Гиперболическое дисконтирование

В экономике дисконтирования гиперболическое дисконтирование представляет собой во времени несогласованную модель с задержкой . Это один из краеугольных камней поведенческой экономики. а его мозговая основа активно изучается исследователями нейроэкономики .

Согласно подходу дисконтированной полезности, межвременной выбор ничем не отличается от других выборов, за исключением того, что некоторые последствия откладываются и, следовательно, должны быть предвидены и дисконтированы (т. е. перевзвешены, чтобы принять во внимание задержку).

Получив две одинаковые награды, люди отдают предпочтение той, которая приходит в более короткие сроки. Говорят, что люди обесценивают ценность более позднего вознаграждения в коэффициенте, который увеличивается с увеличением продолжительности задержки. В финансовом мире этот процесс обычно моделируется в форме экспоненциального дисконтирования , согласованной модели дисконтирования, во времени. Многие психологические исследования с тех пор продемонстрировали отклонения в инстинктивном предпочтении от постоянной ставки дисконтирования, принятой при экспоненциальном дисконтировании. Гиперболическое дисконтирование — это альтернативная математическая модель, которая более точно согласуется с этими выводами.

Согласно гиперболическому дисконтированию, оценки падают относительно быстро для более ранних периодов задержки (например, с настоящего момента до одной недели), но затем падают медленнее для более длительных периодов задержки (например, более нескольких дней). Например, в одном из первых исследований испытуемые заявили, что им будет безразлично, получить ли 15 долларов сразу или 30 долларов через 3 месяца, 60 долларов через 1 год или 100 долларов через 3 года. Это безразличие отражает годовые учетные ставки, которые снизились с 277% до 139% и до 63% по мере того, как задержки становились все дольше. Это контрастирует с экспоненциальным дисконтированием, при котором стоимость падает на постоянный коэффициент на единицу задержки, а ставка дисконтирования остается прежней.

Стандартный эксперимент, используемый для выявления гиперболической кривой дисконтирования испытуемого, заключается в сравнении краткосрочных предпочтений с долгосрочными предпочтениями. Например: «Вы бы предпочли доллар сегодня или три доллара завтра?» или «Вы бы предпочли доллар за год или три доллара за год и один день?» Утверждалось, что значительная часть испытуемых сегодня примет меньшую сумму, но с радостью подождет еще один день в году, чтобы вместо этого получить большую сумму. Людей с такими предпочтениями называют « предвзятыми к настоящему ».

Самым важным последствием гиперболического дисконтирования является то, что оно создает временное предпочтение небольшим вознаграждениям, которые происходят раньше, по сравнению с более крупными и более поздними. Люди, использующие гиперболическое дисконтирование, обнаруживают сильную склонность делать непоследовательный выбор с течением времени: сегодня они делают выбор, который их будущее «я» предпочло бы не делать, несмотря на то, что они знают ту же информацию. Эта динамическая несогласованность возникает потому, что гиперболы искажают относительную ценность вариантов с фиксированной разницей в задержках, пропорциональной тому, насколько далеко от этих вариантов находится лицо, принимающее решение.

Наблюдения

Феномен гиперболического дисконтирования скрыт в » Ричарда Хернштейна « законе соответствия , который гласит, что при распределении своего времени или усилий между двумя неисключительными постоянными источниками вознаграждения большинство субъектов распределяют их прямо пропорционально норме и размеру вознаграждения. из двух источников и обратно пропорционально их задержкам. То есть выбор испытуемых «соответствует» этим параметрам.

После сообщения об этом эффекте в случае задержки, Джордж Эйнсли отметил, что при единственном выборе между большей, более поздней наградой и меньшей, более ранней наградой обратная пропорциональность задержке будет описываться графиком зависимости ценности от задержки, имеющим гиперболическую форму , и что когда меньшее, более раннее вознаграждение предпочтительно, это предпочтение можно изменить, увеличив задержки обоих вознаграждений на одну и ту же абсолютную величину. Исследование Эйнсли показало, что значительное количество испытуемых сообщили, что они предпочли бы 50 долларов немедленно, а не 100 долларов через шесть месяцев, но НЕ предпочли бы 50 долларов через 3 месяца, а не 100 долларов через девять месяцев, даже несмотря на то, что это был тот же выбор, что и через 3 месяца. большее расстояние. Что еще более важно, те испытуемые, которые сказали, что предпочитают 50 долларов через 3 месяца 100 долларам через 9 месяцев, сказали, что они НЕ предпочтут 50 долларов через 12 месяцев 100 долларам через 18 месяцев - опять же, та же пара вариантов на другом расстоянии - показывая, что предпочтение обратный эффект не зависел от волнения от немедленного вознаграждения. Это также не зависит от человеческой культуры; первые результаты изменения предпочтений были обнаружены у крыс и голубей.

