Метод шоковой фиксации

В гидродинамике вычислительной методы подавления ударов представляют собой класс методов расчета невязких течений с ударными волнами . Расчет потока, содержащего ударные волны, является чрезвычайно сложной задачей, поскольку такие потоки приводят к резким, прерывистым изменениям переменных потока, таких как давление, температура, плотность и скорость поперек ударной волны.

Метод

В методах учета ударной волны основные уравнения невязких потоков (т. е. уравнения Эйлера ) приводятся в форме сохранения, а любые ударные волны или разрывы рассчитываются как часть решения. Здесь не применяется никакой специальной обработки для устранения самих ударов, в отличие от метода шоковой подгонки, где ударные волны явно вводятся в решение с использованием соответствующих соотношений ударов ( соотношений Рэнкина – Гюгонио ). Ударные волны, предсказываемые методами улавливания скачков, обычно не являются резкими и могут быть размазаны по нескольким элементам сетки. Кроме того, классические методы улавливания толчков имеют тот недостаток, что вблизи сильных толчков могут развиваться нефизические колебания ( феномен Гиббса ).

Уравнения Эйлера

Уравнения Эйлера являются основными уравнениями невязкого течения. Для реализации методов компенсации скачков используется сохраняющаяся форма уравнений Эйлера. Для течения без внешней теплопередачи и передачи работы (изоэнергетический поток) форма сохранения уравнения Эйлера в декартовой системе координат может быть записана как ${\frac {\partial {\mathbf {U} }}{\partial t}}+{\frac {\partial {\mathbf {F} }}{\partial x}}+{\frac {\partial {\mathbf {G} }}{\partial y}}+{\frac {\partial {\mathbf {H} }}{\partial z}}=0$ где векторы $U$ , $F$ , $G$ и $H$ определяются выражениями $\mathbf {U} ={\begin{bmatrix}\rho \\\rho u\\\rho v\\\rho w\\\rho e_{t}\\\end{bmatrix}},\quad \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}\rho u\\\rho u^{2}+p\\\rho uv\\\rho uw\\(\rho e_{t}+p)u\\\end{bmatrix}},\quad \mathbf {G} ={\begin{bmatrix}\rho v\\\rho vu\\\rho v^{2}+p\\\rho vw\\(\rho e_{t}+p)v\\\end{bmatrix}},\quad \mathbf {H} ={\begin{bmatrix}\rho w\\\rho wu\\\rho wv\\\rho w^{2}+p\\(\rho e_{t}+p)w\\\end{bmatrix}}$

где $e_{t}$ - полная энергия (внутренняя энергия + кинетическая энергия + потенциальная энергия) на единицу массы. То есть $e_{t}=e+{\frac {u^{2}+v^{2}+w^{2}}{2}}+gz$

Уравнения Эйлера можно интегрировать с любым из доступных методов улавливания ударов для получения решения.

Классические и современные методы шоковой фиксации

С исторической точки зрения методы регистрации шоков можно разделить на две общие категории: классические методы и современные методы регистрации шоков (также называемые схемами высокого разрешения). Современные методы регистрации скачков обычно смещены против ветра в отличие от классических симметричных или центральных дискретизаций. Схемы разностей со смещением против ветра пытаются дискретизировать гиперболические уравнения в частных производных, используя разность, основанную на направлении потока. С другой стороны, симметричные или центральные схемы не учитывают никакой информации о направлении распространения волн.

Независимо от используемой схемы учета скачков, устойчивый расчет при наличии ударных волн требует определенной численной диссипации, чтобы избежать образования нефизических числовых колебаний. В случае классических методов компенсации скачков числовые члены диссипации обычно линейны, и одна и та же величина равномерно применяется во всех точках сетки. Классические методы улавливания скачков показывают точные результаты только в случае гладких и слабых ударных решений, но когда в решении присутствуют сильные ударные волны, на разрывах могут возникать нелинейные неустойчивости и колебания. Современные методы подавления ударов обычно используют нелинейное численное рассеивание, при котором механизм обратной связи регулирует количество добавляемого искусственного рассеяния в соответствии с особенностями решения. В идеале искусственную численную диссипацию необходимо добавлять только вблизи скачков или других резких особенностей, а области плавного течения следует оставлять неизмененными. Эти схемы оказались устойчивыми и точными даже для задач, содержащих сильные ударные волны.

