Нелинейные приливы

Нелинейные приливы порождаются гидродинамическими искажениями приливов . Приливная волна называется нелинейной, если ее форма отличается от чистой синусоидальной волны. С математической точки зрения, волна обязана своей нелинейностью из-за нелинейной адвекции и трения в основных уравнениях. Они становятся более важными в мелководных регионах, например в устьях рек . Нелинейные приливы изучаются в области прибрежной морфодинамики , береговой инженерии и физической океанографии . Нелинейность приливов имеет важные последствия для переноса наносов .

Рамки

С математической точки зрения, нелинейность приливов возникает из-за нелинейных членов, присутствующих в уравнениях Навье-Стокса . Для анализа приливов и приливов более практично рассматривать усредненные по глубине уравнения мелкой воды : $${\frac {\partial \eta }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}[(D_{0}+\eta )u]+{\frac {\partial }{\partial y}}[(D_{0}+\eta )v]=0,$$$${\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}=-g{\frac {\partial \eta }{\partial x}}-{\frac {\tau _{b,x}}{\rho (D_{0}+\eta )}},$$$${\frac {\partial v}{\partial t}}+u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}=-g{\frac {\partial \eta }{\partial y}}-{\frac {\tau _{b,y}}{\rho (D_{0}+\eta )}}.$$Здесь, $u$ и $v$ являются зональными ( $x$) и меридиональный ( $y$) скорость потока соответственно, $g$ - гравитационное ускорение , $\rho$ плотность, $\tau _{b,x}$ и $\tau _{b,y}$ являются компонентами нижнего сопротивления в $x$- и $y$-направление соответственно, $D_{0}$ средняя глубина воды и $\eta$ – высота водной поверхности относительно среднего уровня воды. Первое из трех уравнений называется уравнением неразрывности, а остальные представляют собой баланс импульса в $x$- и $y$-направление соответственно.

Эти уравнения следуют из предположений, что вода несжимаема, что вода не пересекает дно или поверхность и что изменения давления над поверхностью незначительны. Последнее позволяет заменить члены градиента давления в стандартных уравнениях Навье-Стокса градиентами в $\eta$. Кроме того, в приведенных выше уравнениях опущены члены Кориолиса и молекулярного смешивания , поскольку они относительно малы во временном и пространственном масштабе приливов на мелководье.

В дидактических целях оставшаяся часть этой статьи рассматривает только одномерный поток с распространяющейся приливной волной в положительном направлении. $x$-направление. Это означает, что $v=0$ ноль и все качества однородны в $y$-направление. Поэтому все $\partial /\partial y$ члены равны нулю, а последнее из приведенных выше уравнений является произвольным.

Нелинейные вклады

В этом одномерном случае нелинейные приливы вызываются тремя нелинейными членами. То есть, член дивергенции $\partial (\eta u)/\partial x$, адвекции член $u\;\partial u/\partial x$, и трения член $\tau _{b}/(D_{0}+\eta )$. Последняя нелинейна в двух отношениях. Во-первых, потому что $\tau _{b}$ (почти) квадратичен по $u$ . Во-вторых, из-за $\eta$ в знаменателе. Отдельно анализируется влияние члена адвекции и дивергенции, а также члена трения. бассейна Кроме того, нелинейные эффекты топографии , такие как приливная зона и кривизна потока, могут вызывать определенные виды нелинейности. Кроме того, средний расход, например, за счет речного стока, может изменить последствия процессов приливной деформации.

Гармонический анализ

Приливную волну часто можно описать как сумму гармонических волн . Основной прилив (1-я гармоника) относится к волне, вызванной приливной силой, например суточным или полусуточным приливом . Последнюю часто называют $M_{2}$ прилив и будет использоваться в оставшейся части этой статьи как основной прилив. Высшие гармоники приливного сигнала генерируются нелинейными эффектами. Таким образом, гармонический анализ используется как инструмент для понимания эффекта нелинейной деформации. Можно сказать, что деформация рассеивает энергию от главного прилива к его высшим гармоникам. Для единообразия высшие гармоники, имеющие частоту, кратную четному или нечетному кратному основному приливу, могут называться четными или нечетными высшими гармониками соответственно.

Дивергенция и адвекция

Чтобы понять нелинейность, вызванную дивергенцией , можно рассмотреть скорость распространения волны на мелкой воде. Если пренебречь трением, скорость волны определяется как:

$$c_{0}\approx {\sqrt {g(D_{0}+\eta )}}$$

Сравнение низкого уровня воды (LW) и высокого уровня воды (HW) ( $\eta _{LW}<\eta _{HW}$), сквозное (LW) волны на мелководье движется медленнее, чем гребень (HW). В результате гребень «догоняет» впадину и приливная волна становится асимметричной.

