Я поворачиваюсь

Эта статья о кватернионах первой нормы. Чтобы узнать о других значениях, см. Версор (значения) .

В математике версор — это кватернион ( первой нормы единичный кватернион ) . Каждый версор имеет вид

$q=\exp(a\mathbf {r} )=\cos a+\mathbf {r} \sin a,\quad \mathbf {r} ^{2}=-1,\quad a\in [0,\pi ],$

где р ² = -1 условие означает, что r является векторным кватернионом единичной длины (или что первый компонент r равен нулю, а последние три компонента r представляют собой единичный вектор в трех измерениях). Соответствующее трехмерное вращение имеет угол 2 a относительно оси r в представлении ось-угол . В случае a = π/2 ( прямой угол ), то $q=\mathbf {r}$, а результирующий единичный вектор называется правым версором .

Совокупность версоров с умножением кватернионов образует группу , а набор версоров представляет собой 3-сферу в 4-мерной алгебре кватернионов.

Презентация по 3- и 2-сферам

дуга AB + дуга BC = дуга AC

Гамильтон обозначил версор кватерниона q символом U q . Затем он смог отобразить общий кватернион в форме полярных координат.

q знак равно Т q U q ,

где T q — норма q . Норма версора всегда равна единице; следовательно, они занимают единичную 3-сферу в H . Примеры версоров включают восемь элементов группы кватернионов . Особое значение имеют правые версоры , имеющие угол π/2 . Эти версоры имеют нулевую скалярную часть, как и векторы длины один (единичные векторы). Правые версоры образуют сферу квадратных корней из −1 в алгебре кватернионов. Генераторы i , j и k являются примерами правых версоров, а также их аддитивных инверсий . Другие версоры включают двадцать четыре кватерниона Гурвица , которые имеют норму 1 и образуют вершины 24-клеточного полихорона.

Гамильтон определил кватернион как частное двух векторов. Версор можно определить как частное двух единичных векторов. Для любой фиксированной плоскости Π частное двух единичных векторов, лежащих в Π, зависит только от угла (направленного) между ними, такого же a , как и в представлении орт-угол версора, объясненном выше. Поэтому, возможно, естественно понимать соответствующие версоры как направленные дуги , соединяющие пары единичных векторов и лежащие на большом круге, образованном пересечением П с единичной сферой , где плоскость П проходит через начало координат. Дуги одинакового направления и длины (или одинакового стянутого угла в радианах ) равноправны и соответствуют одному и тому же версору.

Такая дуга, хотя и лежит в трехмерном пространстве , не представляет собой путь точки, вращающейся, как описано, с зажатым изделием с версором. Действительно, оно представляет собой левое умножающее действие версора на кватернионы, сохраняющее плоскость Π и соответствующий большой круг 3-векторов. Трехмерное вращение, определяемое версором, имеет угол, в два раза превышающий угол стягиваемой дуги, и сохраняет ту же плоскость. Это вращение вокруг соответствующего вектора r , перпендикулярного Π .

О трех единичных векторах Гамильтон пишет

$q=\beta :\alpha =OB:OA\$ и

$q'=\gamma :\beta =OC:OB$

подразумевать

$q'q=\gamma :\alpha =OC:OA.$

Умножение кватернионов нормы один соответствует (некоммутативному) «добавлению» дуг большого круга на единичной сфере. Любая пара больших кругов либо является одним и тем же кругом, либо имеет две точки пересечения . Следовательно, всегда можно переместить точку B и соответствующий вектор в одну из этих точек так, чтобы начало второй дуги совпадало с концом первой дуги.

Уравнение

$\exp(c\mathbf {r} )\exp(a\mathbf {s} )=\exp(b\mathbf {t} )\!$

неявно задает представление единичного вектора угла для произведения двух версоров. Его решение является примером общей формулы Кэмпбелла-Бейкера-Хаусдорфа в теории групп Ли . Поскольку 3-сфера, представленная версорами в $\mathbb {H}$ — 3-параметрическая группа Ли, практика с версорными композициями — это шаг в теорию Ли . Очевидно, версоры — это образ экспоненциального отображения, примененного к шару радиуса π в кватернионном подпространстве векторов.

Версоры представляют собой вышеупомянутые векторные дуги, и Гамильтон назвал эту групповую операцию «суммой дуг», но как кватернионы они просто умножаются.

Геометрия эллиптического пространства была описана как пространство версоров.

Представление SO (3)

Ортогональная группа в трех измерениях, группа вращения SO(3) , часто интерпретируется с помощью версоров через внутренний автоморфизм. $q\mapsto u^{-1}qu$ где u — версор. Действительно, если

$u=\exp(ar)$ и вектор s перпендикулярен r ,

затем

$u^{-1}su=s\cos 2a+sr\sin 2a$

по расчету. Самолет $\{x+yr:(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\}\subset H$ изоморфен $\mathbb {C}$ и внутренний автоморфизм в силу коммутативности сводится там к тождественному отображению.Поскольку кватернионы можно интерпретировать как алгебру двух комплексных измерений, действие вращения также можно рассматривать через специальную унитарную группу SU(2) .

