Список методов Рунге – Кутты

Методы Рунге–Кутты — это методы численного решения обыкновенного дифференциального уравнения.

${\frac {dy}{dt}}=f(t,y).$

Явные методы Рунге – Кутты принимают вид

${\begin{aligned}y_{n+1}&=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i}\\k_{1}&=f(t_{n},y_{n}),\\k_{2}&=f(t_{n}+c_{2}h,y_{n}+h(a_{21}k_{1})),\\k_{3}&=f(t_{n}+c_{3}h,y_{n}+h(a_{31}k_{1}+a_{32}k_{2})),\\&\;\;\vdots \\k_{i}&=f\left(t_{n}+c_{i}h,y_{n}+h\sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}k_{j}\right).\end{aligned}}$

Этапы неявных методов s этапов принимают более общий вид, при этом решение находится по всем s

$k_{i}=f\left(t_{n}+c_{i}h,y_{n}+h\sum _{j=1}^{s}a_{ij}k_{j}\right).$

Каждый метод, указанный на этой странице, определяется его таблицей Мясника , которая помещает коэффициенты метода в таблицу следующим образом:

${\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\\end{array}}$

Для адаптивных и неявных методов таблица Мясника расширяется и дает значения $b_{i}^{*}$, и тогда предполагаемая ошибка

$e_{n+1}=h\sum _{i=1}^{s}(b_{i}-b_{i}^{*})k_{i}$.

Явные методы

Явные методы — это те, в которых матрица $[a_{ij}]$ является нижним треугольным .

Нападающий Эйлер

Метод Эйлера первого порядка. Отсутствие стабильности и точности ограничивает его популярность, главным образом, для использования в качестве простого вводного примера численного метода решения.

${\begin{array}{c|c}0&0\\\hline &1\\\end{array}}$

Явный метод средней точки

(Явный) метод средней точки — это метод второго порядка, состоящий из двух этапов (см. также неявный метод средней точки ниже):

${\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1/2&1/2&0\\\hline &0&1\\\end{array}}$

метод Хойна

Метод Хойна представляет собой метод второго порядка, состоящий из двух стадий. Оно также известно как явное правило трапеций, улучшенный метод Эйлера или модифицированный метод Эйлера:

${\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1&0\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}$

Метод Ралстона

Метод Ралстона является методом второго порядка. с двумя этапами и минимальной локальной ошибкой:

${\begin{array}{c|cc}0&0&0\\2/3&2/3&0\\\hline &1/4&3/4\\\end{array}}$

Общий метод второго порядка

${\begin{array}{c|ccc}0&0&0\\\alpha &\alpha &0\\\hline &1-{\frac {1}{2\alpha }}&{\frac {1}{2\alpha }}\\\end{array}}$

Метод Кутты третьего порядка

${\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1/2&1/2&0&0\\1&-1&2&0\\\hline &1/6&2/3&1/6\\\end{array}}$

Общий метод третьего порядка

См. Сандерс и Вельдман (2019).

для α ≠ 0, 2 ⁄ 3 , 1:

${\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\\alpha &\alpha &0&0\\1&1+{\frac {1-\alpha }{\alpha (3\alpha -2)}}&-{\frac {1-\alpha }{\alpha (3\alpha -2)}}&0\\\hline &{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6\alpha }}&{\frac {1}{6\alpha (1-\alpha )}}&{\frac {2-3\alpha }{6(1-\alpha )}}\\\end{array}}$

Метод Хойна третьего порядка

${\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1/3&1/3&0&0\\2/3&0&2/3&0\\\hline &1/4&0&3/4\\\end{array}}$

Метод Ван дер Хаувена/Рэя третьего порядка.

${\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\8/15&8/15&0&0\\2/3&1/4&5/12&0\\\hline &1/4&0&3/4\\\end{array}}$

Метод Ралстона третьего порядка

Метод Ралстона третьего порядка используется во встроенном методе Богацкого-Шампина .

${\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1/2&1/2&0&0\\3/4&0&3/4&0\\\hline &2/9&1/3&4/9\\\end{array}}$

Сильная устойчивость третьего порядка, сохраняющая Рунге-Кутту (SSPRK3)

${\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1&1&0&0\\1/2&1/4&1/4&0\\\hline &1/6&1/6&2/3\\\end{array}}$

Классический метод четвертого порядка

«Оригинальный» метод Рунге–Кутты.