Чтобы понять нелинейность, вызванную адвекцией, можно рассмотреть амплитуду приливного течения. Если пренебречь трением, то амплитуда приливного течения определяется как:

$$U_{0}\approx c_{0}{\frac {\eta }{D_{0}}}$$

Когда диапазон приливов не мал по сравнению с глубиной воды, т.е. $\eta /D_{0}$ значительна, скорость потока $u$ не является незначительным по отношению к $c_{0}$. Таким образом, скорость распространения волны на гребне равна $c_{0}+u$ в то время как во впадине скорость волны равна $c_{0}-u$. Подобно деформации, вызванной дивергенцией, это приводит к тому, что гребень «догоняет» впадину, так что приливная волна становится асимметричной.

Как для нелинейной дивергенции, так и для члена адвекции деформация асимметрична. Это означает, что генерируются еще более высокие гармоники, асимметричные относительно узла главного прилива.

Математический анализ

Линеаризованные уравнения мелкой воды основаны на предположении, что амплитуда колебаний уровня моря намного меньше общей глубины. Это предположение не обязательно справедливо в мелководных регионах. Если пренебречь трением, нелинейные одномерные уравнения мелкой воды будут выглядеть следующим образом: $${\frac {\partial \eta }{\partial t}}+\underbrace {u{\frac {\partial \eta }{\partial x}}} _{i}+(D_{0}+\underbrace {\eta ){\frac {\partial u}{\partial x}}} _{i}=0,$$$${\frac {\partial u}{\partial t}}+\underbrace {u{\frac {\partial u}{\partial x}}} _{ii}=-g{\frac {\partial \eta }{\partial x}}.$$Здесь $D_{0}$ – невозмущенная глубина воды, которая считается постоянной. Эти уравнения содержат три нелинейных члена, два из которых возникают из-за потока массы в уравнении неразрывности (обозначаются индексом $i$), а один возникает из-за адвекции, включенной в уравнение импульса (обозначается индексом $ii$). Для анализа этого набора нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных основные уравнения можно преобразовать в безразмерную форму . Это делается исходя из предположения, что $u$ и $\eta$ описываются распространяющейся водной волной с амплитудой уровня воды $H_{0}$, радианная частота $\omega$ и волновое число $k$. Исходя из этого, применяются следующие принципы трансформации: $$\left\{{\begin{array}{ll}x={\frac {1}{k}}{\tilde {x}}\\\eta =H_{0}{\tilde {\eta }}\\t={\frac {1}{\omega }}{\tilde {t}}\\u=H_{0}{\sqrt {\frac {g}{D_{0}}}}{\tilde {u}}\end{array}}\right.$$Безразмерные переменные, обозначаемые тильдами, умножаются на соответствующий масштаб длины, времени или скорости размерной переменной. Подставив безразмерные переменные, основные уравнения выглядят следующим образом: $${\frac {\partial {\tilde {\eta }}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {H_{0}}{D_{0}}}{\tilde {u}}{\frac {\partial {\tilde {\eta }}}{\partial {\tilde {x}}}}+(1+{\frac {H_{0}}{D_{0}}}{\tilde {\eta }}){\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial {\tilde {x}}}}=0$$$${\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {H_{0}}{D_{0}}}{\tilde {u}}{\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial {\tilde {x}}}}=-{\frac {\partial {\tilde {\eta }}}{\partial {\tilde {x}}}}$$Обезразмеривание показывает, что нелинейные члены очень малы, если средняя глубина воды намного больше, чем изменения уровня воды, т.е. ${\textstyle {\frac {H_{0}}{D_{0}}}}$ мал. В случае, если $H_{0}/D_{0}<<1$, анализ линейных возмущений для дальнейшего анализа этого набора уравнений можно использовать . Этот анализ предполагает небольшие возмущения вокруг среднего состояния ${\mathcal {O}}(1)$:
$$\left\{{\begin{array}{ll}{\tilde {\eta }}={\tilde {\eta }}_{0}+\epsilon {\tilde {\eta }}_{1}+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{2})\\{\tilde {u}}={\tilde {u}}_{0}+\epsilon {\tilde {u}}_{1}+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{2})\end{array}}\right.$$
Здесь $\epsilon =H_{0}/D_{0}$.

