Теория ревизии

Теория ревизии является подобластью философской логики . Он состоит из общей теории определений , включая (но не ограничиваясь) циклические и взаимозависимые концепции . Циклическое определение — это определение, в котором определяемое понятие встречается в определяющем его утверждении — например, буква G определяется как синяя и расположенная слева от G. Теория ревизий обеспечивает формальную семантику для определенных выражений, а системы формальных доказательств изучают логика циклических выражений.

Определения важны в философии и логике. Хотя циклические определения считались логически неверными или непоследовательными, теория пересмотра демонстрирует, что они имеют смысл и могут быть изучены с помощью математической и философской логики. Он использовался для кругового анализа философских и логических концепций.

История

Теория ревизии является обобщением ревизионной теории истины, разработанной Анилом Гуптой , Хансом Герцбергером и Нуэлем Белнапом . В теориях ревизии Гупты и Герцбергера ревизия должна отражать интуитивные оценки предложений, в которых используется предикат истинности. Некоторые предложения устойчивы в своих оценках, например предложение о том, кто говорит правду,

Тот, кто говорит правду, правдив.

Если предположить, что говорящий правду, то это правда, а если предположить, что он лжив, то это ложь. Ни один статус не изменится. С другой стороны, некоторые предложения колеблются, например, лжец ,

Предложение лжеца не соответствует действительности.

Предполагая, что лжец правдив, можно показать, что он лжет, а исходя из предположения, что лжец прав, можно показать, что он прав. Эта нестабильность отражается в последовательности пересмотров лжеца.

Обобщение круговых определений было разработано Гуптой в сотрудничестве с Belnap. Их книга «Ревизионная теория истины » представляет собой углубленное развитие теории круговых определений, а также обзор и критическое обсуждение философских взглядов на истину и связь между истиной и определением.

Философская подоплека

Философскую основу теории ревизии разработали Гупта и Белнап. Другие философы, такие как Аладдин Якуб, разработали философские интерпретации теории ревизии в контексте теорий истины, но не в общем контексте круговых определений.

Гупта и Белнап утверждают, что круговые концепции значимы и логически приемлемы. Циркулярные определения формально приемлемы, о чем свидетельствует формальная семантика теории ревизии. Как выразились Гупта и Белнап, «мораль, которую мы извлекаем из парадоксов, заключается в том, что область значимости более обширна, чем кажется, и что некоторые, казалось бы, бессмысленные концепции на самом деле имеют смысл».

Значение циклического предиката не является расширением, как это часто приписывается нециклическим предикатам. Его смысл, скорее, заключается в правиле пересмотра, определяющем, как генерировать новое гипотетическое расширение на основе исходного. Эти новые расширения, по крайней мере, так же хороши, как и исходные, в том смысле, что, учитывая одно расширение, новое расширение содержит именно то, что удовлетворяет определениям для конкретного циклического предиката. В общем, не существует уникального расширения, на котором будет фиксироваться ревизия.

Теория ревизий предлагает альтернативу стандартной теории определений. Стандартная теория утверждает, что хорошие определения имеют две особенности. Во-первых, определенные символы всегда можно исключить и заменить тем, что их определяет. Во-вторых, определения должны быть консервативными в том смысле, что добавление определения не должно приводить к новым последствиям в языке оригинала. Теория ревизии отвергает первое, но поддерживает второе, что продемонстрировано обоими сильными смыслами достоверности, представленными ниже.

Логик Альфред Тарский представил два критерия оценки определений как анализа понятий: формальная правильность и материальная адекватность. Критерий формальной корректности гласит, что в определении определение не должно встречаться в определениях . Критерий материальной адекватности гласит, что определение должно быть верным анализируемому понятию. Гупта и Белнап рекомендуют придерживаться принципа достаточности материалов в тех случаях, когда эти два критерия противоречат друг другу. Чтобы определить, обеспечивает ли циклическое определение хороший анализ концепции, необходимо оценить материальную адекватность определения. Некоторые круговые определения будут хорошим анализом, а некоторые — нет. В любом случае формальная корректность в понимании Тарского будет нарушена.

Семантика циклических предикатов

Центральная семантическая идея теории ревизии состоит в том, что такое определение, как определение $G$, предоставляет правило пересмотра , которое сообщает, какое новое расширение для определения $G$ должно быть, учитывая гипотетическое расширение определения и информацию, касающуюся неопределенных выражений. Повторное применение правила пересмотра порождает последовательность гипотез, которые можно использовать для определения логики циклических концепций. В работах по теории ревизии обычно используется символ $=_{df}$, чтобы указать определение, при этом левая часть представляет собой определение , а правая часть - определение . Пример

Будучи $G$ определяется как синий и расположенный слева от $G$

тогда можно записать как

Будучи $G=_{df}$ будучи одновременно синим и слева от $G$.