${\begin{array}{c|cccc}0&0&0&0&0\\1/2&1/2&0&0&0\\1/2&0&1/2&0&0\\1&0&0&1&0\\\hline &1/6&1/3&1/3&1/6\\\end{array}}$

Метод четвертого порядка по правилу 3/8

Этот метод не пользуется такой известностью, как «классический» метод, но является столь же классическим, поскольку был предложен в той же статье (Кутта, 1901).

${\begin{array}{c|cccc}0&0&0&0&0\\1/3&1/3&0&0&0\\2/3&-1/3&1&0&0\\1&1&-1&1&0\\\hline &1/8&3/8&3/8&1/8\\\end{array}}$

Метод Ралстона четвертого порядка.

Этот метод четвертого порядка имеет минимальную ошибку усечения.

${\begin{array}{c|cccc}0&0&0&0&0\\{\frac {2}{5}}&{\frac {2}{5}}&0&0&0\\{\frac {14-3{\sqrt {5}}}{16}}&{\frac {-2\,889+1\,428{\sqrt {5}}}{1\,024}}&{\frac {3\,785-1\,620{\sqrt {5}}}{1\,024}}&0&0\\1&{\frac {-3\,365+2\,094{\sqrt {5}}}{6\,040}}&{\frac {-975-3\,046{\sqrt {5}}}{2\,552}}&{\frac {467\,040+203\,968{\sqrt {5}}}{240\,845}}&0\\\hline &{\frac {263+24{\sqrt {5}}}{1\,812}}&{\frac {125-1000{\sqrt {5}}}{3\,828}}&{\frac {3\,426\,304+1\,661\,952{\sqrt {5}}}{5\,924\,787}}&{\frac {30-4{\sqrt {5}}}{123}}\\\end{array}}$

Встроенные методы

Встроенные методы предназначены для оценки локальной ошибки усечения одного шага Рунге-Кутты и, как следствие, позволяют контролировать ошибку с помощью адаптивного размера шага . Это достигается за счет наличия в таблице двух методов: одного с порядком p и одного с порядком p-1.

Младший шаг определяется выражением

$y_{n+1}^{*}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}^{*}k_{i},$

где $k_{i}$ такие же, как и для метода высшего порядка. Тогда ошибка

$e_{n+1}=y_{n+1}-y_{n+1}^{*}=h\sum _{i=1}^{s}(b_{i}-b_{i}^{*})k_{i},$

который $O(h^{p})$. Таблица Мясника для этого метода расширена и теперь дает значения $b_{i}^{*}$

${\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\&b_{1}^{*}&b_{2}^{*}&\dots &b_{s}^{*}\\\end{array}}$

Хойн-Эйлер

Самый простой адаптивный метод Рунге-Кутты включает в себя объединение метода Хойна , который имеет порядок 2, с методом Эйлера, который имеет порядок 1. Его расширенная таблица Мясника:

${\begin{array}{c|cc}0&\\1&1\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\end{array}}$

Оценка ошибки используется для управления размером шага.

Фельберг РК1(2)

Метод Фельберга имеет два метода порядков 1 и 2. Его расширенная таблица Мясника:

	0
	1/2	1/2
	1	1/256	255/256
		1/512	255/256	1/512
		1/256	255/256	0

Первая строка коэффициентов b дает решение второго порядка точности, а вторая строка — первого порядка.

Богацкий–Шампин

Метод Богацкого-Шампина имеет два метода порядков 2 и 3. Его расширенная таблица Мясника:

	0
	1/2	1/2
	3/4	0	3/4
	1	2/9	1/3	4/9
		2/9	1/3	4/9	0
		7/24	1/4	1/3	1/8

Первая строка коэффициентов b дает решение третьего порядка точности, а вторая строка — второго порядка.