При вставке этого линейного ряда в безразмерные основные уравнения члены нулевого порядка определяются следующим образом: $${\frac {\partial {{\tilde {\eta }}_{0}}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {\partial {\tilde {u}}_{0}}{\partial {\tilde {x}}}}=0$$$${\frac {\partial {\tilde {u}}_{0}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {\partial {\tilde {\eta }}_{0}}{\partial {\tilde {x}}}}=0$$Это линейное волновое уравнение с простым решением вида:

$$\left\{{\begin{array}{ll}{\tilde {\eta }}_{0}({\tilde {x}},{\tilde {t}})=\cos({\tilde {x}}-{\tilde {t}})\\{\tilde {u}}_{0}({\tilde {x}},{\tilde {t}})=\cos({\tilde {x}}-{\tilde {t}})\end{array}}\right.$$
Сбор ${\mathcal {O}}(\epsilon )$ членов и разделить на $\epsilon$ дает:

$${\frac {\partial {\tilde {\eta }}_{1}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {\partial {\tilde {u}}_{1}}{\partial {\tilde {x}}}}+{\tilde {\eta }}_{0}{\frac {\partial {\tilde {u}}_{0}}{\partial {\tilde {x}}}}+{\tilde {u}}_{0}{\frac {\partial {\tilde {\eta }}_{0}}{\partial {\tilde {x}}}}=0$$$${\frac {\partial {\tilde {u}}_{1}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\tilde {u}}_{0}{\frac {\partial {\tilde {u}}_{0}}{\partial {\tilde {x}}}}=-{\frac {\partial {\tilde {\eta }}_{1}}{\partial {\tilde {x}}}}$$Остаются три нелинейных члена. Однако нелинейные члены включают только члены ${\mathcal {O}}(1)$, для которого известны решения. Следовательно, их можно решить. В дальнейшем, приняв ${\tilde {t}}$-производная верхней и вычитание ${\tilde {x}}$-производная нижнего уравнения дает одно волновое уравнение:

$${\frac {\partial ^{2}{\tilde {\eta }}_{1}}{\partial {\tilde {t}}^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}{\tilde {\eta }}_{1}}{\partial {\tilde {x}}^{2}}}=-3\cos(2({\tilde {x}}-{\tilde {t}}))$$

Это линейное неоднородное уравнение в частных производных подчиняется следующему решению в виде частиц:

$$\left\{{\begin{array}{ll}{\tilde {\eta }}_{1}({\tilde {x}},{\tilde {t}})=-{\frac {3}{4}}{\tilde {x}}\sin(2({\tilde {x}}-{\tilde {t}}))\\{\tilde {u}}_{1}({\tilde {x}},{\tilde {t}})=-{\frac {3}{4}}{\tilde {x}}\sin(2({\tilde {x}}-{\tilde {t}}))\end{array}}\right.$$

Возвращаясь к размерному решению возвышения морской поверхности:

$$\eta =H_{0}\cos(kx-\omega t)-{\frac {3}{4}}{\frac {H_{0}^{2}kx}{D_{0}}}\sin(2(kx-\omega t))$$

Анимация приливной деформации с помощью нелинейных условий адвекции. Верхняя панель показывает основной прилив, средняя панель — сгенерированную высшую гармонику, а нижняя панель — сумму двух вышеуказанных.

Это решение справедливо для возмущения первого порядка. Нелинейные члены ответственны за создание более высокого гармонического сигнала с двойной частотой основного прилива. Кроме того, член высшей гармоники масштабируется с $x$, $H_{0}/D_{0}$ и $k$. Следовательно, форма волны будет все больше и больше отклоняться от своей первоначальной формы при распространении в $x$-направление, для относительно большого диапазона приливов и для более коротких длин волн. При рассмотрении общего принципала $M2$ прилив , нелинейные члены в уравнении приводят к образованию $M_{4}$ гармонический. При рассмотрении высшего порядка $\epsilon$ В терминах можно также обнаружить высшие гармоники.

Трение

Член трения в уравнениях мелкой воды нелинейен как по скорости, так и по глубине воды.

Чтобы понять последнее, можно сделать вывод из $\tau _{b}/(D_{0}+\eta )$ Термин, согласно которому трение сильнее всего при более низких уровнях воды. Таким образом, гребень «догоняет» впадину, потому что он испытывает меньше трения, замедляющего его. Подобно нелинейности, вызванной дивергенцией и адвекцией, это вызывает асимметричную приливную волну.

