебры фон Неймана. Алгебра JBW называется фактором , если ее центр состоит из скалярных операторов.
• Если A — алгебра JB, то ее вторая двойственная A ** — алгебра JBW. Нормальные состояния — это состояния в * , и их можно идентифицировать с состояниями в A. A Более того, A ** — алгебра JBW, A. порождённая
• Алгебра JB является алгеброй JBW тогда и только тогда, когда как вещественное банахово пространство она является двойственной банаховому пространству. Это банахово пространство, его предуальное пространство , является пространством нормальных функционалов, определяемых как разности положительных нормальных функционалов. Это функционалы, непрерывные для слабой и сильной топологий. Как следствие, на алгебре JBW слабая и сильная топологии совпадают.
• В алгебре JBW алгебра JBW, порожденная йордановой подалгеброй, совпадает со своим слабым замыканием. Более того, справедливо расширение теоремы Капланского о плотности: единичный шар подалгебры слабо плотен в единичном шаре порождаемой им алгебры JBW.
• Теория Томиты-Такесаки была распространена Хаагерупом и Ханче-Олсеном (1984) на нормальные состояния алгебры JBW, которые являются точными, т.е. не обращаются в нуль ни для одного ненулевого положительного оператора. Теорию можно вывести из исходной теории алгебр фон Неймана.

Сравнение прогнозов

Пусть M — фактор JBW. Внутренние автоморфизмы M — это те, которые порождены автоморфизмами периода два Q (1 – 2 p ), где p — проекция. Два проектора эквивалентны, если существует внутренний автоморфизм, переводящий один на другой. Учитывая две проекции фактора, одна из них всегда эквивалентна подпроекции другой. Если каждый из них эквивалентен подпроекции другого, они эквивалентны.

Фактор JBW можно разделить на три взаимоисключающих типа:

• Это тип I, если имеется минимальная проекция. Это тип I _n, если 1 можно записать как сумму n ортогональных минимальных проекций для 1 ≤ n ≤ ∞.
• Это тип II, если нет минимальных проекций, но подпроекции некоторых фиксированных проекций e образуют модульную решетку , т.е. p ≤ q влечет ( p ∨ r ) ∧ q = p ∨ ( r ∧ q ) для любой проекции r ≤ e . Если e можно принять равным 1, это тип II ₁ . В противном случае это тип II _≈ .
• Это тип III, если проекции не образуют модульную решетку. Тогда все ненулевые проекции эквивалентны.

Теория Томиты–Такесаки допускает дальнейшую классификацию случая типа III на типы III _λ (0 ≤ λ ≤ 1) с дополнительным инвариантом эргодического потока в пространстве Лебега («поток весов») при λ = 0.

Классификация факторов JBW типа I

• Коэффициент JBW типа I ₁ представляет собой действительные числа .
• Факторы JBW типа I ₂ представляют собой спин-факторы . Пусть H — вещественное гильбертово пространство размерности больше 1. Положим M = H ⊕ R со скалярным произведением ( u ⊕ λ, v ⊕μ) = ( u , v ) + λμ и произведением (u⊕λ)∘(v⊕ µ)=( µ ты + λ v ) ⊕ [( u , v ) + λµ]. С операторной нормой || L ( a )||, M — фактор JBW, а также фактор JW.
• Факторы JBW типа I ₃ представляют собой самосопряженные матрицы размером 3 на 3 с элементами действительных чисел, комплексных чисел , кватернионов или октонионов .
• Факторы JBW типа I _n с 4 ≤ n < ∞ представляют собой самосопряженные матрицы размером n на n с элементами действительных чисел, комплексных чисел или кватернионов.
• Факторы JBW типа I _∞ представляют собой самосопряженные операторы в бесконечномерном вещественном, комплексном или кватернионном гильбертовом пространстве . Кватернионное пространство определяется как все последовательности x = ( x _i ) с x _i в H и Σ | х _я | ² < ∞. Внутренний продукт со значением H определяется выражением ( x , y ) = Σ ( y _i )* x _i . Существует реальный внутренний продукт, определяемый формулой ( x , y ) _R = Re ( x , y ). Таким образом, кватернионный фактор JBW типа I _∞ является йордановой алгеброй всех самосопряженных операторов в этом вещественном пространстве внутреннего продукта, которые коммутируют с действием правого умножения на H .