Учитывая гипотезу о расширении $G$, можно получить новое расширение для $G$ апеллируя к значению неопределенных выражений в определении, а именно синего цвета и слева от .

Мы начинаем с основного языка, $L$, что интерпретируется с помощью классической наземной модели $M$, который является парой доменов $D$ и функция интерпретации $I$. Предположим, что множество определений ${\mathcal {D}}$ заключается в следующем,

${\begin{aligned}G_{1}{\overline {x}}&=_{Df}A_{G_{1}}({\overline {x}})\\&{}\,\,\,\vdots \\G_{n}{\overline {x}}&=_{Df}A_{G_{n}}({\overline {x}})\\&{}\,\,\,\vdots \end{aligned}}$

где каждый $A_{G_{i}}$ это формула, которая может содержать любое из определений $G_{j}$, включая $G_{i}$ сам. Требуется, чтобы в определениях были только отображаемые переменные, ${\overline {x}}$, свободны в определениях , формулы $A_{G_{i}}$. Язык расширен этими новыми предикатами: $G_{1},\ldots ,G_{n},\ldots$, чтобы сформировать $L$⁺ . Когда набор ${\mathcal {D}}$ содержит мало определенных предикатов, обычно используют обозначение $G{\overline {x}}=_{Df}A({\overline {x}},G)$ подчеркнуть это $A$ может содержать $G$.

Гипотеза $h$ представляет собой функцию от определения до кортежей ${\mathcal {D}}$. Модель $M+h$ так же, как модель $M$ за исключением того, что $h$ интерпретирует каждое определение согласно следующему биусловию, левая часть которого читается как « $G_{i}({\overline {t}})$ верно в $M+h$.”

$M+h\models G_{i}({\overline {t}}){\text{ iff }}I({\overline {t}})\in h(G_{i})$

Набор ${\mathcal {D}}$ определений дает правило пересмотра или оператор пересмотра, $\delta _{M,{\mathcal {D}}}$. Операторы редакции подчиняются следующей эквивалентности для каждого определения : $G$, в ${\mathcal {D}}$.

$M+\delta _{M,{\mathcal {D}}}(h)\models G({\overline {t}}){\text{ iff }}M+h\models A_{G}({\overline {t}})$

Кортеж будет удовлетворять определению $G$ после доработки на тот случай, если он удовлетворяет требованиям для $G$, а именно $A_{G}$, до пересмотра. Это означает, что кортежи, удовлетворяющие $A_{G}$ по гипотезе будут именно те, которые удовлетворяют $G$ согласно пересмотру этой гипотезы.

Классические связки оцениваются обычным рекурсивным способом в $M+h$. К гипотезам апеллирует только оценка определенного предиката.

Последовательности

Последовательность пересмотров — это последовательность гипотез, удовлетворяющих дополнительным условиям. Здесь мы сосредоточимся на последовательностях, которые $\omega$-длинный, поскольку трансфинитные последовательности ревизий требуют дополнительной спецификации того, что делать на предельных стадиях.

Позволять ${\mathcal {S}}$ — последовательность гипотез, и пусть ${\mathcal {S}}_{\alpha }$ быть $\alpha$-я гипотеза в ${\mathcal {S}}$. Ан $\omega$-длинная последовательность ${\mathcal {S}}$ гипотез — это последовательность пересмотров на всякий случай для всех $n$,

${\mathcal {S}}_{n+1}=\delta _{M,{\mathcal {D}}}({\mathcal {S}}_{n}).$

Рекурсивно определите итерацию как

• $\delta _{M,{\mathcal {D}}}^{0}(h)=h$ и
• $\delta _{M,{\mathcal {D}}}^{n+1}(h)=\delta _{M,{\mathcal {D}}}^{n}(\delta _{M,{\mathcal {D}}}(h)).$

The $\omega$-длинная последовательность изменений, начиная с $h$ можно записать следующим образом.

$h,\delta _{M,{\mathcal {D}}}(h),\delta _{M,{\mathcal {D}}}^{2}(h),\ldots$

Одно чувство значимости, $S_{0}$ валидность можно определить следующим образом. Предложение $A$ действителен в $S_{0}$ в $M$ на ${D}$ если существует $n$ такой, что для всех $h$ и для всех $m\geq n$, $M+\delta _{M,{\mathcal {D}}}^{m}(h)\models A$. Предложение $A$ действителен на $D$ на всякий случай это действительно во всех случаях $M$.