Чтобы понять нелинейный эффект скорости, следует учитывать, что донное напряжение часто параметризуется квадратично: $$\tau _{b}=\rho C_{d}u|u|$$Здесь $C_{d}$ коэффициент сопротивления , который часто считается постоянным ( $C_{d}=0.0025$).

Дважды за приливный цикл, во время пика прилива и пика отлива. $|u|$ достигает максимума, . Однако признак $u|u|$ противоположно для этих двух моментов. При этом течение изменяется симметрично вокруг волнового узла. Это приводит к выводу, что эта нелинейность приводит к появлению нечетных высших гармоник, симметричных относительно узла главного прилива.

Математический анализ

Нелинейность по скорости

Параметризация $\tau _{b}$ содержит произведение вектора скорости на его величину. В фиксированном месте рассматривается основной прилив со скоростью течения:

$$u=U_{0}cos(\omega t)$$

Здесь, $U_{0}$ – амплитуда скорости потока и $\omega$ - угловая частота. Чтобы исследовать влияние донного трения на скорость, параметризацию трения можно преобразовать в ряд Фурье :

$$\tau _{b}=\rho C_{d}U_{0}^{2}\left({\frac {2}{\pi }}\cos(\omega t)+{\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{a}{\frac {\left(-1\right)^{n}}{1-4n^{2}}}(\cos \left(\omega t(2n+1))+\cos(\omega t(2n-1))\right)\right)=\rho C_{d}U_{0}^{2}({\frac {8}{3\pi }}cos(\omega t)+{\frac {8}{15\pi }}cos(3\omega t)+...)$$

Это показывает, что $\tau _{b}$ можно описать как ряд Фурье, содержащий только нечетные кратные главного прилива с частотой $\omega _{2}$. Следовательно, сила трения вызывает диссипацию энергии главного прилива в сторону высших гармоник. В двумерном случае возможны и четные гармоники. Приведенное выше уравнение для $\tau _{b}$ означает, что величина трения пропорциональна амплитуде скорости $U_{0}^{2}$. Это означает, что более сильные течения испытывают большее трение и, следовательно, большую приливную деформацию. На мелководье требуются более сильные течения, чтобы приспособиться к изменению высоты морской поверхности, что приводит к большему рассеиванию энергии на нечетные высшие гармоники основного прилива.

Нелинейность по глубине воды

Хотя это и не очень точно, можно использовать линейную параметризацию донного напряжения:

$\tau _{b}=\rho \;{\hat {r}}u$

Здесь ${\hat {r}}$ - это коэффициент трения, который представляет собой первую компоненту Фурье более точной квадратичной параметризации. Если пренебречь адвекционным членом и использовать линейную параметризацию в термине трения, безразмерные основные уравнения гласят: $${\frac {\partial {\tilde {\eta }}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial {\tilde {x}}}}=0$$$${\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial {\tilde {t}}}}=-{\frac {\partial {\tilde {\eta }}}{\partial {\tilde {x}}}}-{\frac {{\hat {r}}{\tilde {u}}}{\omega D_{0}(1+{\frac {H_{0}}{D_{0}}}{\tilde {\eta }})}}$$Несмотря на линейную параметризацию донного напряжения, член трения остается нелинейным. Это связано с зависимостью глубины воды от времени. $D_{0}+\eta$ в его знаменателе. Подобно анализу члена нелинейной адвекции, анализ линейных возмущений можно использовать для анализа нелинейности трения. ${\mathcal {O}}(1)$ уравнения задаются как: $${\frac {\partial {\eta _{0}}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {\partial u_{0}}{\partial {\tilde {x}}}}=0$$$${\frac {\partial u_{0}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {\partial \eta _{0}}{\partial {\tilde {x}}}}=-{\frac {{\hat {r}}u_{0}}{\omega D_{0}}}$$Принимая ${\tilde {t}}$-производная верхнего уравнения и вычитание ${\tilde {x}}$-производная нижнего уравнения, $u_{0}$ термины можно исключить. Вызов ${\textstyle {\frac {\hat {r}}{\omega D_{0}}}=\lambda }$, это дает одно уравнение в частных производных второго порядка в $\eta _{0}$: $$-\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial {\tilde {t}}^{2}}}+\lambda {\frac {\partial }{\partial {\tilde {t}}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial {\tilde {x}}^{2}}}\right)\eta _{0}=0$$Для решения этой задачи необходимы граничные условия. Их можно сформулировать как $$\left\{{\begin{array}{ll}\eta _{0}(0,{\tilde {t}})=\cos({\tilde {t}})\\{\frac {\partial \eta _{0}}{\partial {\tilde {x}}}}(kL,{\tilde {t}})=0\end{array}}\right.$$Граничные условия формулируются на основе чистой косинусоидальной волны, входящей в область длиной $L$. Граница ( $x=L$) этой области непроницаем для воды. Для решения уравнения в частных производных разделения переменных можно использовать метод . Предполагается, что ${\textstyle \eta _{0}({\tilde {x}},{\tilde {t}})={\mathfrak {Re}}({\hat {\eta }}_{0}({\tilde {x}})e^{-it})}$. Решение, которое подчиняется уравнению в частных производных и граничным условиям, гласит: $$\left\{{\begin{array}{ll}{\hat {\eta }}_{0}({\tilde {x}})={\frac {\cos(\mu ({\tilde {x}}-kL))}{\cos({\mu kL})}}\\{\hat {u}}_{0}({\tilde {x}})=-i{\frac {\sin(\mu ({\tilde {x}}-kL))}{\cos({\mu kL})}}\end{array}}\right.$$Здесь, $\mu ={\sqrt {1+i\lambda }}$.