Фельберг

Метод Рунге-Кутты-Фельберга имеет два метода пятого и четвертого порядков; его иногда называют RKF45. Его расширенная Таблица Мясника:

${\begin{array}{r|ccccc}0&&&&&\\1/4&1/4&&&\\3/8&3/32&9/32&&\\12/13&1932/2197&-7200/2197&7296/2197&\\1&439/216&-8&3680/513&-845/4104&\\1/2&-8/27&2&-3544/2565&1859/4104&-11/40\\\hline &16/135&0&6656/12825&28561/56430&-9/50&2/55\\&25/216&0&1408/2565&2197/4104&-1/5&0\end{array}}$

Первая строка коэффициентов b дает решение пятого порядка точности, а вторая строка — четвертого порядка.Коэффициенты здесь позволяют адаптивный размер шага автоматически определять .

Кэш-Карп

Кэш и Карп модифицировали первоначальную идею Фельберга. Расширенная таблица метода Кэша – Карпа имеет вид

	0
	1/5	1/5
	3/10	3/40	9/40
	3/5	3/10	−9/10	6/5
	1	−11/54	5/2	−70/27	35/27
	7/8	1631/55296	175/512	575/13824	44275/110592	253/4096
		37/378	0	250/621	125/594	0	512/1771
		2825/27648	0	18575/48384	13525/55296	277/14336	1/4

Первая строка коэффициентов b дает решение пятого порядка точности, а вторая строка — четвертого порядка.

Дорманд – Принц

Расширенная таблица метода Дормана – Принса :

	0
	1/5	1/5
	3/10	3/40	9/40
	4/5	44/45	−56/15	32/9
	8/9	19372/6561	−25360/2187	64448/6561	−212/729
	1	9017/3168	−355/33	46732/5247	49/176	−5103/18656
	1	35/384	0	500/1113	125/192	−2187/6784	11/84
		35/384	0	500/1113	125/192	−2187/6784	11/84	0
		5179/57600	0	7571/16695	393/640	−92097/339200	187/2100	1/40

Первая строка коэффициентов b дает решение пятого порядка точности, а вторая строка дает решение четвертого порядка.

Неявные методы

Обратный Эйлер

Обратный метод Эйлера имеет первый порядок. Безусловно устойчив и неколебателен для задач линейной диффузии.

${\begin{array}{c|c}1&1\\\hline &1\\\end{array}}$

Неявная средняя точка

Неявный метод средней точки имеет второй порядок. Это самый простой метод в классе методов коллокации, известных как методы Гаусса-Лежандра . Это симплектический интегратор .

${\begin{array}{c|c}1/2&1/2\\\hline &1\end{array}}$

Метод Кранка-Николсона

Метод Кранка-Николсона соответствует неявному правилу трапеций и является методом второго порядка точности и A-стабильным.

${\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}$

Методы Гаусса – Лежандра

Эти методы основаны на точках квадратуры Гаусса–Лежандра . Метод Гаусса – Лежандра четвертого порядка имеет таблицу Мясника:

${\begin{array}{c|cc}{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}-{\frac {\sqrt {3}}{6}}\\{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{4}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{4}}\\\hline &{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\&{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\\end{array}}$

Метод Гаусса – Лежандра шестого порядка имеет таблицу Мясника:

${\begin{array}{c|ccc}{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {15}}{10}}&{\frac {5}{36}}&{\frac {2}{9}}-{\frac {\sqrt {15}}{15}}&{\frac {5}{36}}-{\frac {\sqrt {15}}{30}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {5}{36}}+{\frac {\sqrt {15}}{24}}&{\frac {2}{9}}&{\frac {5}{36}}-{\frac {\sqrt {15}}{24}}\\{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {15}}{10}}&{\frac {5}{36}}+{\frac {\sqrt {15}}{30}}&{\frac {2}{9}}+{\frac {\sqrt {15}}{15}}&{\frac {5}{36}}\\\hline &{\frac {5}{18}}&{\frac {4}{9}}&{\frac {5}{18}}\\&-{\frac {5}{6}}&{\frac {8}{3}}&-{\frac {5}{6}}\end{array}}$

Диагонально неявные методы Рунге – Кутты

Диагонально-неявные формулы Рунге-Кутты (DIRK) широко используются для численного решения жестких задач с начальными значениями; Преимущество этого подхода в том, что здесь решение может быть найдено последовательно, а не одновременно.