Классификация факторов JBW типов II и III

Все факторы JBW, не относящиеся к типу I ₂ и I ₃ , являются факторами JW, т. е. могут быть реализованы как йордановые алгебры самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, замкнутом в слабой операторной топологии. Каждый фактор JBW не типа I ₂ или типа I ₃ изоморфен самосопряженной части алгебры неподвижной точки 2 *-антиавтоморфизма периода алгебры фон Неймана. В частности, каждый фактор JBW изоморфен либо самосопряженной части фактора фон Неймана того же типа, либо самосопряженной части алгебры неподвижных точек периода 2 *-антиавтоморфизма фактора фон Неймана типа того же типа. Для гиперконечных факторов , класса факторов фон Неймана, полностью классифицированного Конном и Хаагерупом, антиавтоморфизмы периода 2 * были классифицированы с точностью до сопряженности в группе автоморфизмов фактора.

См. также

• Джордан Алгебра
• Евклидова йорданова алгебра

Ссылки

• Альфсен, Э.М.; Шульц, ФРВ; Стёрмер, Э. (1978), «Теорема Гельфанда-Неймарка для йордановых алгебр», Успехи в математике , 28 : 11–56, doi : 10.1016/0001-8708(78)90044-0 , hdl : 10852/43986
• Блечер, Дэвид П.; Ван, Чжэньхуа (2018), «Жорданские операторные алгебры: базовая теория», Mathematical News , 291 (11–12): 1629–1654, arXiv : 1705.00245 , doi : 10.1002/mana.201700178 , S2CID   119166047
• Диксмье, Дж. (1981), Алгебры фон Неймана , ISBN  0-444-86308-7 (Перевод Диксмье, Дж. (1957), Операторные алгебры в гильбертовом пространстве: алгебры фон Неймана , Готье-Вилларс , первая книга об алгебрах фон Неймана.)
• Эффрос, Э.Г.; Стёрмер, Э. (1967), "Жордановые алгебры самосопряженных операторов", Trans. амер. Математика. Соц. , 127 (2): 313–316, doi : 10.1090/s0002-9947-1967-0206733-x , hdl : 10852/44991
• Фаро, Жак; Кораньи, Адам (1994), Анализ симметричных конусов , Оксфордские математические монографии, The Clarendon Press, Oxford University Press, Нью-Йорк, ISBN  0-19-853477-9 , МР   1446489
• Джордано, Тьерри; Джонс, Воган (1980), «Инволюционные антиавтоморфизмы гиперконечного фактора II типа ₁ », CR Acad. наук. Париж : A29–A31, Збл   0428.46047.
• Джордано, Т. (1983a), «Инволюционные антиавтоморфизмы инъективных факторов фон Неймана. I», J. Теория операторов , 10 : 251–287
• Джордано, Т. (1983b), "Инволюционные антиавтоморфизмы инъективных факторов фон Неймана. II", J. Funct. Анальный. , 51 (3): 326–360, doi : 10.1016/0022-1236(83)90017-4
• Ханче-Олсен, Х. (1983), "О структуре и тензорных произведениях JC-алгебр", Can. Дж. Математика. , 35 (6): 1059–1074, doi : 10.4153/cjm-1983-059-8 , hdl : 10852/45065 , S2CID   122028832
• Хаагеруп, У.; Ханче-Олсен, Х. (1984), «Теория Томиты – Такесаки для йордановых алгебр», J. Теория операторов , 11 : 343–364, Zbl   0567.46037
• Ханче-Олсен, Х.; Стермер, Э. (1984), Жордановые операторные алгебры , Монографии и исследования по математике, том 21, Питман, ISBN.  0273086197
• Стёрмер, Эрлинг (1980), «Реальная структура в гиперконечном факторе», Duke Math. Ж. , 47 : 145–153, doi : 10.1215/S0012-7094-80-04711-0 , Збл   0462.46044
• Апмайер, Х. (1985), Симметричные банаховы многообразия и йордановые C∗-алгебры , Математические исследования Северной Голландии, том. 104, ISBN  0444876510
• Апмейер, Х. (1987), Жордановые алгебры в анализе, теории операторов и квантовой механике , Серия региональных конференций CBMS по математике, том. 67, Американское математическое общество, ISBN.  082180717X
• Райт, JDM (1977), «Джордан C∗-алгебры», Michigan Math. Ж. , 24 : 291–302, doi : 10.1307/mmj/1029001946 , Збл   0384.46040