Срок действия в $S_{0}$ могут быть переработаны с точки зрения стабильности в $\omega$-длинные последовательности. Предложение $A$ стабильно верно в последовательности изменений на случай, если произойдет ${\alpha }$ такой, что для всех $\beta \geq \alpha$, $M+{{\mathcal {S}}_{\beta }}\models A$. Предложение $A$ стабильно ложно в последовательности изменений на случай, если есть ${\alpha }$ такой, что для всех $\beta \geq \alpha$, $M+{{\mathcal {S}}_{\beta }}\not \models A$. В этом плане предложение $A$ действителен в $S_{0}$ в $M$ на всякий случай $A$ стабильно верно во всех $\omega$-длинные последовательности ревизий на $M$.

Примеры

Для первого примера пусть ${\mathcal {D}}_{1}$ быть $Gx=_{Df}(x=a\ \&\ \sim Gx)\lor (x=b\ \&\ Gb).$ Пусть область наземной модели $M$ быть {a, b} и пусть $I(a)=a$ и $I(b)=b$. Тогда существуют четыре возможные гипотезы $M$: $\emptyset$, {а} , {б} , {а, б} . Первые несколько шагов последовательности пересмотра, начиная с этих гипотез, иллюстрируются следующей таблицей.

Пример редакции для ${\mathcal {D}}_{1}$

этап 0	этап 1	этап 2	этап 3
$\emptyset$	{а}	$\emptyset$	{а}
{а}	$\emptyset$	{а}	$\emptyset$
{б}	{а, б}	{б}	{а, б}
{а, б}	{б}	{а, б}	{б}

Как видно из таблицы, $a$ входит и выходит из расширения $G$. Оно никогда не стабилизируется. С другой стороны, $b$ либо остается внутри, либо остается снаружи. Она стабильна, но будет ли она стабильно истинной или стабильно ложной, зависит от исходной гипотезы.

Дальше пусть ${\mathcal {D}}_{2}$ быть $Hx=_{Df}Hx\lor \sim Hx.$ Как показано в следующей таблице, все гипотезы для наземной модели предыдущего примера пересматриваются с учетом набора {a, b} .

Пример редакции для ${\mathcal {D}}_{2}$

этап 0	этап 1	этап 2	этап 3
$\emptyset$	{а, б}	{а, б}	{а, б}
{а}	{а, б}	{а, б}	{а, б}
{б}	{а, б}	{а, б}	{а, б}
{а, б}	{а, б}	{а, б}	{а, б}

Для немного более сложного шаблона изменений позвольте ${L}$ содержать $<$ и все цифры, ${\overline {k}}$, и пусть наземная модель будет $\mathbb {N}$, областью определения которого являются натуральные числа, $\omega$, с интерпретацией $I$ такой, что $I({\overline {k}})=k$ для всех цифр и $I(<)$ – это обычный порядок натуральных чисел. Позволять ${\mathcal {D}}_{3}$ быть $Jx=_{Df}\forall y(y<x\supset Jy).$ Пусть исходная гипотеза $h$ быть $\emptyset$. При этом последовательность расширений выстраивается поэтапно.

$\varnothing ,\ \{0\},\ \{0,1\},\ \{0,1,2,\},\ \ldots$

Хотя для каждого $n$, $J{\overline {n}}$ действителен в $\mathbb {N}$, $\forall xJx$ недействителен в $\mathbb {N}$.

Предположим, что исходная гипотеза содержит 0, 2 и все нечетные числа. После одной ревизии расширение $J$ будет {0, 1, 2, 3, 4} . Последующие версии будут создавать расширение, как в предыдущем примере. В более общем плане, если расширение $J$ это еще не все $\mathbb {N}$, то одна ревизия сократит расширение $J$ вплоть до, возможно, пустого начального сегмента натуральных чисел, а последующие изменения создадут его резервную копию.

Система доказательств

Существует система доказательства естественных вычетов в стиле Fitch . $C_{0}$, для круговых определений. В системе используются индексированные формулы, ${A}^{i}$, где $i$ может быть любым целым числом. Индексы можно рассматривать как представляющие относительную позицию в последовательности изменений. Посылки и выводы правил классических связок имеют один и тот же индекс. Например, вот правила введения союза и отрицания.

| $B^{i}$
| $C^{i}$
| $(B\&C)^{i}$ $\&$In

| |__ $B^{i}$
| | $\vdots$
| | $\bot ^{i}$
| $\sim B^{i}$ $\sim$In

Для каждого определения $G{\overline {x}}=_{Df}A_{G}({\overline {x}})$, в $D$, есть пара правил.

| $A_{G}({\overline {t}})^{i}$
| $G({\overline {t}})^{i+1}$ DfIn

| $G({\overline {t}})^{i+1}$
| $A_{G}({\overline {t}})^{i}$ DfElim

В настоящих правилах предполагается, что ${\overline {t}}$ бесплатны для ${\overline {x}}$ в $A_{G}$.

