Состояние Гринбергера-Хорна-Цайлингера

В физике , в области квантовой теории информации , состояние Гринбергера-Хорна-Цайлингера ( состояние ГХЦ ) — это определенный тип запутанного квантового состояния , в котором участвуют как минимум три подсистемы (состояния частиц, кубиты или кудиты ). Четырехчастичная версия была впервые изучена Дэниелом Гринбергером , Майклом Хорном и Антоном Зейлингером в 1989 году, а трехчастичная версия была представлена Н. Дэвидом Мермином в 1990 году. ^[1]^[2]^[3] Наблюдаются крайне неклассические свойства государства, противоречащие интуитивным представлениям о локальности и причинности. Предполагается, что состояния GHZ для большого количества кубитов обеспечивают более высокую производительность в метрологии по сравнению с другими состояниями суперпозиции кубитов. ^[4]

Определение

Состояние GHZ представляет собой запутанное квантовое состояние для 3 кубитов , и его состояние

|\mathrm {GHZ} \rangle ={\frac {|000\rangle +|111\rangle }{\sqrt {2}}}.

Обобщение

Обобщенное состояние ГГЦ представляет собой запутанное квантовое состояние $M > 2$ подсистем. Если каждая система имеет размерность $d$ , т. е. локальное гильбертово пространство изоморфно $\mathbb {C} ^{d}$ , то полное гильбертово пространство $M$ -партитная система - это ${\mathcal {H}}_{\rm {tot}}=(\mathbb {C} ^{d})^{\otimes M}$ . Это состояние GHZ также называется $M$ -частичное состояние qudit GHZ. Его формула как тензорного произведения:

|\mathrm {GHZ} \rangle ={\frac {1}{\sqrt {d}}}\sum _{i=0}^{d-1}|i\rangle \otimes \cdots \otimes |i\rangle ={\frac {1}{\sqrt {d}}}(|0\rangle \otimes \cdots \otimes |0\rangle +\cdots +|d-1\rangle \otimes \cdots \otimes |d-1\rangle )

.

В случае, если каждая из подсистем является двумерной, то есть для набора из M кубитов, она читается как

|\mathrm {GHZ} \rangle ={\frac {|0\rangle ^{\otimes M}+|1\rangle ^{\otimes M}}{\sqrt {2}}}.

Характеристики

Не существует стандартной меры многочастной запутанности, поскольку существуют разные, не взаимоисключаемые типы многочастной запутанности. Тем не менее, многие меры определяют состояние GHZ как максимально запутанное состояние . ^{[ нужна ссылка ]}

Другое важное свойство состояния GHZ состоит в том, что частичный след одной из трех систем дает

\operatorname {Tr} _{3}\left[\left({\frac {|000\rangle +|111\rangle }{\sqrt {2}}}\right)\left({\frac {\langle 000|+\langle 111|}{\sqrt {2}}}\right)\right]={\frac {(|00\rangle \langle 00|+|11\rangle \langle 11|)}{2}},

которое представляет собой распутанное смешанное состояние . В нем есть определенные двухчастичные (кубитовые) корреляции, но они имеют классический характер . С другой стороны, если бы мы измеряли одну из подсистем таким образом, чтобы при измерении различались состояния 0 и 1, мы оставим после себя либо $|00\rangle$ или $|11\rangle$ , которые представляют собой распутанные чистые состояния. Это не похоже на состояние W , которое оставляет двудольную запутанность, даже когда мы измеряем одну из его подсистем. ^{[ нужна ссылка ]}

Состояние GHZ небисепарабельно. ^[5] и является представителем одного из двух небисепарабельных классов 3-кубитных состояний, которые не могут быть преобразованы (даже вероятностно) друг в друга с помощью локальных квантовых операций , другой — состояние W , $|\mathrm {W} \rangle =(|001\rangle +|010\rangle +|100\rangle )/{\sqrt {3}}$ . ^[6]Таким образом $|\mathrm {GHZ} \rangle$ и $|\mathrm {W} \rangle$ представляют собой два совершенно разных типа запутанности для трех или более частиц. ^[7]Состояние W в определенном смысле «менее запутано», чем состояние GHZ; однако эта запутанность в некотором смысле более устойчива к одночастичным измерениям, поскольку для состояния N -кубита W состояние запутанного ( N - 1)-кубита остается после одночастичного измерения. Напротив, некоторые измерения состояния GHZ превращают его в смесь или чистое состояние.