Самый простой метод из этого класса — неявный метод средней точки второго порядка .

Двухэтапный диагонально-неявный метод Рунге-Кутты Краайевангера и Спийкера:

${\begin{array}{c|cc}1/2&1/2&0\\3/2&-1/2&2\\\hline &-1/2&3/2\\\end{array}}$

Двухэтапный симплектический диагонально-неявный метод Рунге – Кутты второго порядка Цинь и Чжана:

${\begin{array}{c|cc}1/4&1/4&0\\3/4&1/2&1/4\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}$

Двухэтапный диагонально-неявный метод Рунге – Кутты 2-го порядка Парески и Руссо:

${\begin{array}{c|cc}x&x&0\\1-x&1-2x&x\\\hline &{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{array}}$

Этот диагонально-неявный метод Рунге – Кутты A-стабилен тогда и только тогда, когда ${\textstyle x\geq {\frac {1}{4}}}$. Более того, этот метод L-стабилен тогда и только тогда, когда $x$ равно одному из корней многочлена ${\textstyle x^{2}-2x+{\frac {1}{2}}}$, то есть если ${\textstyle x=1\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$.Диагонально неявный метод Рунге – Кутты Цинь и Чжана соответствует диагонально неявному методу Рунге – Кутты Парески и Руссо с $x=1/4$.

Двухэтапный диагонально-неявный метод Рунге – Кутты 2-го порядка:

${\begin{array}{c|cc}x&x&0\\1&1-x&x\\\hline &1-x&x\\\end{array}}$

Опять же, этот диагонально-неявный метод Рунге – Кутты A-стабилен тогда и только тогда, когда ${\textstyle x\geq {\frac {1}{4}}}$. Как и предыдущий метод, этот метод снова L-стабилен тогда и только тогда, когда $x$ равно одному из корней многочлена ${\textstyle x^{2}-2x+{\frac {1}{2}}}$, то есть если ${\textstyle x=1\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$. Это условие также необходимо для точности 2-го порядка.

Двухэтапный диагонально-неявный метод Рунге – Кутты третьего порядка Крузе:

${\begin{array}{c|cc}{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}&0\\{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{6}}&-{\frac {\sqrt {3}}{3}}&{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}\\\hline &{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{array}}$

Трехэтапный диагонально-неявный метод Рунге – Кутты Крузе 4-го порядка:

${\begin{array}{c|ccc}{\frac {1+\alpha }{2}}&{\frac {1+\alpha }{2}}&0&0\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\alpha }{2}}&{\frac {1+\alpha }{2}}&0\\{\frac {1-\alpha }{2}}&1+\alpha &-(1+2\,\alpha )&{\frac {1+\alpha }{2}}\\\hline &{\frac {1}{6\alpha ^{2}}}&1-{\frac {1}{3\alpha ^{2}}}&{\frac {1}{6\alpha ^{2}}}\\\end{array}}$

с ${\textstyle \alpha ={\frac {2}{\sqrt {3}}}\cos {\frac {\pi }{18}}}$.

Трехэтапный L-стабильный диагонально-неявный метод Рунге – Кутты 3-го порядка:

${\begin{array}{c|ccc}x&x&0&0\\{\frac {1+x}{2}}&{\frac {1-x}{2}}&x&0\\1&-3x^{2}/2+4x-1/4&3x^{2}/2-5x+5/4&x\\\hline &-3x^{2}/2+4x-1/4&3x^{2}/2-5x+5/4&x\\\end{array}}$

с $x=0.4358665215$

Трехэтапный диагонально-неявный метод Рунге-Кутты Норсетта четвертого порядка имеет следующую таблицу Мясника:

${\begin{array}{c|ccc}x&x&0&0\\1/2&1/2-x&x&0\\1-x&2x&1-4x&x\\\hline &{\frac {1}{6(1-2x)^{2}}}&{\frac {3(1-2x)^{2}-1}{3(1-2x)^{2}}}&{\frac {1}{6(1-2x)^{2}}}\\\end{array}}$

с $x$ один из трёх корней кубического уравнения $x^{3}-3x^{2}/2+x/2-1/24=0$. Три корня этого кубического уравнения примерно равны $x_{1}=1.06858$, $x_{2}=0.30254$, и $x_{3}=0.12889$. Корень $x_{1}$ дает лучшие свойства устойчивости для задач начального значения.