Многие последующие эксперименты подтвердили, что спонтанные предпочтения как людей, так и нечеловеческих субъектов следуют гиперболической кривой , а не обычной экспоненциальной кривой, которая со временем приводит к последовательному выбору. Например, когда им предлагают выбор между 50 долларами сейчас и 100 долларами через год, многие люди выберут немедленные 50 долларов. Однако, имея выбор между 50 долларами через пять лет или 100 долларами через шесть лет, почти каждый выберет 100 долларов через шесть лет, хотя это тот же самый выбор, который можно увидеть на расстоянии в пять лет.

Было также обнаружено, что гиперболическое дисконтирование относится к реальным примерам самоконтроля. Действительно, в различных исследованиях использовались меры гиперболического дисконтирования, чтобы обнаружить, что наркозависимые люди игнорируют отсроченные последствия больше, чем соответствующие независимые контрольные группы, предполагая, что крайнее дисконтирование отсрочки является фундаментальным поведенческим процессом при наркотической зависимости. Некоторые данные свидетельствуют о том, что патологические игроки также учитывают отсроченные результаты по более высоким ставкам, чем соответствующие контрольные игроки. В настоящее время неизвестно, предшествуют ли высокие ставки гиперболических скидок зависимости или наоборот, хотя некоторые исследования показывают, что магазины с высокими ставками скидок с большей вероятностью употребляют алкоголь. и кокаин чем дискаунтеры с более низкими ставками. Аналогичным образом, некоторые предполагают, что высокие ставки гиперболического дисконтирования делают непредсказуемые ( азартные ) результаты более удовлетворительными.

Степень дисконтирования жизненно важна при описании гиперболического дисконтирования, особенно при дисконтировании конкретных вознаграждений, таких как деньги. Дисконтирование денежных вознаграждений варьируется в зависимости от возрастной группы из-за различной ставки дисконтирования. Ставка зависит от множества факторов, включая наблюдаемый вид, возраст, опыт и количество времени, необходимое для использования награды.

Математическая модель

Пошаговое объяснение

Предположим, что в исследовании участникам предлагается выбор: взять x долларов немедленно или взять y долларов через n дней. Предположим далее, что один участник этого исследования применяет экспоненциальное дисконтирование, а другой — гиперболическое дисконтирование. Оба участника знают, что они могут инвестировать деньги, которые они получают сегодня, в сберегательный план, который дает им проценты в размере r . Оба они понимают, что им следует немедленно взять x долларов, если будущая стоимость сберегательного плана принесет более y долларов через n дней. Каждый участник правильно понимает задаваемый фундаментальный вопрос: «Для любой заданной стоимости y долларов и n дней, какова минимальная сумма x долларов, которую я должен быть готов принять? Другими словами, сколько долларов мне нужно будет инвестировать сегодня, чтобы получить y долларов через n дней?» Каждый из них возьмет x долларов, если x больше полученного ими ответа, и каждый возьмет y долларов через n дней, если x меньше этого ответа. Однако методы, которые они используют для расчета этой суммы, и ответы, которые они получают, будут разными, и только экспоненциальный дискаунтер будет использовать правильный метод и получать достоверно правильный результат:

• Экспоненциальный дискаунтер думает: «План сбережений каждый день увеличивает свою стоимость на r процентов от стоимости, которую он имел в предыдущий день. Таким образом, каждый день он умножает свою стоимость один раз на (100% + r %). Итак, если я держу инвестиции на n дней, ее стоимость умножится на эту сумму n раз, составив это значение (100% + r %) ^н того, что было вначале – то есть (1 + r ) ^н раза больше, чем было в начале. Итак, чтобы выяснить, с какой суммы мне нужно начать сегодня, чтобы получить y долларов через n дней, мне нужно разделить y долларов на [1 + r ] ^н ."
• Гиперболический дискаунтер, однако, думает: «План сбережений каждый день увеличивает свою стоимость на r процентов. Следовательно, через n дней он увеличивает свою стоимость на r×n процентов [В этом заключается ошибка гиперболического дискаунтера]. Итак, чтобы вычислить Чтобы узнать, с какой суммы мне нужно начать сегодня, чтобы получить y долларов через n дней, мне нужно разделить y долларов на [1 + n × r ]».