Эксперименты по состоянию GHZ приводят к поразительным неклассическим корреляциям (1989). Частицы, приготовленные в этом состоянии, приводят к версии теоремы Белла , которая показывает внутреннюю противоречивость понятия элементов реальности, введенного в знаменитой статье Эйнштейна-Подольского-Розена . Первое лабораторное наблюдение корреляций GHZ было осуществлено группой Антона Цайлингера (1998), получившего за эту работу часть Нобелевской премии по физике 2022 года. ^[8] За этим последовало множество более точных наблюдений. Корреляции могут быть использованы в некоторых квантовых информационных задачах. К ним относятся многопартнерская квантовая криптография (1998 г.) и задачи сложности связи (1997, 2004 г.).

Парная запутанность

Хотя измерение третьей частицы состояния GHZ, которая различает два состояния, приводит к образованию незапутанной пары, измерение в ортогональном направлении может оставить после себя максимально запутанное состояние Белла . Это показано ниже.

Состояние 3-кубитного GHZ можно записать как

|\mathrm {GHZ} \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|000\rangle +|111\rangle \right)={\frac {1}{2}}\left(|00\rangle +|11\rangle \right)\otimes |+\rangle +{\frac {1}{2}}\left(|00\rangle -|11\rangle \right)\otimes |-\rangle ,

где третья частица записывается как суперпозиция в базисе X (в отличие от базиса Z ) как $|0\rangle =(|+\rangle +|-\rangle )/{\sqrt {2}}$ и $|1\rangle =(|+\rangle -|-\rangle )/{\sqrt {2}}$ .

Тогда измерение состояния GHZ по базису X для третьей частицы дает либо $|\Phi ^{+}\rangle =(|00\rangle +|11\rangle )/{\sqrt {2}}$ , если $|+\rangle$ было измерено или $|\Phi ^{-}\rangle =(|00\rangle -|11\rangle )/{\sqrt {2}}$ , если $|-\rangle$ был измерен. В последнем случае фазу можно повернуть, применив Z -квантовый вентиль, чтобы получить $|\Phi ^{+}\rangle$ , тогда как в первом случае дополнительные преобразования не применяются. В любом случае результатом операций является максимально запутанное состояние Белла.

Этот пример иллюстрирует, что в зависимости от того, какое измерение производится, состояние GHZ является более тонким, чем кажется на первый взгляд: измерение в ортогональном направлении с последующим квантовым преобразованием, которое зависит от результата измерения, может оставить после себя максимально запутанное состояние .

Приложения

Состояния GHZ используются в нескольких протоколах квантовой связи и криптографии, например, при обмене секретами. ^[9] или в квантовом византийском соглашении .

См. также

Ссылки

^ Гринбергер, Дэниел М.; Хорн, Майкл А.; Цайлингер, Антон (1989). «Выход за пределы теоремы Белла». Ин Кафатос, М. (ред.). Теорема Белла, квантовая теория и представления о Вселенной . Дордрехт: Клювер. п. 69. arXiv : 0712.0921 . Бибкод : 2007arXiv0712.0921G .
^ Мермин, Н. Дэвид (1 августа 1990 г.). «Возвращение к квантовым тайнам». Американский журнал физики . 58 (8): 731–734. Бибкод : 1990AmJPh..58..731M . дои : 10.1119/1.16503 . ISSN 0002-9505 . S2CID 119911419 .
^ Кейвс, Карлтон М .; Фукс, Кристофер А.; Шак, Рюдигер (20 августа 2002 г.). «Неизвестные квантовые состояния: квантовое представление де Финетти». Журнал математической физики . 43 (9): 4537–4559. arXiv : Quant-ph/0104088 . Бибкод : 2002JMP....43.4537C . дои : 10.1063/1.1494475 . ISSN 0022-2488 . S2CID 17416262 . Мермин был первым, кто указал на интересные свойства этого трехсистемного состояния, следуя примеру Д. М. Гринбергера, М. Хорна и А. Цайлингера [...], где было предложено аналогичное четырехсистемное состояние.
^ Элдридж, Закари; Фосс-Фейг, Майкл; Гросс, Джонатан А.; Ролстон, СЛ; Горшков Алексей Владимирович (23 апреля 2018 г.). «Оптимальные и безопасные протоколы измерений для сетей квантовых датчиков» . Физический обзор А. 97 (4): 042337. arXiv : 1607.04646 . Бибкод : 2018PhRvA..97d2337E . дои : 10.1103/PhysRevA.97.042337 . ПМК 6513338 . ПМИД 31093589 .
^ Чистое состояние $|\psi \rangle$ из $N$ стороны называются бисепарабельными , если можно найти разбиение сторон на два непустых непересекающихся подмножества. $A$ и $B$ с $A\cup B=\{1,\dots ,N\}$ такой, что $|\psi \rangle =|\phi \rangle _{A}\otimes |\gamma \rangle _{B}$ , то есть $|\psi \rangle$ это состояние продукта относительно раздела $A|B$ .
^ В. Дюр; Дж. Видаль и Дж. И. Сирак (2000). «Три кубита можно запутать двумя неэквивалентными способами». Физ. Преподобный А. 62 (6): 062314. arXiv : quant-ph/0005115 . Бибкод : 2000PhRvA..62f2314D . дои : 10.1103/PhysRevA.62.062314 . S2CID 16636159 .
^ Петр Мигдал; Хавьер Родригес-Лагуна; Мачей Левенштейн (2013), «Классы запутанности перестановочно-симметричных состояний кудита: достаточно симметричных операций», Physical Review A , 88 (1): 012335, arXiv : 1305.1506 , Bibcode : 2013PhRvA..88a2335M , doi : 10.1103/PhysRevA.88. 012335 , S2CID 119536491
^ «Научное обоснование Нобелевской премии по физике 2022 года» (PDF) . Нобелевская премия . 4 октября 2022 г.
^ Марк Хиллери; Владимир Бужек; Андре Бертьям (1998), «Обмен квантовым секретом», Physical Review A , 59 (3): 1829–1834, arXiv : quant-ph/9806063 , Bibcode : 1999PhRvA..59.1829H , doi : 10.1103/PhysRevA.59.1829 , S2CID 55165469