Четырехстадийный L-стабильный диагонально-неявный метод Рунге – Кутты третьего порядка.

${\begin{array}{c|cccc}1/2&1/2&0&0&0\\2/3&1/6&1/2&0&0\\1/2&-1/2&1/2&1/2&0\\1&3/2&-3/2&1/2&1/2\\\hline &3/2&-3/2&1/2&1/2\\\end{array}}$

Методы Лобатто

Существует три основных семейства методов Лобатто: называются IIIA, IIIB и IIIC (в классической математической литературе символы I и II зарезервированы для двух типов методов Радау). Они названы в честь Реуэля Лобатто. как ссылка на правило квадратур Лобатто , но были представлены Байроном Л. Эль в его диссертации. Все они являются неявными методами, имеют порядок 2 s − 2, и все они имеют c ₁ = 0 и c _s = 1. В отличие от любого явного метода, эти методы могут иметь порядок, превышающий количество этапов. Лобатто жил до того, как Рунге и Кутта популяризировали классический метод четвертого порядка.

Методы Лобатто IIIA

Методы Лобатто IIIA являются методами коллокации . Метод второго порядка известен как правило трапеций :

${\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\\\end{array}}$

Метод четвертого порядка имеет вид

${\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1/2&5/24&1/3&-1/24\\1&1/6&2/3&1/6\\\hline &1/6&2/3&1/6\\&-{\frac {1}{2}}&2&-{\frac {1}{2}}\\\end{array}}$

Эти методы являются A-стабильными, но не L-стабильными и B-стабильными.

Методы Лобатто IIIB

Методы Лобатто IIIB не являются методами коллокации, но их можно рассматривать как прерывистые методы коллокации ( Hairer, Lubich & Wanner 2006 , §II.1.4). Метод второго порядка имеет вид

${\begin{array}{c|cc}0&1/2&0\\1&1/2&0\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\\\end{array}}$

Метод четвертого порядка имеет вид

${\begin{array}{c|ccc}0&1/6&-1/6&0\\1/2&1/6&1/3&0\\1&1/6&5/6&0\\\hline &1/6&2/3&1/6\\&-{\frac {1}{2}}&2&-{\frac {1}{2}}\\\end{array}}$

Методы Лобатто IIIB являются A-стабильными, но не L-стабильными и B-стабильными.

Методы Лобатто IIIC

Методы Лобатто IIIC также являются методами разрывной коллокации. Метод второго порядка имеет вид

${\begin{array}{c|cc}0&1/2&-1/2\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\\\end{array}}$

Метод четвертого порядка имеет вид

${\begin{array}{c|ccc}0&1/6&-1/3&1/6\\1/2&1/6&5/12&-1/12\\1&1/6&2/3&1/6\\\hline &1/6&2/3&1/6\\&-{\frac {1}{2}}&2&-{\frac {1}{2}}\\\end{array}}$

Они L-стабильны. Они также алгебраически устойчивы и, следовательно, B-стабильны, что делает их пригодными для решения жестких задач.

Методы Лобатто IIIC*

Методы Лобатто IIIC* также известны в литературе как методы Лобатто III (Butcher, 2008), методы Лобатто Бутчера (Hairer et al., 1993) и методы Лобатто IIIC (Sun, 2000). Метод второго порядка имеет вид

${\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1&0\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}$

Трехэтапный метод Батчера четвертого порядка определяется формулой

${\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1/2&1/4&1/4&0\\1&0&1&0\\\hline &1/6&2/3&1/6\\\end{array}}$

Эти методы не являются A-стабильными, B-стабильными или L-стабильными. Метод Лобатто IIIC* для $s=2$ иногда называют явным правилом трапеций.

Обобщенные методы Лобатто

Можно рассмотреть очень общее семейство методов с тремя действительными параметрами. $(\alpha _{A},\alpha _{B},\alpha _{C})$ рассматривая коэффициенты Лобатто вида

$a_{i,j}(\alpha _{A},\alpha _{B},\alpha _{C})=\alpha _{A}a_{i,j}^{A}+\alpha _{B}a_{i,j}^{B}+\alpha _{C}a_{i,j}^{C}+\alpha _{C*}a_{i,j}^{C*}$,

где

$\alpha _{C*}=1-\alpha _{A}-\alpha _{B}-\alpha _{C}$.