Некоторые из хорошо известных классических методов улавливания скачков включают метод МакКормака (использует схему дискретизации для численного решения гиперболических уравнений в частных производных), метод Лакса – Вендрофа (основанный на конечных разностях, использует численный метод для решения гиперболических уравнений в частных производных). уравнения в частных производных ) и метод луча–Варминга . Примеры современных схем подавления скачков включают схемы уменьшения общей вариации (TVD) более высокого порядка, впервые предложенные Хартеном , схему переноса с коррекцией потока, представленную Борисом и Буком, монотонные схемы для законов сохранения, ориентированные на восходящие потоки (MUSCL), основанные на подходе Годунова и введенный ван Лиром , различные по существу неколебательные схемы (ENO), предложенные Хартеном и др., и кусочно-параболический метод (PPM), предложенный Колеллой и Вудвордом. Другой важный класс схем высокого разрешения принадлежит приближенным решателям Римана, предложенным Роу и Ошером . Схемы, предложенные Джеймсоном и Бейкером, в которых линейные численные члены диссипации зависят от нелинейных функций переключения, занимают промежуточное положение между классическими и современными методами компенсации ударов.

Ссылки

Книги

Андерсон, доктор медицинских наук , «Современный сжимаемый поток с исторической точки зрения», McGraw-Hill (2004).
Хирш, К., «Численный расчет внутренних и внешних потоков», Vol. II, 2-е изд., Баттерворт-Хайнеманн (2007).
Лэйни, CB, «Вычислительная газовая динамика», Кембриджский университет. Пресс 1998).
ЛеВек, Р.Дж. , «Численные методы определения законов сохранения», Birkhauser-Verlag (1992).
Таннехилл Дж.К., Андерсон Д.А. и Плетчер Р.Х. «Вычислительная гидродинамика и теплопередача», 2-е изд., Тейлор и Фрэнсис (1997).
Торо, Э. Ф., «Решатели Римана и численные методы гидродинамики», 2-е изд., Springer-Verlag (1999).

Технические документы

Борис, Дж. П. и Бук, Д. Л., «Транспорт с коррекцией потока III. Алгоритмы FCT с минимальной ошибкой», J. Comput. Phys., 20 , 397–431 (1976).
Колелла П. и Вудворд П., «Кусочный параболический метод (PPM) для газодинамического моделирования», J. Comput. Phys., 54 , 174–201 (1984).
Годунов С.К. , "Разностная схема для численного расчета разрывного решения гиперболических уравнений", Матем. Сборник, 47 , 271–306 (1959).
Хартен, А. , "Схемы высокого разрешения для гиперболических законов сохранения", J. Comput. Phys., 49 , 357–293 (1983).
Хартен А., Энгквист Б. , Ошер С. и Чакраварти С.Р. «По существу неколебательные схемы с одинаковой точностью высокого порядка III», J. Comput. Phys., 71 , 231–303 (1987).
Джеймсон А. и Бейкер Т., «Решение уравнений Эйлера для сложных конфигураций», документ AIAA, 83–1929 (1983).
МакКормак, Р.В., «Эффект вязкости при образовании кратеров от удара на гиперскорости», документ AIAA, 69–354 (1969).
Роу, PL , « Приближенные решатели Римана, векторы параметров и разностные схемы », J. Comput. Физ. 43 , 357–372 (1981).
Шу, К.-В. , Ошер С., «Эффективная реализация практически неколебательных схем фиксации ударов», J. Comput. Phys., 77 , 439–471 (1988).
ван Леер, Б. , «К окончательной консервативной разностной схеме V; продолжение второго порядка продолжения Годунова», J. Comput. Phys., 32 , 101–136, (1979).