Подобным образом, ${\mathcal {O}}(\epsilon )$ уравнения можно определить: $${\frac {\partial {\eta _{1}}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial {\tilde {x}}}}=0$$$${\frac {\partial u_{1}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {\partial \eta _{1}}{\partial {\tilde {x}}}}+{\frac {{\hat {r}}u_{1}}{\omega D_{0}}}={\frac {{\hat {r}}u_{0}\eta _{0}}{\omega D_{0}}}$$Здесь член трения был преобразован в ряд Тейлора , в результате чего появились два члена трения, один из которых является нелинейным. Член нелинейного трения представляет собой произведение двух ${\mathcal {O}}(1)$ термины, которые демонстрируют волнообразное поведение. Реальные части $\eta _{0}({\tilde {x}},{\tilde {t}})$ и $u_{0}({\tilde {x}},{\tilde {t}})$ даны как: $$\eta _{0}({\tilde {x}},{\tilde {t}})={\frac {1}{2}}{\hat {\eta }}_{0}e^{-it}+{\frac {1}{2}}{\hat {\eta }}_{0}^{*}e^{it}$$$$u_{0}({\tilde {x}},{\tilde {t}})={\frac {1}{2}}{\hat {u}}_{0}e^{-it}+{\frac {1}{2}}{\hat {u}}_{0}^{*}e^{it}$$Здесь $*$ обозначают комплексно-сопряженное. Если подставить эти тождества в термин нелинейного трения, получится:

$${\frac {{\hat {r}}u_{0}\eta _{0}}{\omega D_{0}}}={\frac {\hat {r}}{4\omega D_{0}}}({\hat {u}}_{0}^{*}{\hat {\eta }}_{0}+{\hat {u}}_{0}{\hat {\eta }}_{0}^{*})+{\frac {\hat {r}}{4\omega D_{0}}}({\hat {u}}_{0}{\hat {\eta }}_{0}e^{-2it}+{\hat {u}}_{0}^{*}{\hat {\eta }}_{0}^{*}e^{2it})$$Приведенное выше уравнение предполагает, что раствор частиц первого порядка подчиняется раствору частиц с независимым от времени остаточным потоком. $M_{0}$ (величины обозначены индексом $0$) и более высокую гармонику с двойной частотой основного прилива, например, если основной прилив имеет $M_{2}$ частоте, двойная линейность трения создаст $M_{4}$ компонент. Остаточная компонента потока представляет собой дрейф Стокса . Трение вызывает более высокие скорости потока в высокой волне, чем в маловодной, поэтому частицы воды перемещаются в направлении распространения волны. Если при анализе возмущений учитывать члены более высокого порядка, будут генерироваться даже более высокие гармоники.

Приливная зона

Схематическое изображение поперечных сечений эстуария и соответствующей приливной асимметрии. В устье (i) изменение глубины русла, $h$, доминирует над изменением ширины устья, $b$. Следовательно, скорость волны прилива (HT) больше, чем скорость волны отлива (LT). Это вызывает приливную асимметрию с относительно быстрым ростом прилива. В устье (ii) изменение ширины устья, $b$, доминирует над изменением глубины канала, $h$. Следовательно, скорость волны прилива меньше, чем скорость волны отлива. Это вызывает приливную асимметрию с относительно медленным ростом прилива.