Поскольку n становится очень большим, значение (1 + r ) ^н становится намного больше, чем значение [1 + n × r ], в результате чего значение y / (1 + r ) ^н становится намного меньше значения y /[ 1 + n×r ]. Следовательно, минимальное значение x (количество долларов в ближайшем выборе), которого достаточно, чтобы оно было больше этой суммы, будет намного меньше, чем думает гиперболический дискаунтер, в результате чего он будет воспринимать значения x в диапазоне от y /(1 + г ) ^н до y /[ 1 + n×r ] включительно как слишком маленькие и, как следствие, иррационально отклонять эти альтернативы, хотя на самом деле они являются лучшими инвестициями.

Формальная модель

Гиперболическое дисконтирование математически описывается как

$g(D)={\frac {1}{1+kD}}\,$

где g ( D ) — коэффициент дисконтирования , умножающий стоимость вознаграждения, D — задержка вознаграждения, а k — параметр, определяющий степень дисконтирования (например, процентная ставка ). Это сравнивается с формулой экспоненциального дисконтирования:

$f(D)=e^{-kD}\,$

Сравнение

Учитывать $f(D)=2^{-D}\,$ экспоненциальная функция дисконтирования с $k=\ln 2\approx 0.69$ и $g(D)={\frac {1}{1+D}}\,$ гиперболическая функция с $k=1$, и предположим, что оба используют единицы недель для измерения D , задержки. Тогда экспоненциальное дисконтирование через неделю от «сейчас» ( D =0) равно ${\frac {f(1)}{f(0)}}={\frac {1}{2}}\,$и экспоненциальное дисконтирование от D недель задержки до $D+1$ недели это ${\frac {f(D+1)}{f(D)}}={\frac {1}{2}}\,$, поэтому дополнительная скидка, связанная с дополнительной неделей задержки, будет такой же. Для гиперболической модели с использованием g ( D ) скидка на следующую неделю равна ${\frac {g(1)}{g(0)}}={\frac {1}{2}}\,$, что то же самое, что и для f в экспоненциальной модели, тогда как дополнительная скидка за дополнительную неделю после задержки в D недель не такая же: ${\frac {g(D+1)}{g(D)}}=1-{\frac {1}{D+2}}\,$. Отсюда видно, что обе модели дисконтирования «сейчас» одинаковы; это является причиной выбора параметров процентной ставки k . Однако когда D намного больше 1, ${\frac {g(D+1)}{g(D)}}\approx 1\,$ так что гиперболическое дисконтирование дополнительной недели после длительной задержки почти вообще не представляет собой скидки, в то время как экспоненциальный коэффициент дисконтирования все еще равен 1/2, поэтому в далеком будущем все еще существует существенное дисконтирование. Гиперболическое дисконтирование дает очень небольшую скидку на дополнительную неделю задержки сверх уже большой задержки, в то время как экспоненциальное дисконтирование дает постоянную скидку на каждую неделю задержки, независимо от того, находится ли она в далеком будущем или на следующей неделе.

Квазигиперболическое приближение

«Квазигиперболическая» функция дисконтирования (иногда называемая «бета-дельта-дисконтирование»), предложенная Лейбсоном (1997), аппроксимирует приведенную выше гиперболическую функцию дисконтирования в дискретное время с помощью

$f(D)={\begin{cases}1\quad D=0\\\beta \delta ^{D}\quad D=1,2,3,...\end{cases}}$

где β и δ — константы от 0 до 1; а D — задержка вознаграждения, но теперь она принимает только целые значения. Условие f (0)=1 утверждает, что вознаграждения, полученные в настоящий момент, не дисконтируются.

Квазигиперболическое дисконтирование сохраняет большую часть аналитической гибкости экспоненциального дисконтирования, сохраняя при этом ключевую качественную особенность гиперболического дисконтирования.

Пояснения

Неопределенные риски

Рационально ли дисконтировать будущие выгоды или нет – и по какой ставке следует дисконтировать такие выгоды – во многом зависит от обстоятельств. Например, в финансовом мире существует множество примеров, когда разумно предположить, что существует неявный риск того, что вознаграждение не будет доступно в будущем, и, более того, этот риск увеличивается со временем. Рассмотрите возможность заплатить 50 долларов за ужин сегодня или отложить выплату на шестьдесят лет, но заплатить 100 000 долларов. В этом случае у ресторатора было бы разумно дисконтировать обещанную будущую стоимость, поскольку существует значительный риск того, что она может быть не выплачена (например, из-за смерти ресторатора или посетителя).