Наконец, для формул $B$ из ${L}$, есть еще одно правило — правило индексного сдвига.

| $B^{i}$
| $B^{j}$ IS

В этом правиле $i$ и $j$ могут быть любыми различными индексами. Это правило отражает тот факт, что формулы основного языка не меняют свою интерпретацию на протяжении всего процесса редактирования.

Система $C_{0}$ является надежным и полным по отношению к $S_{0}$ действительность, то есть предложение действительно в $S_{0}$ на всякий случай это выводится в $C_{0}$.

Недавно Риккардо Бруни разработал систему аксиом в стиле Гильберта и секвенциальную систему , которые одновременно надежны и полны по отношению к $S_{0}$.

Трансфинитная ревизия

Для некоторых определений $S_{0}$ обоснованность недостаточно сильна. Например, в определении ${\mathcal {D}}_{3}$, хотя каждое число в конечном итоге стабильно находится в расширении $J$, универсально квантифицированное предложение $\forall xJx$ недействителен. Причина в том, что для того, чтобы любое данное предложение было действительным, оно должно стабилизироваться до истинного после конечного числа изменений. С другой стороны, $\forall xJx$ нуждается в бесконечном количестве пересмотров, если только исходная гипотеза уже не приписывает все натуральные числа расширению $J$.

Естественные укрепления $S_{0}$ валидность и альтернативы ей используют трансфинитно длинные последовательности ревизий. Позволять $On$ быть классом всех ординалов . Определения будут сосредоточены на последовательностях гипотез, которые $On$-длинный.

Предполагать ${\mathcal {S}}$ это $On$-длинная последовательность гипотез. Кортеж ${\overline {d}}$ стабильно находится в расширении определенного предиката $G$ по предельному ординалу $\beta$ в последовательности ${\mathcal {S}}$ на всякий случай есть $\alpha \leq \beta$ такой, что для всех $\gamma$ с $\alpha \leq \gamma <\beta$, ${\overline {d}}\in {\mathcal {S}}_{\gamma }$. Аналогично, кортеж ${\overline {d}}$ стабильно находится вне расширения $G$ по предельному ординалу $\beta$ на всякий случай есть сцена $\alpha$ такой, что для всех $\gamma$ с $\alpha \leq \gamma <\beta$, ${\overline {d}}\not \in {\mathcal {S}}_{\gamma }$. В противном случае ${\overline {d}}$ неустойчив в $\beta$ в ${\mathcal {S}}$. Неформально, кортеж стабильно находится в расширении на пределе, на тот случай, если есть этап, после которого кортеж находится в расширении до предела, и кортеж стабильно отсутствует на тот случай, если есть этап, после которого он остается вне работы. до предельной стадии.

Гипотеза $h$ согласуется с ${\mathcal {S}}$ по предельному ординалу $\beta$ если для всех кортежей ${\overline {d}}$, если ${\overline {d}}$ стабильно находится в [стабильно вне] расширения $G$ в $\beta$ в ${\mathcal {S}}$, затем ${\overline {d}}\in [\not \in ]h(G)$.

Ан $On$-длинная последовательность ${\mathcal {S}}$ гипотез представляет собой последовательность пересмотров тогда и только тогда, когда для всех $\alpha$,

• если $\alpha =\beta +1$, затем ${\mathcal {S}}_{\alpha }=\delta _{M,{\mathcal {D}}}({\mathcal {S}}_{\beta })$, и
• если $\alpha$ является пределом, то ${\mathcal {S}}_{\alpha }$ согласуется с ${\mathcal {S}}$ в $\alpha$.

Так же, как и с $\omega$ последовательностей, последующие этапы последовательности генерируются оператором ревизии. Однако на предельных стадиях единственным ограничением является то, чтобы предельная гипотеза соответствовала тому, что было раньше. Неустойчивые элементы устанавливаются в соответствии с правилом пределов, детали которого остаются открытыми из-за множества определений.

Лимитные правила можно разделить на два класса: постоянные и непостоянные, в зависимости от того, выполняют ли они разные действия на разных стадиях ограничения. Правило постоянного предела делает то же самое с нестабильными элементами на каждом пределе. Одно конкретное правило постоянного предела, правило Герцбергера, исключает из расширений все нестабильные элементы. Согласно другому постоянному правилу, правилу Гупта, нестабильные элементы включаются в расширения только в том случае, если они находились в ${\mathcal {S}}_{0}$. Правила непостоянных пределов меняют подход к нестабильным элементам в пределах.