В мелководном устье нелинейные условия играют важную роль и могут вызвать приливную асимметрию. Это можно интуитивно понять, если учесть, что если глубина воды меньше, трение сильнее замедляет приливную волну. Для эстуария с небольшой приливной зоной (случай i) средняя глубина воды обычно увеличивается во время прилива. Следовательно, гребень приливной волны испытывает меньшее трение, замедляющее ее, и она догоняет впадину. Это вызывает приливную асимметрию с относительно быстрым ростом прилива. Для эстуария с большой приливной зоной (случай ii) глубина воды в главном русле также увеличивается во время прилива. Однако из-за приливной зоны средняя глубина воды по ширине обычно уменьшается. Таким образом, впадина приливной волны испытывает относительно небольшое трение, замедляющее ее, и она догоняет гребень. Это вызывает приливную асимметрию с относительно медленным ростом прилива. Для устья, где преобладает трение, фаза паводка соответствует приливу, а фаза отлива соответствует падающему приливу. Следовательно, случаи (i) и (ii) соответствуют приливу и отливу с преобладанием соответственно.

Чтобы найти математическое выражение для определения типа асимметрии в устье, необходимо учитывать скорость волн. После анализа нелинейных возмущений зависящая от времени скорость волны для сходящегося эстуария определяется как:

$$c(t)\sim {\frac {h(t)}{b(t)^{2}}}\approx {\frac {\langle h\rangle [1+(\eta /H_{0})(H_{0}/\langle h\rangle )]}{\langle b\rangle ^{1/2}[1+(\eta /H_{0})(\Delta b/\langle b\rangle )]^{1/2}}}$$

С $h(t)$ глубина канала, $b(t)$ ширину устья, а правая часть — просто разложение этих величин на их приливные средние значения (обозначим через $\langle \rangle$) и их отклонения от него. Используя разложение Тейлора первого порядка, это можно упростить до:

$$c\sim {\frac {\langle h\rangle }{\langle b\rangle ^{1/2}}}[1+\gamma (\eta /H_{0})]$$

Здесь:

$$\gamma ={\frac {H_{0}}{\langle h\rangle }}-{\frac {1}{2}}{\frac {\Delta b}{\langle b\rangle }}$$

Этот параметр представляет приливную асимметрию. Обсуждаемый случай (i), т.е. быстрый прилив, соответствует $\gamma >0$, а случай (ii), т.е. медленный прилив, соответствует $\gamma <0$. Нелинейное численное моделирование Фридрихса и Обри воспроизвести аналогичные отношения для $\gamma$.

Кривизна потока

Схематический вид сверху потока воды вокруг изогнутого побережья, вызванного приливной силой в направлении x. Левая сторона берега выпуклая, правая — вогнутая. Сплошные стрелки представляют линии потока воды, а пунктирные стрелки представляют силу градиента давления.

Рассмотрим приливный поток, вызванный приливной силой в направлении x, как показано на рисунке. Вдали от берега течение будет только в направлении x. Поскольку у побережья вода не может течь через берег, линии тока параллельны берегу. Поэтому течение огибает побережье. Центростремительная сила , учитывающая это изменение баланса импульса, представляет собой градиент давления, перпендикулярный линии тока. Это вызвано градиентом высоты уровня моря. Аналоги силы тяжести, удерживающей планеты на их орбитах, градиент высоты уровня моря для кривизны обтекаемой линии с радиусом. $r$ дается как:

$$g{\frac {\partial \eta }{\partial r}}={\frac {u^{2}}{r}}$$

Для выпуклого берега это соответствует уменьшению высоты уровня воды при приближении к берегу. Для вогнутого берега все наоборот: высота уровня моря увеличивается по мере приближения к берегу. Эта картина та же самая, когда прилив меняет течение. Таким образом, можно обнаружить, что кривизна потока понижает или повышает высоту уровня воды дважды за приливный цикл. Следовательно, он добавляет приливную составляющую с частотой, вдвое превышающей частоту основного компонента. Эта высшая гармоника указывает на нелинейность, но это также наблюдается по квадратичному члену в приведенном выше выражении.

Средний расход

Средний поток, например, сток реки, может изменить нелинейные эффекты. Учитывая приток реки в устье, сток реки будет вызывать уменьшение скоростей паводкового стока и увеличение скоростей отливного стока. Поскольку трение квадратично пропорционально скорости потока, увеличение трения больше для скоростей приливного потока, чем уменьшение для скоростей паводкового потока. Следовательно, создается более высокая гармоника с удвоенной частотой основного прилива. Когда средний поток превышает амплитуду приливного течения, это не приведет к изменению направления потока. Таким образом, генерация нечетных высших гармоник из-за нелинейности трения будет уменьшена. Более того, увеличение среднего расхода воды может привести к увеличению средней глубины воды и, следовательно, снизить относительную значимость нелинейной деформации.