[1] Гринбергер, Дэниел М.; Хорн, Майкл А.; Цайлингер, Антон (1989). «Выход за пределы теоремы Белла». Ин Кафатос, М. (ред.). Теорема Белла, квантовая теория и представления о Вселенной . Дордрехт: Клювер. п. 69. arXiv : 0712.0921 . Бибкод : 2007arXiv0712.0921G .

[2] Мермин, Н. Дэвид (1 августа 1990 г.). «Возвращение к квантовым тайнам». Американский журнал физики . 58 (8): 731–734. Бибкод : 1990AmJPh..58..731M . дои : 10.1119/1.16503 . ISSN 0002-9505 . S2CID 119911419 .

[3] Кейвс, Карлтон М .; Фукс, Кристофер А.; Шак, Рюдигер (20 августа 2002 г.). «Неизвестные квантовые состояния: квантовое представление де Финетти». Журнал математической физики . 43 (9): 4537–4559. arXiv : Quant-ph/0104088 . Бибкод : 2002JMP....43.4537C . дои : 10.1063/1.1494475 . ISSN 0022-2488 . S2CID 17416262 . Мермин был первым, кто указал на интересные свойства этого трехсистемного состояния, следуя примеру Д. М. Гринбергера, М. Хорна и А. Цайлингера [...], где было предложено аналогичное четырехсистемное состояние.

[4] Элдридж, Закари; Фосс-Фейг, Майкл; Гросс, Джонатан А.; Ролстон, СЛ; Горшков Алексей Владимирович (23 апреля 2018 г.). «Оптимальные и безопасные протоколы измерений для сетей квантовых датчиков» . Физический обзор А. 97 (4): 042337. arXiv : 1607.04646 . Бибкод : 2018PhRvA..97d2337E . дои : 10.1103/PhysRevA.97.042337 . ПМК 6513338 . ПМИД 31093589 .

[5] Чистое состояние $|\psi \rangle$ из $N$ стороны называются бисепарабельными , если можно найти разбиение сторон на два непустых непересекающихся подмножества. $A$ и $B$ с $A\cup B=\{1,\dots ,N\}$ такой, что $|\psi \rangle =|\phi \rangle _{A}\otimes |\gamma \rangle _{B}$ , то есть $|\psi \rangle$ это состояние продукта относительно раздела $A|B$ .

[6] В. Дюр; Дж. Видаль и Дж. И. Сирак (2000). «Три кубита можно запутать двумя неэквивалентными способами». Физ. Преподобный А. 62 (6): 062314. arXiv : quant-ph/0005115 . Бибкод : 2000PhRvA..62f2314D . дои : 10.1103/PhysRevA.62.062314 . S2CID 16636159 .

[7] Петр Мигдал; Хавьер Родригес-Лагуна; Мачей Левенштейн (2013), «Классы запутанности перестановочно-симметричных состояний кудита: достаточно симметричных операций», Physical Review A , 88 (1): 012335, arXiv : 1305.1506 , Bibcode : 2013PhRvA..88a2335M , doi : 10.1103/PhysRevA.88. 012335 , S2CID 119536491

[8] «Научное обоснование Нобелевской премии по физике 2022 года» (PDF) . Нобелевская премия . 4 октября 2022 г.

[9] Марк Хиллери; Владимир Бужек; Андре Бертьям (1998), «Обмен квантовым секретом», Physical Review A , 59 (3): 1829–1834, arXiv : quant-ph/9806063 , Bibcode : 1999PhRvA..59.1829H , doi : 10.1103/PhysRevA.59.1829 , S2CID 55165469

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]