Ом-процесс Кэли

В математике Ω-процесс Кэли , введенный Артуром Кэли ( 1846 ), представляет собой относительно инвариантный дифференциальный оператор на общей линейной группе , который используется для построения инвариантов группового действия .

Как оператор в частных производных, действующий на функции от n ² переменных x _ij , оператор омега задается определителем

\Omega ={\begin{vmatrix}{\frac {\partial }{\partial x_{11}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial }{\partial x_{n1}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{nn}}}\end{vmatrix}}.

Для бинарных форм f в x ₁ , y ₁ и g в x ₂ , y ₂ оператор Ω равен ${\frac {\partial ^{2}fg}{\partial x_{1}\partial y_{2}}}-{\frac {\partial ^{2}fg}{\partial x_{2}\partial y_{1}}}$ . r -кратный Ω - процесс Ω ^р( f , g ) на двух формах f и g в переменных x и y , тогда

Преобразуйте f в форму x ₁ , y ₁ и g в форму x ₂ , y ₂
Примените оператор Ω r раз к функции fg , то есть f раз g в этих четырех переменных
Замените x на x ₁ и x ₂ , y на y ₁ и y ₂ в результате

Результат r -кратного Ω-процесса Ω ^р( f , g ) в двух формах f и g также называется r -м трансвектантом и обычно пишется ( f , g ) ^р.

Приложения

Ω-процесс Кэли появляется в тождестве Капелли , которое Вейль (1946) находил генераторы инвариантов различных классических групп, действующих на натуральных полиномиальных алгебрах.

Гильберт (1890) использовал Ω-процесс Кэли в своем доказательстве конечной порожденности колец инвариантов полной линейной группы. Использование им процесса Ω дает явную формулу для оператора Рейнольдса специальной линейной группы.

Ом-процесс Кэли используется для определения трансвектантов .

Ссылки

Кэли, Артур (1846), «О линейных преобразованиях» , Кембриджский и Дублинский математический журнал , 1 : 104–122. Перепечатано в Кэли (1889), Сборник математических статей , т. 1, с. 1, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. 95–112.
Гильберт, Дэвид (1890), «К теории алгебраических форм», Mathematical Annals , 36 (4): 473–534, doi : 10.1007/BF01208503 , ISSN 0025-5831 , S2CID 179177713
Хоу, Роджер (1989), «Замечания о классической теории инвариантов», Transactions of the American Mathematical Society , 313 (2), American Mathematical Society: 539–570, doi : 10.1090/S0002-9947-1989-0986027-X , ISSN 0002-9947 , JSTOR 2001418 , MR 0986027
Олвер, Питер Дж. (1999), Классическая теория инвариантов , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55821-1
Штурмфельс, Бернд (1993), Алгоритмы в теории инвариантов , Тексты и монографии по символическим вычислениям, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-211-82445-0 , МР 1255980
Вейль, Герман (1946), Классические группы: их инварианты и представления , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-05756-9 , MR 0000255 , получено 26 марта 2007 г.