При фиксированном r версоры вида exp( a r ), где a ∈ (−π, π] , образуют подгруппу , изоморфную группе окружностей . Орбиты левого действия умножения этой подгруппы являются слоями расслоения над 2-сфера, известная как расслоение Хопфа в случае r = i ; другие векторы дают изоморфные, но не идентичные расслоения. В 2003 году Дэвид В. Лайонс. писал: «Слои отображения Хопфа — это круги в S ³ (стр. 95). Лайонс дает элементарное введение в кватернионы, чтобы объяснить расслоение Хопфа как отображение единичных кватернионов.

Версоры использовались для представления вращения сферы Блоха с умножением кватернионов.

Эллиптическое пространство

Средства версоров иллюстрируют эллиптическую геометрию , в частности эллиптическое пространство , трехмерную область вращений. Версоры — это точки этого эллиптического пространства, хотя они относятся к вращениям в 4-мерном евклидовом пространстве . Для двух фиксированных версоров u и v отображение $q\mapsto uqv$ представляет собой эллиптическое движение . Если один из фиксированных версоров равен 1, то движение представляет собой клиффордовский перевод эллиптического пространства, названный в честь Уильяма Кингдона Клиффорда , который был сторонником этого пространства. Эллиптическая линия, проходящая через версор u, равна $\{ue^{ar}:0\leq a<\pi \}.$ Параллелизм в пространстве выражается параллелями Клиффорда . Один из методов просмотра эллиптического пространства использует преобразование Кэли для отображения версоров в $\mathbb {R} ^{3}$

Подгруппы

Множество всех версоров с их умножением на кватернионы образует непрерывную G. группу Для фиксированной пары { r , − r } правых версоров $G_{1}=\{\exp ar:a\in \mathbb {R} \}$ — однопараметрическая подгруппа , изоморфная группе окружностей .

Далее рассмотрим конечные подгруппы за пределами группы кватернионов Q ₈ :

Как заметил Адольф Гурвиц , все 16 кватернионов (±1 ±i ±j ±k)/2 имеют норму один, поэтому они находятся G. в Вместе с Q8 _эти единичные кватернионы Гурвица образуют группу G2 _{бинарной} порядка 24, называемую тетраэдрической группой . Элементы группы, взятые как точки на S ³ , образуют 24-клеточный .

В процессе усечения 24 ячеек 48 ячеек на G получается , и эти версоры умножаются как бинарная октаэдрическая группа .

Другая подгруппа образована 120 икосианами , которые размножаются подобно бинарной группе икосаэдра .

Гиперболический токарь

Гиперболический версор является обобщением кватернионных версоров на неопределенные ортогональные группы , такие как группа Лоренца .Она определяется как величина вида

$\exp(a\mathbf {r} )=\cosh a+\mathbf {r} \sinh a$ где $\mathbf {r} ^{2}=+1.$

Такие элементы возникают в расщепляемых алгебрах , например расщепляемые комплексные числа или расщепляемые кватернионы . Именно алгебра тессаринов, открытая Джеймсом Коклом в 1848 году, впервые предоставила гиперболические версоры. Фактически, Джеймс Кокл написал приведенное выше уравнение (с j вместо r ), когда обнаружил, что тессарины включают новый тип воображаемого элемента.

Этот версор использовался Гомершамом Коксом (1882/83) применительно к умножению кватернионов. Основным сторонником гиперболических версоров был Александр Макфарлейн , работавший над формированием теории кватернионов для нужд физической науки. Он увидел возможности моделирования гиперболических версоров, работающих на плоскости расщепленных комплексных чисел, и в 1891 году ввел гиперболические кватернионы , чтобы расширить эту концепцию до 4-мерного пространства. Проблемы в этой алгебре привели к использованию бикватернионов после 1900 года. В широко распространенном обзоре 1899 года Макфарлейн сказал:

... корень квадратного уравнения может быть версорным или скалярным по своей природе. Если это версор по своей природе, то часть, на которую воздействует радикал, включает в себя ось, перпендикулярную плоскости отсчета, и это так, независимо от того, включает ли радикал квадратный корень из минус единицы или нет. В первом случае версор круглый, во втором — гиперболический.

Сегодня концепция однопараметрической группы включает в себя концепции версора и гиперболического версора, поскольку терминология Софуса Ли заменила терминологию Гамильтона и Макфарлейна.В частности, для каждого r такого, что rr = +1 или rr = −1 , отображение $a\mapsto \exp(a\,\mathbf {r} )$ переносит вещественную прямую в группу гиперболических или обычных версоров. В обычном случае, когда r и − r являются антиподами на сфере, однопараметрические группы имеют одинаковые точки, но противоположно направлены. В физике этот аспект вращательной симметрии называется дублетом .

В 1911 году Альфред Робб опубликовал свою работу «Оптическая геометрия движения» , в которой определил параметр быстроты , который определяет изменение системы отсчета . Этот параметр быстроты соответствует действительной переменной в однопараметрической группе гиперболических версоров. С дальнейшим развитием специальной теории относительности действие гиперболического версора стало называться усилением Лоренца .