Пример: Устье Северна

Амплитуда уровня воды $M_{4}$ и $M_{6}$ гармоники, построенные против $M_{2}$ Амплитуда уровня воды в 2011 году на измерительной станции возле Эйвонмута.

Устье Северна относительно мелкое, а диапазон приливов и отливов относительно велик. Поэтому в этом устье заметна нелинейная приливная деформация. Используя данные GESLA [1] о высоте уровня воды на измерительной станции возле Эйвонмута, можно подтвердить наличие нелинейных приливов. Используя простой алгоритм гармонической аппроксимации со скользящим временным окном в 25 часов, можно определить амплитуду уровня воды различных приливных составляющих. В 2011 году это было сделано для $M_{2}$, $M_{4}$ и $M_{6}$ составляющие. На рисунке амплитуда уровня воды $M_{4}$ и $M_{6}$ гармоники, $H_{M4}$ и $H_{M6}$ соответственно, построены в зависимости от амплитуды уровня воды основного $M_{2}$ прилив, $H_{M2}$. Можно заметить, что высшие гармоники, порождаемые нелинейностью, существенны по отношению к основному приливу.

Корреляция между $H_{M2}$ и $H_{M4}$ выглядит несколько квадратичным. Эту квадратичную зависимость можно было ожидать на основе математического анализа в этой статье. Во-первых, анализ дивергенции и адвекции приводит к выражению, которое при фиксированном $x$, подразумевает:

$H_{M4}\propto H_{M2}^{2}$

Во-вторых, анализ нелинейности трения на глубине воды дает вторую высшую гармонику. Для математического анализа предполагалась линейная параметризация донного напряжения. Однако донное напряжение на самом деле масштабируется почти квадратично со скоростью потока. Это отражается в квадратичном соотношении между $H_{M2}$ и $H_{M4}$.

На графике для небольшого диапазона приливов корреляция между $H_{M2}$ и $H_{M6}$ примерно прямо пропорциональна. Эта связь между главным приливом и его третьей гармоникой следует из нелинейности трения по скорости, что отражено в полученном выражении. Для больших диапазонов приливов $H_{M6}$ начать уменьшаться. Это поведение остается неразрешенным теорией, рассмотренной в этой статье.

Транспортировка осадков

Деформация приливов может иметь существенное значение в переносе наносов . Чтобы проанализировать это, очевидно различать динамику взвешенных отложений и отложений донной нагрузки . Перенос взвешенных отложений (в одном измерении) обычно можно определить количественно как:

$$q_{s}=\int _{z_{b}+a_{r}}^{\eta }(uc-K_{b}{\frac {\partial c}{\partial z}})dz$$

Здесь $q_{s}$ - интегрированный по глубине поток наносов, $c$ концентрация осадка, $K_{b}$ - коэффициент горизонтальной диффузии и $a_{r}$ - эталонная высота над поверхностью $z_{b}$. Перенос пластовой нагрузки можно оценить с помощью следующего эвристического определения:

$$q_{b}=\beta u^{3}$$Здесь $\beta$ – коэффициент эрозии.

Скорость зонального потока можно представить в виде усеченного ряда Фурье . Если рассматривать приливный поток, состоящий только из $M_{2}$ и $M_{4}$ составляющих, ток в конкретном месте определяется как: $$u(t)=U_{M2}\cos(\omega _{M2}t-\phi _{M2})+U_{M4}\cos(\omega _{M4}t-\phi _{M4}).$$Описание локальной эволюции концентрации взвешенных отложений необходимо для получения выражения для усредненного приливно-отливного потока взвешенных отложений. Локальное изменение глубины интегральной концентрации взвеси ( $C=\int _{z_{b}+a_{r}}^{\eta }cdz$) регулируется: $${\frac {\partial C}{\partial t}}=\alpha u^{2}-{\frac {W_{s}^{2}}{K_{v}}}C$$