Два смысла достоверности можно определить с помощью $On$-длинные последовательности. Первый, $S^{*}$ валидность определяется с точки зрения стабильности. Предложение $A$ действителен в $S^{*}$ в $M$ на ${\mathcal {D}}$ если для всех $On$-длинные последовательности ревизий ${S}$, есть сцена $\alpha$ такой, что $A$ стабильно верно в ${\mathcal {S}}$ после этапа $\alpha$. Предложение $A$ является $S^{*}$ действителен на ${\mathcal {D}}$ на всякий случай для всех классических наземных моделей $M$, $A$ является $S^{*}$ действителен в $M$ на ${\mathcal {D}}$.

Второе чувство значимости, $S^{\#}$ валидность, использует скорее стабильность , чем стабильность. Предложение ${A}$ почти стабильно верно в последовательности ${\mathcal {S}}$ если есть $\alpha$ такой, что для всех $\beta \geq \alpha$, существует натуральное число $n$ такой, что для всех $m\geq n$, $M+\delta _{M,{\mathcal {D}}}^{m}({\mathcal {S}}_{\beta })\models A.$ Предложение ${A}$ почти стабильно ложно в последовательности ${\mathcal {S}}$ если есть $\alpha$ такой, что для всех $\beta \geq \alpha$, существует натуральное число $n$ такой, что для всех $m\geq n$, $M+\delta _{M,{\mathcal {D}}}^{m}({\mathcal {S}}_{\beta })\not \models A.$ Почти стабильное предложение может иметь конечно длительные периоды нестабильности после пределов, после которых оно стабилизируется до следующего предела.

Предложение $A$ действителен в $S^{\#}$ в $M$ если только для всех $On$-длинные последовательности ревизий ${S}$, есть сцена $\alpha$ такой, что $A$ почти стабильно верно в ${\mathcal {S}}$ после этапа $\alpha$. Предложение $A$ действителен в $S^{\#}$ на всякий случай, если это действительно в $S^{\#}$ во всех наземных моделях.

Если предложение действительно в $S^{*}$, то оно справедливо в $S^{\#}$, а не наоборот. Пример использования ${\mathcal {D}}_{3}$ показывает это для достоверности в модели. Предложение $\forall xJx$ недействителен в $\mathbb {N}$ в $S_{0}$, но оно справедливо в $S^{\#}$.

Аттракцион $S^{\#}$ валидность заключается в том, что он генерирует более простую логику, чем $S^{*}$. Система доказательств $C_{0}$ подходит для $S^{\#}$, но, в общем-то, неполный. Ввиду полноты $C_{0}$, если предложение действительно в $S_{0}$, то оно справедливо в $S^{\#}$, но обратное, вообще говоря, неверно. Срок действия в $S_{0}$ и в $S^{*}$ в общем, несравнимы. Следовательно, $C_{0}$ не подходит для $S^{*}$.

Конечные определения

Пока $S^{\#}$ действительность опережает $S_{0}$ Действительность, вообще говоря, есть особый случай, когда эти два определения совпадают, конечные . Грубо говоря, определение является конечным, если все последовательности изменений перестают создавать новые гипотезы после конечного числа изменений. Точнее, определим гипотезу $h$ как рефлексивный на тот случай, если есть $n>0$ такой, что $h=\delta _{M,{\mathcal {D}}}^{n}(h)$. Определение конечно тогда и только тогда, когда для всех моделей $M$, для всех гипотез $h$, существует натуральное число $n$, такой, что $\delta _{M,{\mathcal {D}}}^{n}(h)$ является рефлексивным. Гупта показал, что если ${\mathcal {D}}$ конечно, то $S^{\#}$ действительность и $S_{0}$ действительность совпадают.

Не существует известной синтаксической характеристики множества конечных определений, а конечные определения не замкнуты при выполнении стандартных логических операций, таких как конъюнкция и дизъюнкция. Марикармен Мартинес выявил некоторые синтаксические особенности, при которых множество конечных определений замкнуто. Она показала, что если ${L}$ содержит только унарные предикаты, кроме тождества, не содержит функциональных символов определения и ${\mathcal {D}}$ все унарны, то ${\mathcal {D}}$ конечно.

Хотя многие стандартные логические операции не сохраняют конечность, она сохраняется за счет операции самокомпозиции . Для определения $G{\overline {x}}=_{Df}A({\overline {x}},G)$, определите самокомпозицию рекурсивно следующим образом.

• $A^{0}({\overline {x}},G)=G{\overline {x}}$ и
• $A^{n+1}({\overline {x}},G)=A^{n}({\overline {x}},G)[A({\overline {t}},G)/G{\overline {t}}]$.