Теория лжи

Основная статья: Теория лжи

Софусу Ли было меньше года, когда Гамильтон впервые описал кватернионы, но имя Ли стало ассоциироваться со всеми группами, созданными возведением в степень. Множество версоров с их умножением было обозначено Робертом Гилмором в его тексте по теории Ли как Sl(1,q). Sl(1,q) — это специальная линейная группа одного измерения над кватернионами, «специальная» указывает на то, что все элементы имеют норму один. Группа изоморфна SU(2,c), специальной унитарной группе , часто используемому обозначению, поскольку кватернионы и версоры иногда считаются архаичными для теории групп. Специальная ортогональная группа SO(3,r) вращений в трех измерениях тесно связана с ней: это гомоморфный образ SU(2,c) 2:1.

Подпространство $\{xi+yj+zk:x,y,z\in R\}\subset H$ называется алгеброй Ли группы версоров. Коммутаторный продукт $[u,v]=uv-vu\ ,$ просто удвоение векторного произведения двух векторов образует умножение в алгебре Ли. Тесная связь с SU(1,c) и SO(3,r) проявляется в изоморфизме их алгебр Ли.

Группы Ли, содержащие гиперболические версоры, включают группу единичной гиперболы и специальную унитарную группу SU(1,1) .

Этимология

Слово происходит от латинского versari = «поворачивать» с суффиксом - или образует существительное от глагола (т.е. versor = «токарь»). Он был введен Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1840-х годах в контексте его теории кватернионов .

Версоры в геометрической алгебре

Основная статья: Геометрическая алгебра § Версор

Термин «версор» обобщен в геометрической алгебре для обозначения члена. $R$ алгебры, которую можно выразить как произведение обратимых векторов, $R=v_{1}v_{2}\cdots v_{k}$.

Так же, как версор кватерниона $u$ может использоваться для представления вращения кватерниона $q$, картографирование $q\mapsto u^{-1}qu$, так токарь $R$ в геометрической алгебре можно использовать для представления результата $k$ размышления о члене $A$ алгебры, отображая $A\mapsto (-1)^{k}RAR^{-1}$.

Вращение можно считать результатом двух отражений, поэтому получается кватернионный версор. $u$ может быть идентифицирован как 2-версор $R=v_{1}v_{2}$ в геометрической алгебре трёх вещественных измерений ${\mathcal {G}}(3,0)$.

В отличие от определения Гамильтона, многовекторные версоры не обязаны иметь единичную норму, а просто должны быть обратимыми. Однако нормализация все еще может быть полезна, поэтому версоры удобно обозначать как единичные версоры в геометрической алгебре, если $R{\tilde {R}}=\pm 1$, где тильда обозначает возврат версора.

См. также

• цис (математика) ( цис( x ) = cos( x ) + я sin( x ) )
• Кватернионы и пространственное вращение
• Вращения в 4-мерном евклидовом пространстве
• Поворот (геометрия)

Ссылки

• Уильям Роуэн Гамильтон (1844–1850) О кватернионах или новой системе воображаемых чисел в алгебре , Философский журнал , ссылка на коллекцию Дэвида Р. Уилкинса в Тринити-колледже, Дублин .
• Уильям Роуэн Гамильтон (1899) Элементы кватернионов , 2-е издание, под редакцией Чарльза Джаспера Джоли, Longmans Green & Company. См. стр. 135–147.
• Артур Шерберн Харди (1887) Элементы кватернионов , стр. 71,2 «Представление версоров сферическими дугами» и стр. 112–8 «Приложения к сферической тригонометрии».
• Артур Стаффорд Хэтэуэй (1896) Букварь по кватернионам , Глава 2: Повороты, вращения, шаги по дуге, из проекта Гутенберг
• Сибелле Селестино Сильва, Роберто де Андраде Мартинс (2002) «Полярные и осевые векторы против кватернионов», Американский журнал физики 70:958. Раздел IV: Версоры и унитарные векторы в системе кватернионов. Раздел V: Версор и унитарные векторы в векторной алгебре.
• Питер Моленбрук (1891) Теория кватернионов , стр. 48, «Представление версоров с помощью дуг на стандартной сфере», Лейден: Brill.
• Хестенес, Дэвид ; Собчик, Гаррет (1984), от алгебры Клиффорда до геометрического исчисления, единого языка математики и физики , Springer Нидерланды, ISBN  978-90-277-1673-6
• Дорст, Лео; Фонтейн, Дэниел; Манн, Стивен (2007), Геометрическая алгебра для информатики: объектно-ориентированный подход к геометрии , Elsevier, ISBN  978-0-12-369465-2 , OCLC   132691969

Внешние ссылки

• Версор в Математической энциклопедии .
• Луиса Ибаньеса Учебное пособие по кватерниону. Архивировано 4 февраля 2012 г. в Wayback Machine из Национальной медицинской библиотеки.