Например, семейство Lobatto IIID, представленное в (Nørsett and Wanner, 1981), также называемое Lobatto IIINW, имеет вид

${\begin{array}{c|cc}0&1/2&1/2\\1&-1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}$

и

${\begin{array}{c|ccc}0&1/6&0&-1/6\\1/2&1/12&5/12&0\\1&1/2&1/3&1/6\\\hline &1/6&2/3&1/6\\\end{array}}$

Эти методы соответствуют $\alpha _{A}=2$, $\alpha _{B}=2$, $\alpha _{C}=-1$, и $\alpha _{C*}=-2$. Методы L-стабильны. Они алгебраически устойчивы и, следовательно, B-стабильны.

Я нашел методы

Методы Радау являются полностью неявными методами (матрица А таких методов может иметь любую структуру). Методы Радау достигают порядка 2 s − 1 за s этапов. Методы Радау A-стабильны, но дороги в реализации. Также они могут пострадать от сокращения заказов.Метод Радау первого порядка аналогичен обратному методу Эйлера.

Методы Радау IA

Метод третьего порядка имеет вид

${\begin{array}{c|cc}0&1/4&-1/4\\2/3&1/4&5/12\\\hline &1/4&3/4\\\end{array}}$

Метод пятого порядка имеет вид

${\begin{array}{c|ccc}0&{\frac {1}{9}}&{\frac {-1-{\sqrt {6}}}{18}}&{\frac {-1+{\sqrt {6}}}{18}}\\{\frac {3}{5}}-{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {1}{9}}&{\frac {11}{45}}+{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}&{\frac {11}{45}}-{\frac {43{\sqrt {6}}}{360}}\\{\frac {3}{5}}+{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {1}{9}}&{\frac {11}{45}}+{\frac {43{\sqrt {6}}}{360}}&{\frac {11}{45}}-{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}\\\hline &{\frac {1}{9}}&{\frac {4}{9}}+{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {4}{9}}-{\frac {\sqrt {6}}{36}}\\\end{array}}$

Методы Радау IIA

Ci являются _{этого метода} нулями

${\frac {d^{s-1}}{dx^{s-1}}}(x^{s-1}(x-1)^{s})$.

Метод третьего порядка имеет вид

${\begin{array}{c|cc}1/3&5/12&-1/12\\1&3/4&1/4\\\hline &3/4&1/4\\\end{array}}$

Метод пятого порядка имеет вид

${\begin{array}{c|ccc}{\frac {2}{5}}-{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {11}{45}}-{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}&{\frac {37}{225}}-{\frac {169{\sqrt {6}}}{1800}}&-{\frac {2}{225}}+{\frac {\sqrt {6}}{75}}\\{\frac {2}{5}}+{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {37}{225}}+{\frac {169{\sqrt {6}}}{1800}}&{\frac {11}{45}}+{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}&-{\frac {2}{225}}-{\frac {\sqrt {6}}{75}}\\1&{\frac {4}{9}}-{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {4}{9}}+{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {1}{9}}\\\hline &{\frac {4}{9}}-{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {4}{9}}+{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {1}{9}}\\\end{array}}$

Ссылки

• Эль, Байрон Л. (1969). Об аппроксимациях Паде показательной функции и A-устойчивых методах численного решения начальных задач (PDF) (Диссертация).
• Хайрер, Эрнст; Норсетт, Сиверт Пол; Ваннер, Герхард (1993), Решение обыкновенных дифференциальных уравнений I: Нежесткие задачи , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-56670-0 .
• Хайрер, Эрнст; Ваннер, Герхард (1996), Решение обыкновенных дифференциальных уравнений II: жесткие и дифференциально-алгебраические задачи , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-60452-5 .
• Хайрер, Эрнст; Любич, Кристиан; Ваннер, Герхард (2006), Геометрическое численное интегрирование: алгоритмы, сохраняющие структуру для обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-30663-4 .