Последний говорит, что $A^{n+1}$ получается заменой всех экземпляров $G{\overline {t}}$ в $A^{n}$, с $A({\overline {t}},G)$. Если ${\mathcal {D}}$ является конечным определением и ${\mathcal {D}}^{n}$ является результатом замены каждого определения $B$ в ${\mathcal {D}}$ с $B^{n}$, затем ${\mathcal {D}}^{n}$ также является конечным определением.

Примечательные формальные особенности

Теория ревизии отличает материальную эквивалентность от эквивалентности определений. В наборах определений используется последнее. В общем, эквивалентность определений — это не то же самое, что материальная эквивалентность. Учитывая определение

$Gx=_{Df}A(x,G),$

его материальный аналог,

$\forall x(Gx\equiv A(x,G)),$

в общем случае не будет действительным. Определение

$Gx=_{Df}\sim Gx$

иллюстрирует недействительность. Его определения и определения не будут иметь одинаковое истинностное значение после любого пересмотра, поэтому материальное бикондиционал не будет действительным. Для некоторых определений действительны материальные аналоги определяющих положений. Например, если определения содержат только символы основного языка, то материальные аналоги будут действительными.

Определения, данные выше, относятся к классической схеме. Определения можно настроить для работы с любой семантической схемой. Сюда входят трехзначные схемы, такие как Strong Kleene , с исключением-отрицанием , таблица истинности которых следующая.

Отрицание исключения

$\lnot$
${\textbf {t}}$	${\textbf {f}}$
${\textbf {n}}$	${\textbf {f}}$
${\textbf {f}}$	${\textbf {t}}$

Примечательно, что многие подходы к истине, такие как теория Сильного Клини Сола Крипке , не могут использоваться с отрицанием исключения в языке.

Теория ревизии, хотя в некоторых отношениях и похожа на теорию индуктивных определений, отличается от нее по нескольким причинам. Самое главное, что пересмотр не должен быть монотонным, то есть расширения на более поздних стадиях не обязательно должны быть надмножествами расширений на более ранних стадиях, как показано в первом примере выше. При этом теория ревизии не постулирует каких-либо ограничений на синтаксическую форму определений. Индуктивные определения требуют, чтобы их определения были положительными в том смысле, что определения могут появляться в определениях только при четном числе отрицаний. (При этом предполагается, что отрицание, конъюнкция, дизъюнкция и квантор всеобщности являются примитивными логическими связками, а остальные классические связки — просто определяемыми символами.) Определение

$Gx=_{Df}(x{\text{ is even }}\&\ Gx)\vee (x{\text{ is odd }}\&\ \sim Gx)$

приемлемо в теории ревизий, но не в теории индуктивных определений.

Индуктивные определения семантически интерпретируются через фиксированные точки, гипотезы. $h$ для чего $h=\delta _{M,{\mathcal {D}}}(h)$. Как правило, последовательность изменений не достигает фиксированных точек. Если определение ​ ${\mathcal {D}}$ все положительны, то последовательность пересмотров будет достигать фиксированных точек, пока исходная гипотеза обладает свойством, которое $h(G)\subseteq \delta _{M,{\mathcal {D}}}(h)(G)$, для каждого $G$. В частности, учитывая такой ${\mathcal {D}}$, если исходная гипотеза присваивает всем определениям пустое расширение , то последовательность пересмотров достигнет минимальной фиксированной точки.

Наборы допустимых предложений в некоторых определениях могут быть очень сложными, в частности $\Pi _{2}^{1}$. Это показали Филип Кремер и Альдо Антонелли. Следовательно, не существует системы доказательств для $S^{\#}$ действительность.

Правда

Наиболее известное применение теории ревизии относится к теории истины, разработанной, например, Гуптой и Белнапом (1993). Круговое определение истины — это совокупность всех бикондиционалов Тарского». $A$' верно, если и только если $A$, где под «iff» понимается эквивалентность определений, $=_{Df}$, а не материальная эквивалентность. Каждое бикондиционал Тарского дает частичное определение понятия истины. Понятие истины является замкнутым, поскольку некоторые бикондиционалы Тарского используют в своих определениях неустранимый экземпляр слова «истина» . Например, предположим, что $b$ это название предложения, говорящего правду, $b$ это правда. В этом предложении имеется двустороннее условие Тарского: $b$ это правда, если только $b$ это правда. Предикат истинности справа не может быть устранен. Этот пример зависит от наличия в языке говорящего правду. Этот и другие примеры показывают, что истина, определяемая бикондиционалами Тарского, представляет собой замкнутую концепцию.

