Исключительный изоморфизм

В математике , исключительный изоморфизм также называемый случайным изоморфизмом , — это изоморфизм между членами a _i и b _j двух семейств, обычно бесконечных, математических объектов, который является случайным, поскольку он не является примером общей закономерности такие изоморфизмы. ^{[примечание 1]} Эти совпадения порой считаются пустяками. ^[1] но в других отношениях они могут порождать последовательные явления, такие как исключительные объекты . ^[1] Далее совпадения организованы в соответствии со структурами, в которых они происходят.

Группы

Конечные простые группы

Исключительные изоморфизмы между сериями конечных простых групп в основном включают проективные специальные линейные группы и знакопеременные группы , а именно: ^[2]

PSL ₂ (4) ≅ PSL ₂ (5) ≅ A ₅ — наименьшая неабелева простая группа (порядок 60);
PSL ₂ (7) ≅ PSL ₃ (2), вторая по величине неабелева простая группа (порядок 168) – PSL(2,7) ;
ПСЛ ₂ (9) ≅ А ₆ ;
ПСЛ ₄ (2) ≅ А ₈ ;
PSU ₄ (2) ≅ PSp ₄ (3), между проективной специальной ортогональной группой и проективной симплектической группой .

Знакомые группы и симметрические группы

Существуют совпадения между симметричными/альтернирующими группами и малыми группами лиева типа / полиэдральными группами : ^[3]

S ₃ ≅ PSL ₂ (2) ≅ группа диэдра порядка 6 ,
A ₄ ≅ PSL ₂(3),
S ₄ ≅ ПГЛ ₂ (3) ≅ ПСЛ ₂ ( Z /4),
А ₅ ≅ ПСЛ ₂ (4) ≅ ПСЛ ₂ (5),
S ₅ ≅ PΓL ₂ (4) ≅ PGL ₂ (5),
А ₆ ≅ PSL ₂ (9) ≅ Sp ₄ (2)′,
S ₆ ≅ Sp ₄ (2),
А ₈ ≅ ПСЛ ₄ (2) ≅ О ⁺
₆(2)′,
С ₈ ≅ О ⁺
₆(2).

Все это можно систематически объяснить, используя линейную алгебру (и действие Sn _на аффинном n- пространстве) для определения изоморфизма, идущего от правой части к левой. (Вышеупомянутые изоморфизмы для A ₈ и S ₈ связаны исключительным изоморфизмом SL ₄ / µ ₂ ≅ SO ₆ .)

Имеются также некоторые совпадения с симметриями правильных многогранников : знакопеременная группа А ₅ согласуется с киральной группой икосаэдра (сама по себе исключительный объект), а двойное накрытие знакопеременной группы А ₅ является бинарной группой икосаэдра .

Тривиальная группа

Тривиальная группа возникает разными способами. Тривиальную группу часто опускают в начале классического семейства. Например:

C ₁ — циклическая группа порядка 1;
A ₀ ≅ A ₁ ≅ A ₂ , чередующаяся группа из 0, 1 или 2 букв;
S ₀ ≅ S ₁ — симметричная группа из 0 или 1 буквы;
GL(0, K ) ≅ SL(0, K ) ≅ PGL(0, K ) ≅ PSL(0, K ), линейные группы 0-мерного векторного пространства;
SL(1, K ) ≅ PGL(1, K ) ≅ PSL(1, K ), линейные группы одномерного векторного пространства
и многие другие.

Сферы

Сферы S ⁰, С ¹и С ³ допускают групповые структуры, которые можно описать разными способами:

С ⁰ ≅ Спин(1) ≅ O(1) ≅ ( Z / 2 Z ) ⁺ ≅ Я ^×, последняя представляет собой группу единиц целых чисел;
С ¹ ≅ Спин(2) ≅ SO(2) ≅ U(1) ≅ R / Z ≅ круговая группа ;
С ³ ≅ Spin(3) ≅ SU(2) ≅ Sp(1) ≅ единичные кватернионы .

Спиновые группы

Помимо Spin(1), Spin(2) и Spin(3), описанных выше, существуют изоморфизмы для спиновых групп более высокой размерности :

Спин(4) ≅ Sp(1) × Sp(1) ≅ SU(2) × SU(2)
Спин(5) ≅ Sp(2)
Спин(6) ≅ SU(4)

Кроме того, Spin(8) имеет исключительный автоморфизм тройственности порядка 3 .

Диаграммы Кокстера – Динкина

Существуют некоторые исключительные изоморфизмы диаграмм Дынкина , дающие изоморфизмы соответствующих групп Кокстера и многогранников, реализующих симметрии, а также изоморфизмы алгебр Ли, корневые системы которых описываются одними и теми же диаграммами. Это:

Диаграмма	Классификация Дынкина	Алгебра Ли	Многогранник
	А ₁ = В ₁ = С ₁	${\mathfrak {sl}}_{2}\cong {\mathfrak {so}}_{3}\cong {\mathfrak {sp}}_{1}$	—
$\cong$	А ₂ = Я ₂ (2)	—	2-симплекс – это правильный 3-угольник ( равносторонний треугольник )
	БК ₂ = Я ₂ (4)	${\mathfrak {so}}_{5}\cong {\mathfrak {sp}}_{2}$	2-куб — это 2-крестовый многогранник , правильный 4-угольник ( квадрат ).
$\cong$	A ₁ × A ₁ = D ₂	${\mathfrak {sl}}_{2}\oplus {\mathfrak {sl}}_{2}\cong {\mathfrak {so}}_{4}$	—
$\cong$	А3 = _Д3	${\mathfrak {sl}}_{4}\cong {\mathfrak {so}}_{6}$	3-симплекс — это 3-демигиперкуб ( правильный тетраэдр ).

См. также

Исключительный объект
Математическое совпадение , для числовых совпадений

Примечания

^ Поскольку эти серии объектов представлены по-разному, они не являются идентичными объектами (не имеют одинаковых описаний), но оказываются описывающими один и тот же объект, поэтому это называют изоморфизмом, а не равенством (тождеством).

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Уилсон 2009 , Глава 1: Введение
^ Уилсон 2009 , Глава 1: Введение.
^ Уилсон 2009 , Глава 3

Уилсон, Роберт А. (2009), Конечные простые группы , Тексты для аспирантов по математике 251, том. 251, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-84800-988-2 , ISBN. 978-1-84800-987-5 , Zbl 1203.20012 [www.maths.qmul.ac.uk/~raw/fsgs.html, препринт 2007 г.] {{citation}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )

[1] Поскольку эти серии объектов представлены по-разному, они не являются идентичными объектами (не имеют одинаковых описаний), но оказываются описывающими один и тот же объект, поэтому это называют изоморфизмом, а не равенством (тождеством).

[FOOTNOTEWilson2009[httpwwwmathsqmulacuk~rawfsgs_filesintrops_Chapter_1:_Introduction]-2] Перейти обратно: ^а ^б Уилсон 2009 , Глава 1: Введение

[FOOTNOTEWilson2009[httpswebarchiveorgweb20070824011953httpswwwmathsqmulacuk~rawfsgs_filesintrops_Chapter_1:_Introduction]-3] Уилсон 2009 , Глава 1: Введение.

[FOOTNOTEWilson2009Chapter_3-4] Уилсон 2009 , Глава 3

[примечание 1]

[1]

[2]

[3]