Проективное гармоническое сопряжение

D гармоническое сопряжение C относительно A и B. —
A, D, B, C образуют гармонический диапазон.
KLMN представляет собой полный четырехугольник, порождающий его.

В проективной геометрии гармоническая сопряженная точка точки на вещественной проективной прямой относительно двух других точек определяется следующей конструкцией:

Для данных трех коллинеарных точек A, B, C пусть L — точка, не лежащая на их соединении, и пусть любая прямая, проходящая через C, пересекает LA, LB в точках M, N соответственно. Если AN и BM пересекаются в K , а LK пересекается AB в точке D , то D называется гармоническим сопряжением C точке относительно A и B. с

Точка D не зависит ни от того, какая точка L взята изначально, ни от того, по какой прямой, проходящей через C находятся M и N. , Этот факт следует из теоремы Дезарга .

В реальной проективной геометрии гармоническое сопряжение также можно определить через перекрестное отношение как ( A , B ; C , D ) = −1 .

Критерий перекрестного отношения

Эти четыре точки иногда называют гармоническим диапазоном (на действительной проективной линии), поскольку оказывается, что D всегда делит отрезок AB внутри в той же пропорции, в какой C делит отрезок AB снаружи . То есть:

$${\overline {AC}}:{\overline {BC}}={\overline {AD}}:{\overline {DB}}\,.$$

Если эти сегменты теперь наделены обычной метрической интерпретацией действительных чисел, они будут подписаны и образуют двойную пропорцию, известную как перекрестное отношение (иногда двойное отношение ).

$(A,B;C,D)={\frac {\overline {AC}}{\overline {AD}}}\left/{\frac {\overline {BC}}{-{\overline {DB}}}}\right.,$

для которого гармонический диапазон характеризуется значением −1. Поэтому мы пишем:

$(A,B;C,D)={\frac {\overline {AC}}{\overline {AD}}}\times {\frac {\overline {BD}}{\overline {BC}}}=-1.$

Значение перекрестного отношения в целом не уникально , так как зависит от порядка выбора отрезков (а таких выборов возможно шесть). Но, в частности, для гармонического диапазона существует всего три значения перекрестного отношения: {−1, 1/2, 2}, поскольку −1 является самоинверсным, поэтому замена последних двух точек просто выполняет взаимное движение каждого из этих значений, но не дает никаких результатов. новое значение и классически известно как гармоническое перекрестное отношение .

С точки зрения двойного отношения, учитывая точки a, b на аффинной прямой, коэффициент деления точки x есть

$$t(x)={\frac {x-a}{x-b}}.$$

Обратите внимание, что когда a < x < b , тогда t ( x ) отрицательно и положительно вне интервала. Перекрестное соотношение $(c,d;a,b)={\tfrac {t(c)}{t(d)}}$представляет собой соотношение коэффициентов деления, или двойное соотношение. Установка двойного отношения на минус единицу означает, что когда t ( c ) + t ( d ) = 0 , тогда c и d являются гармонически сопряженными относительно a и b . Таким образом, критерием коэффициента деления является то, что они являются аддитивными обратными числами .

Гармоническое деление отрезка является частным случаем определения круга Аполлонием .

В некоторых школьных исследованиях конфигурация гармонического диапазона называется гармоническим разделением .

Середина

Середина и бесконечность являются гармоническими сопряжениями.

Если x — середина отрезка от a до b , то

$$t(x)={\frac {x-a}{x-b}}=-1.$$

По критерию перекрестного отношения гармоническое сопряжение x будет y, когда t ( y ) = 1 . Но не существует конечного решения для y на прямой, проходящей через a и b . Тем не менее,

$$\lim _{y\to \infty }t(y)=1,$$

тем самым мотивируя включение бесконечной точки в проективную прямую. Эта точка на бесконечности служит гармоническим сопряжением средней точки x .

Из полного четырехугольника

Другой подход к гармоническому сопряжению заключается в использовании концепции полного четырехугольника , такого как KLMN на диаграмме выше. По четырем точкам полный четырехугольник имеет пары противоположных сторон и диагоналей. В выражении гармонических сопряжений Х.С.М. Коксетера диагонали считаются парой противоположных сторон:

D — гармоническое сопряжение C относительно A и B , что означает, что существует четырехугольник IJKL такой, что одна пара противоположных сторон пересекается в A , а вторая пара — в B , а третья пара пересекается с AB в точках C и D. .