Здесь $W_{s}$ - скорость падения, $K_{v}$ - коэффициент вертикальной диффузии и $\alpha$ – коэффициент эрозии. Адвекция в этой модели не учитывается. Учитывая определение $u(t)$ и $C$, можно получить выражение для приливно-усредненного переноса дна и взвешенного груза: $$\langle q_{s}\rangle ={\frac {K_{v}\alpha }{W_{s}^{2}}}({\frac {1}{4}}U_{M2}^{2}U_{M4}\cos(2\phi _{M2}-\phi _{M4})({\frac {2}{1+a^{2}}}+{\frac {1}{1+4a^{2}}})+{\frac {a}{2}}U_{M2}^{2}U_{M4}\sin(2\phi _{M2}-\phi _{M4})({\frac {2}{1+a^{2}}}+{\frac {1}{1+4a^{2}}}))$$$$\langle q_{b}\rangle ={\frac {3\beta }{4}}U_{M2}^{2}U_{M4}\cos(2\phi _{M2}-\phi _{M4})$$Здесь ${\textstyle a={\frac {\omega _{M2}K_{v}^{2}}{W_{s}}}}$, отношение шкалы времени установления к шкале времени прилива. Два важных механизма можно выделить, используя определения $\langle q_{b}\rangle$ и $\langle q_{s}\rangle$. Эти два транспортных механизма будут обсуждены ниже.

Асимметрия скорости

Механизм асимметрии скорости основан на разнице максимальной скорости потока между пиком прилива и отлива . Количественная оценка этого механизма инкапсулирована в ${\textstyle \cos(2\phi _{M2}-\phi _{M4})}$ срок. Значение этого термина суммировано в таблице ниже:

$2\phi _{M2}-\phi _{M4}$	$\langle q_{s}\rangle _{va}$	$\langle q_{b}\rangle _{va}$
$\pm \;90^{\circ }$	0	0
$0^{\circ }\leq |2\phi _{M2}-\phi _{M2}|<90^{\circ }$	$>0$	$>0$
$90^{\circ }<|2\phi _{M2}-\phi _{M2}|\leq 180^{\circ }$	$<0$	$<0$

Асимметрия скорости и асимметрия продолжительности прилива по $M_{4}$ гармонический. Тип асимметрии и знак $\langle q\rangle$ определяется относительной разностью фаз $2\phi _{M2}-\phi _{M4}$

Следовательно, механизм асимметрии скорости вызывает чистый перенос, направленный на отлив, если абсолютное значение относительной разности фаз $|2\phi _{M2}-\phi _{M4}|>90^{\circ }$, в то время как это вызывает чистый поток, направленный на транспорт, если $|2\phi _{M2}-\phi _{M4}|<90^{\circ }$ . В последнем случае пиковые расходы паводков будут больше, чем пиковые отливы. Следовательно, осадки будут переноситься на большее расстояние в направлении паводка, создавая $\langle q_{s}\rangle >0$ и $\langle q_{b}\rangle >0$. Противоположное справедливо для $|2\phi _{M2}-\phi _{M4}|<90^{\circ }$.

Асимметрия продолжительности

Механизм асимметрии продолжительности также может вызывать приливно-усредненный перенос взвешенных грузов. Этот механизм учитывает только приливно-усредненный поток взвешенных отложений. Количественная оценка этого механизма инкапсулирована в ${\textstyle \sin(2\phi _{M2}-\phi _{M4})}$ термин, которого нет в $\langle q_{b}\rangle$ уравнение. Значение этого термина суммировано в таблице ниже:

$2\phi _{M2}-\phi _{M4}$	$\langle q_{s}\rangle _{da}$
$0^{\circ }$	0
$0^{\circ }<2\phi _{M2}-\phi _{M4}<180^{\circ }$	$>0$
$180^{\circ }<2\phi _{M2}-\phi _{M4}<360^{\circ }$	$<0$

Когда $0^{\circ }<2\phi _{M2}-\phi _{M4}<180^{\circ }$, время от пика прилива до пика отлива больше, чем время от пика прилива до пика паводка. Это приводит к тому, что в период от пика паводка до пика отлива может осаждаться больше наносов, следовательно, во время пика отлива будет взвешено меньше наносов, и будет чистый перенос в направлении паводка. Аналогичное, но противоположное объяснение справедливо и для $180^{\circ }<2\phi _{M2}-\phi _{M4}<360^{\circ }$. Этот механизм не влияет на перенос нагрузки слоя, поскольку этот механизм требует задержки осаждения частиц, т.е. частицам должно потребоваться время для осаждения, а концентрация постепенно адаптируется к скоростям потока.

См. также

• Приливный резонанс
• Приливная волна
• Волновая нелинейность
• Приливы в окраинных морях
• Транспортировка осадков