Некоторые языки, например язык арифметики, будут иметь порочную самореференцию. Лжец и другие патологические предложения гарантированно будут в языке с правдой. Можно определить и другие языки, обладающие истиной, в которых отсутствует порочная самореференция. В таком языке любая последовательность изменений ${S}$ ибо истина обязательно достигнет стадии, когда ${S}_{\alpha }={S}_{\alpha +1}$, поэтому предикат истинности ведет себя как нециклический предикат. В результате в таких языках истина имеет стабильное расширение, определенное для всех предложений языка. Это контрастирует со многими другими теориями истины, например, с минимальной теорией Стронга Клини и минимальной теорией сверхоценки . Расширение и антирасширение предиката истины в этих теориях не исчерпывают набор предложений языка.

Разница между $S^{\#}$ и $S^{*}$ важно при рассмотрении ревизионных теорий истины. Часть различий проявляется в семантических законах, которые представляют собой следующие эквивалентности, где T — предикат истинности.

• $\forall A(T(\ulcorner \sim A\urcorner )\equiv \sim T(\ulcorner A\urcorner ))$
• $\forall A,B(T(\ulcorner {A\&B}\urcorner )\equiv T(\ulcorner {A}\urcorner )\&T(\ulcorner {B}\urcorner ))$
• $\forall A,B(T(\ulcorner {A\lor B}\urcorner )\equiv T(\ulcorner {A}\urcorner )\lor T(\ulcorner {B}\urcorner ))$
• $\forall A(T(\ulcorner \forall xA\urcorner )\equiv \forall tT(\ulcorner A[x/t]\urcorner ))$

Все они действительны в $S^{\#}$, хотя последнее допустимо только тогда, когда домен счетен и каждый элемент имеет имя. В $S^{*}$, однако ни один из них не является действительным. Можно понять, почему закон отрицания не работает, рассмотрев лжеца: $a=\ulcorner {\sim Ta}\urcorner$. Лжец и все конечные итерации предиката истины неустойчивы, поэтому можно положить $T\ulcorner {Ta}\urcorner$ и $T\ulcorner {\sim Ta}\urcorner$ иметь одинаковое значение истинности в некоторых пределах, что приводит к $\sim T\ulcorner {Ta}\urcorner$ и $T\ulcorner {\sim Ta}\urcorner$ имеющие разные значения истинности. Это исправляется после доработки, но закон отрицания не будет стабильно верным. Следствием теоремы Ванна МакГи является то, что ревизионная теория истины в $S^{\#}$ является $\omega$- непоследовательный. $S^{*}$ теория не $\omega$- непоследовательный.

Существует аксиоматическая теория истины, связанная с $S^{\#}$ теория на языке арифметики с истиной. Теория Фридмана-Шеарда (FS) получается добавлением к обычным аксиомам арифметики Пеано

• аксиома $\forall s,t(T(\ulcorner {s=t}\urcorner )\equiv s=t)$,
• семантические законы,
• аксиомы индукции с предикатом истинности и
• два правила
  • если $\vdash A$, затем $\vdash T(\ulcorner A\urcorner )$, и
  • если $\vdash T(\ulcorner A\urcorner )$, затем $\vdash A$.

По теореме МакГи эта теория $\omega$- непоследовательный . Однако FS не имеет в качестве теорем каких-либо ложных чисто арифметических предложений. FS имеет глобальное отражение теоремы для арифметики Пеано:

$\forall x((\mathrm {Sent} (x)\ \&\ \mathrm {Bew} _{PA}(x))\supset Tx),$

где $\mathrm {Bew} _{PA}$ является предикатом доказуемости арифметики Пеано и $\mathrm {Sent}$ является предикатом, истинным для всех и только истинных предложений языка. Следовательно, теорема FS состоит в том, что арифметика Пеано непротиворечива.

FS — это субтеория теории истины для арифметики, набор предложений, действительных в $S^{\#}$. Стандартный способ показать, что FS непротиворечив, — использовать $\omega$-длинная последовательность изменений. Была проделана определенная работа по аксиоматизации $S^{*}$ теория истины для арифметики.

Другие приложения

Теория ревизии использовалась для изучения циклических концепций помимо истины и для обеспечения альтернативного анализа концепций, таких как рациональность.

Необоснованная теория множеств — это теория множеств , которая постулирует существование необоснованного множества, которое представляет собой множество $x$ который имеет бесконечную нисходящую цепь по отношению принадлежности,

$\cdots x_{n+1}\in x_{n}\in \cdots \in x_{1}\in x.$

Антонелли использовал теорию ревизий для построения моделей необоснованной теории множеств. Одним из примеров является теория множеств, которая постулирует множество, единственным членом которого является оно само. $x=\{x\}$.