Карл фон Штаудт первым использовал гармоническое сопряжение как основу проективной геометрии, независимой от метрических соображений:

... Штаудту удалось освободить проективную геометрию от элементарной геометрии. В своей «Геометрии дер Lage » Штаудт ввел гармоническую четверку элементов независимо от концепции перекрестного отношения, следуя чисто проективному пути, используя полный четырехугольник или четырехугольник.

п ₁ знак равно А , п ₂ знак равно S , п ₃ знак равно B , п ₄ знак равно Q , D = M
(игнорируйте зеленую М).

Чтобы увидеть, как полный четырехугольник применяется для получения средней точки, рассмотрим следующий отрывок Дж. У. Янга:

Если две произвольные прямые AQ, AS проведены через A , а прямые BS, BQ проведены через B параллельно AQ, AS соответственно, то прямые AQ, SB точке R пересекаются по определению в бесконечной , а AS, QB пересекаются через определение в точке P на бесконечности. Тогда полный четырехугольник PQRS имеет две диагональные точки A и B , а оставшаяся пара противоположных сторон проходит через M и точку бесконечности на AB . Тогда точка M по построению является гармонически сопряженной бесконечной точке на AB относительно A и B . С другой стороны, то, что M является серединой отрезка AB, следует из известного положения о том, что диагонали параллелограмма ( PQRS ) делят друг друга пополам.

Четвертичные отношения

Четыре упорядоченные точки на проективном диапазоне называются гармоническими точками, если на плоскости имеется тетрастигма , первая и третья являются кодотами, а две другие точки находятся на соединителях третьей кодоты.

Если p — точка, не лежащая на прямой с гармоническими точками, соединения p с точками являются гармоническими прямыми . Аналогично, если ось пучка плоскостей наклонена гармоническими к прямой с гармоническими точками, то плоскости на этих точках являются плоскостями .

Набор из четырех чисел в таком отношении был назван гармонической четверкой .

Проективные коники

Коника на проективной плоскости — это кривая C , обладающая следующим свойством: Если P — точка, не лежащая на C , и если переменная линия, проходящая через P, пересекает C в точках A и B , то переменная гармоническая сопряженная точка P относительно A и B вычерчивает линию. Точка P называется полюсом этой линии гармонических сопряжений, а эта линия называется полярной линией P относительно коники. см. в статье Полюс и поляр Более подробную информацию .

Инверсивная геометрия

Основная статья: Инверсивная геометрия

В случае, когда коника представляет собой круг, на расширенных диаметрах круга гармонические сопряжения относительно круга являются обратными в круге . Этот факт следует из одной из теорем Смогоржевского:

Если окружности k и q взаимно ортогональны, то прямая, проходящая через центр k и пересекающая q , делает это в точках, симметричных относительно k .

То есть, если линия представляет собой расширенный диаметр k , то пересечения с q являются гармонически сопряженными.

Иоахимталя

Рассмотрим кривую $C$ эллипс, заданный уравнением

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.$

Позволять $P(x_{0},y_{0})$ быть точкой вне эллипса и $L$ прямая линия от $P$ который пересекает эллипс в точках $A$ и $B$. Позволять $A$ есть координаты $(\xi ,\eta )$. Далее возьми точку $Q(x,y)$ на $L$ и внутри эллипса, который таков, что $A$ делит отрезок прямой $PQ$ в соотношении $1$ к $\lambda$, то есть

$PA={\sqrt {(x_{0}-\xi )^{2}+(y_{0}-\eta )^{2}}}=1,\;\;\;AQ={\sqrt {(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}}}=\lambda$.

Вместо решения этих уравнений для $\xi$ и $\eta$ легче проверить подстановкой, что следующие выражения являются решениями, т.е.

$(\xi ,\eta )={\bigg (}{\frac {\lambda x+x_{0}}{\lambda +1}},{\frac {\lambda y+y_{0}}{\lambda +1}}{\bigg )}.$

Поскольку точка $A$ лежит на эллипсе $C$, надо

${\frac {1}{a^{2}}}{\bigg (}{\frac {\lambda x+x_{0}}{\lambda +1}}{\bigg )}^{2}+{\frac {1}{b^{2}}}{\bigg (}{\frac {\lambda y+y_{0}}{\lambda +1}}{\bigg )}^{2}=1,$

