Графики движения и производные

Зеленая линия показывает наклон графика скорости-времени в той точке, где две линии соприкасаются . Его наклон — это ускорение в этой точке.

В механике производная зависимости положения времени равна объекта от графика скорости объекта . В Международной системе единиц положение движущегося объекта измеряется в метрах относительно начала координат , а время измеряется в секундах . Поместив положение на ось Y и время на ось X , наклон кривой определяется следующим образом:

v={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}.

Здесь $s$ это положение объекта, и $t$ это время. Следовательно, наклон кривой дает изменение положения, деленное на изменение во времени, что является определением средней скорости для этого интервала времени на графике. Если этот интервал сделать бесконечно малым, таким, что ${\Delta s}$ становится ${ds}$ и ${\Delta t}$ становится ${dt}$ , результатом является мгновенная скорость в момент времени $t$ , или производная позиции по времени.

Аналогичный факт справедлив и для графика зависимости скорости от времени. Наклон графика зависимости скорости от времени представляет собой ускорение , на этот раз скорость откладывается по оси Y, а время — по оси X. И снова наклон линии меняется. $y$ из-за изменений в $x$ :

a={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {\Delta v}{\Delta t}}

где $v$ это скорость, а $t$ это время. Таким образом, этот наклон определяет среднее ускорение за интервал, а уменьшение интервала бесконечно мало дает ${\begin{matrix}{\frac {dv}{dt}}\end{matrix}}$ , мгновенное ускорение в момент времени $t$ , или производная скорости по времени (или вторая производная положения по времени). В системе СИ этот наклон или производная выражается в метрах в секунду в секунду ( $\mathrm {m/s^{2}}$ обычно называют «метрами на секунду в квадрате»).

Поскольку скорость объекта является производной графика положения, площадь под линией на графике зависимости скорости от времени представляет собой смещение объекта. (Скорость отложена по оси Y, а время — по оси X. Умножая скорость на время, время сокращается, и остается только смещение.)

То же правило умножения справедливо и для графиков зависимости ускорения от времени. Когда ускорение умножается

Переменная скорость изменения

Выражения, приведенные выше, применимы только тогда, когда скорость изменения постоянна или когда только средняя ( средняя требуется ) скорость изменения. Если скорость или положение изменяются со временем нелинейно , как в примере, показанном на рисунке, то дифференцирование дает правильное решение. Дифференциация уменьшает использованные выше промежутки времени до чрезвычайно малых ( бесконечно малых ) и дает скорость или ускорение в каждой точке графика, а не между начальной и конечной точкой. Производные : формы приведенных выше уравнений

v={\frac {ds}{dt}},

a={\frac {dv}{dt}}.

Поскольку ускорение отличает выражение, включающее положение, его можно переписать как вторую производную по времени:

a={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}.

Поскольку для целей такой механики интегрирование является противоположностью дифференцирования, также возможно выразить положение как функцию скорости, а скорость как функцию ускорения. Процесс определения площади под кривой, как описано выше, может дать смещение и изменение скорости за определенные интервалы времени, используя определенные интегралы :

s(t_{2})-s(t_{1})=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{v}\,dt,

v(t_{2})-v(t_{1})=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{a}\,dt.

См. также

Ссылки

Вольфсон, Ричард; Джей М. Пасачофф (1999). Физика для ученых и инженеров (3-е изд.). Ридинг, Массачусетс : Аддисон-Уэсли . стр. 23–38. ISBN 0-321-03571-2 .