Неопределенность этого типа можно количественно оценить с помощью байесовского анализа . Например, предположим, что вероятность того, что вознаграждение будет доступно по истечении времени t , для известной степени риска λ равна

$P(R_{t}|\lambda )=\exp(-\lambda t),\,$

но ставка неизвестна лицу, принимающему решение. Если априорное распределение вероятностей λ равно

$p(\lambda )=\exp(-\lambda /k)/k,\,$

тогда лицо, принимающее решение, будет ожидать, что вероятность получения вознаграждения по истечении времени t равна

$P(R_{t})=\int _{0}^{\infty }P(R_{t}|\lambda )p(\lambda )d\lambda ={\frac {1}{1+kt}},\,$

что и есть гиперболическая ставка дисконтирования. Аналогичные выводы можно получить и из других возможных распределений λ.

Приложения

Совсем недавно эти наблюдения о функциях дисконтирования были использованы для изучения сбережений на пенсию и личного дохода. к наркозависимости., заимствование по кредитным картам и прокрастинация . Его часто использовали для объяснения зависимости . Гиперболическое дисконтирование также предлагалось в качестве объяснения расхождений между отношением к конфиденциальности и поведением.

Текущая стоимость аннуитетов

Текущая стоимость стандартного аннуитета

Текущая стоимость ряда равных годовых денежных потоков просроченной задолженности, дисконтированных гиперболически, равна

$V=P{\frac {\ln(1+kD)}{k}},\,$

где V — приведенная стоимость, P — годовой денежный поток, D — количество ежегодных платежей, а k — коэффициент, определяющий дисконтирование.

Критика

Было предложено несколько альтернативных объяснений неэкспоненциального дисконтирования. В статье 2003 года отмечалось, что эту закономерность лучше объяснить эвристикой сходства, чем гиперболическим дисконтированием. Субъекты также сообщали об изменении относительных предпочтений по мере того, как они видели больше деталей того, что они выбирают — эффект «временной интерпретации».

Исследование Дэниела Рида вводит «субаддитивное дисконтирование»: тот факт, что дисконтирование задержки увеличивается, если задержка делится на меньшие интервалы. Эта гипотеза может объяснить основной вывод многих исследований в поддержку гиперболического дисконтирования — наблюдение о том, что нетерпеливость снижается со временем, — а также учитывать наблюдения, не предсказанные с помощью гиперболического дисконтирования. Однако, хотя эти наблюдения и отходят от экспоненциального дисконтирования, они не влекут за собой изменения предпочтений по мере увеличения времени от выбора до более раннего вознаграждения.

Возбуждение аппетита или эмоций иногда приводит к изменению предпочтений, и это является наиболее широко распространенной альтернативой простой гиперболической функции: гиперболоидное или квазигиперболическое дисконтирование объединяет экспоненциальные кривые с резким повышением возбуждения, когда внутреннее вознаграждение становится неизбежным. Такие случаи, очевидно, важны, но все же не учитывают случаи, когда во время возбуждения не делается ни тот, ни другой выбор, или ни один из них.

Наиболее очевидным возражением против гиперболического дисконтирования является то, что многие или большинство людей со временем в большинстве ситуаций учатся делать последовательный выбор. Аналогичным образом, в статье 2014 года существующие исследования подверглись критике за то, что они в основном использовали данные, полученные от студентов университетов, и слишком быстро пришли к выводу о том, что гиперболическая модель дисконтирования верна. Эксперименты на людях часто сообщали о широких различиях между субъектами. Если преодоление тенденции к временным предпочтениям требует обучения, то следующей очевидной задачей экспериментаторов является проверка теорий о том, как и когда происходит это обучение (например, Ainslie, 2012).

См. также

• Акрасия
• Отложенное удовлетворение
• Межвременной выбор
• Теория временной мотивации
• Предпочтение по времени
• Временная стоимость денег

Дальнейшее чтение

• Эйнсли, GW (1975). «Образное вознаграждение: поведенческая теория импульсивности и импульсивного контроля». Психологический вестник . 82 (4): 463–496. дои : 10.1037/h0076860 . ПМИД   1099599 . S2CID   10279574 .
• Эйнсли, Г. (1992). Пикоэкономика: стратегическое взаимодействие последовательных мотивационных состояний внутри человека . Кембридж: Издательство Кембриджского университета.
• Эйнсли, Г. (2001). Распад Воли . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-59694-7 .
• Рахлин, Х. (2000). Наука самоконтроля . Кембридж; Лондон: Издательство Гарвардского университета.