или

$\lambda ^{2}{\bigg (}{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-1{\bigg )}+2\lambda {\bigg (}{\frac {xx_{0}}{a^{2}}}+{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}-1{\bigg )}+{\bigg (}{\frac {x_{0}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}-1{\bigg )}=0.$

Это уравнение – квадратное по $\lambda$— называется уравнением Иоахимталя . Два его корня $\lambda _{1},\lambda _{2}$, определить позиции $A$ и $B$ в связи с $P$ и $Q$. Давайте объединим $\lambda _{1}$ с $A$ и $\lambda _{2}$ с $B$. Тогда различные отрезки линий задаются выражением

$QA={\frac {1}{\lambda _{1}+1}}(x-x_{0},y-y_{0}),\;\;PA={\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{1}+1}}(x_{0}-x,y_{0}-y)$

и

$QB={\frac {1}{\lambda _{2}+1}}(x-x_{0},y-y_{0}),\;\;PB={\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{2}+1}}(x_{0}-x,y_{0}-y).$

Следует, что

${\frac {PB}{PA}}{\frac {QA}{QB}}={\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}.$

Когда это выражение $-1$ , у нас есть

${\frac {QA}{PA}}=-{\frac {QB}{PB}}.$

Таким образом $A$ делит $PQ$ «внутренне» в той же пропорции, что и $B$ делит $PQ$«внешне». Выражение

${\frac {PB}{PA}}{\frac {QA}{QB}}$

со стоимостью $-1$(что делает его самоинверсным) известен как гармоническое перекрестное отношение . С $\lambda _{2}/\lambda _{1}=-1$ как указано выше, есть $\lambda _{1}+\lambda _{2}=0$ и, следовательно, коэффициент $\lambda$ в уравнении Иоахимталя обращается в нуль, т.е.

${\frac {xx_{0}}{a^{2}}}+{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}-1=0.$

Это уравнение прямой, называемое полярой (линией) точки (полюса) $P(x_{0},y_{0})$. Можно показать, что эта поляра $P$ – хорда касания касательных к эллипсу от $P$. Если мы положим $P$ на эллипсе ( $\lambda _{1}=0,\lambda _{2}=0$) уравнение представляет собой уравнение тангенса при $P$. Можно также предположить, что директриса эллипса является полярой фокуса.

Galois tetrads

В геометрии Галуа над полем Галуа GF( q ) прямая имеет q + 1 точку, где ∞ = (1,0) . В этой линии четыре точки образуют гармоническую тетраду, когда две гармонически разделяют остальные. Состояние

$(c,d;a,b)=-1,\ {\text{ equivalently }}\ \ 2(cd+ab)=(c+d)(a+b),$

характеризует гармонические тетрады. Внимание к этим тетрадам привело Жана Дьедонне к описанию некоторых случайных изоморфизмов проективных линейных групп PGL(2, q ) для q = 5, 7, 9 .

Если q = 2 ^н , и учитывая A и B , то гармоническое сопряжение C является самим собой.

и золотое

Пусть P ₀ , P ₁ , P ₂ — три разные точки на вещественной проективной прямой. Рассмотрим бесконечную последовательность точек , _Pn где Pn ₃ — гармоническое сопряжение Pn _{- >} относительно Pn _{- 1} , Pn _{- 2} для n 2 . Эта последовательность сходится.

Для конечного предела P имеем

$\lim _{n\to \infty }{\frac {P_{n+1}P}{P_{n}P}}=\Phi -2=-\Phi ^{-2}=-{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}},$

где $\Phi ={\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})$ это золотое сечение , т.е. $P_{n+1}P\approx -\Phi ^{-2}P_{n}P$для большого n . Для бесконечного предела имеем

$\lim _{n\to \infty }{\frac {P_{n+2}P_{n+1}}{P_{n+1}P_{n}}}=-1-\Phi =-\Phi ^{2}.$

Для доказательства рассмотрим проективный изоморфизм

$f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}$

с

$f\left((-1)^{n}\Phi ^{2n}\right)=P_{n}.$

Ссылки

• Хуан Карлос Альверес (2000) Проективная геометрия , см. Главу 2: Реальная проективная плоскость, раздел 3: Гармонические четверки и теорема фон Штаудта.
• Роберт Лахлан (1893) «Элементарный трактат о современной чистой геометрии» , ссылка из монографий по исторической математике Корнелльского университета .
• Бертран Рассел (1903) «Основы математики» , стр. 384.
• Рассел, Джон Уэлсли (1905). Чистая геометрия . Кларендон Пресс.