с бесконечным временем Машины Тьюринга — это модели вычислений, которые позволяют вычислениям выполнять бесконечное количество шагов. Они обобщают стандартные машины Тьюринга, используемые в теории вычислимости. Бенедикт Лёве показал, что существуют тесные связи между вычислениями машин Тьюринга с бесконечным временем и процессами пересмотра.

Рациональный выбор в теории игр анализируется как циклическая концепция. Андре Шапюи утверждал, что рассуждения, используемые агентами при рациональном выборе, демонстрируют взаимозависимость, характерную для циклических концепций.

Теорию ревизии можно адаптировать для моделирования других видов явлений. Например, неопределенность была проанализирована в терминах теории ревизии Конрадом Асмусом. Чтобы смоделировать неопределенный предикат в этом подходе, указываются пары подобных объектов и указываются объекты, которые не являются пограничными случаями и поэтому не подлежат пересмотру. Пограничные объекты меняют свой статус по отношению к предикату в зависимости от статуса объектов, на которые они похожи.

Теория ревизии использовалась Гуптой для объяснения логического вклада опыта в убеждения. Согласно этой точке зрения, вклад опыта представлен правилом пересмотра, которое принимает в качестве входных данных точку зрения агента, концепции и убеждения, а на выходе дает перцептивные суждения. Эти суждения можно использовать для обновления точки зрения агента.

См. также

• Анил Гупта
• Круговое определение
• Определение
• Парадокс
• Философская логика
• Правда

Ссылки

• Антонелли, А. (1994a). Сложность доработки. Журнал формальной логики Нотр-Дам , 35 ​​(1): 67–72.
• Антонелли, А. (1994b). Необоснованные множества по правилам ревизии. Журнал философской логики , 23 (6): 633–679.
• Асмус, CM (2013). Неясности и последовательность пересмотра. Synthese , 190(6):953–974.
• Белнап, Н. (1982). Правило пересмотра теории истины Гупты. Журнал философской логики , 11 (1): 103–116.
• Бруни, Р. (2013). Аналитические исчисления для круговых понятий конечной ревизией. Студия Логика , 101(5):915–932.
• Шапюи, А. (2003). Применение круговых определений: Рациональное решение. В Лёве Б., Рхаше Т. и Мальцкорне В., редакторах, «Основы формальных наук II» , страницы 47–54. Клювер.
• Гупта, А. (1982). Истина и парадокс. Журнал философской логики , 11 (1). Пересмотренная версия с кратким постскриптумом перепечатана у Мартина (1984).
• Гупта, А. (2006a). Эмпиризм и опыт . Издательство Оксфордского университета.
• Гупта, А. (2006b). Конечные круговые определения. Боландер Т., Хендрикс В.Ф. и Андерсен С.А., редакторы, Self-Reference , страницы 79–93. Публикации CSLI.
• Гупта, А. (2011). Истина, Смысл, Опыт . Издательство Оксфордского университета.
• Гупта А. и Белнап Н. (1993). Ревизионная теория истины . МТИ Пресс.
• Хальбах, В. (2011). Аксиоматические теории истины . Издательство Кембриджского университета.
• Герцбергер, Х.Г. (1982). Заметки о наивной семантике. Журнал философской логики , 11 (1): 61–102. Перепечатано в Мартине (1984).
• Хорстен Л., Ли Дж. Е., Лейтгеб Х. и Уэлч П. (2012). Пересмотренная редакция. Обзор символической логики , 5 (4): 642–665.
• Кремер, П. (1993). Системы Гупта-Белнап $S^{\#}$ и $S^{*}$ не являются аксиоматизируемыми. Журнал формальной логики Нотр-Дама , 34 (4): 583–596.
• Лёве, Б. (2001). Последовательности ревизий и компьютеры с бесконечным количеством времени. Журнал логики и вычислений , 11 (1): 25–40. дои : 10.1093/log-com/11.1.25 .
• Мартин, Р.Л., редактор (1984). Недавние эссе об истине и парадоксе лжеца . Издательство Оксфордского университета.
• Мартинес, М. (2001). Некоторые свойства замыкания конечных определений. Студия Логика , 68(1):43–68.
• МакГи, В. (1985). Насколько истинным может быть предикат? Отрицательный результат. Журнал философской логики , 14 (4): 399–410.
• Шапиро, Л. (2006). Обоснование семантики правил пересмотра. Философские исследования , 129(3):477–515.
• Стандефер, С. (2015). Теоремы типа Соловея для круговых определений. Обзор символической логики , страницы 1–21. предстоящий
• Якуб, AM (1993). Лжец говорит правду: защита ревизионной теории истины . Издательство Оксфордского университета.

Внешние ссылки

• Кремер, П. (2014) Ревизионная теория истины. Ин Залта, EN, редактор Стэнфордской энциклопедии философии . Летний выпуск 2014 года.