Функция Ванье

Функции Ванье димеров азота с тройной и одинарной связью в нитриде палладия.

Функции Ванье представляют собой полный набор ортогональных функций, используемых в физике твердого тела . Они были представлены Грегори Ванье в 1937 году. Функции Ванье представляют собой локализованные молекулярные орбитали кристаллических систем.

Функции Ванье для разных узлов решетки в кристалле ортогональны, что обеспечивает удобную основу для расширения электронных состояний в определенных режимах. Функции Ванье нашли широкое применение, например, при анализе сил связи, действующих на электроны.

Определение

Пример локализованной функции Ванье титана в титанате бария (BaTiO3)

Хотя, как и локализованные молекулярные орбитали , функции Ванье можно выбирать разными способами: оригинал, Простейшее и наиболее распространенное определение в физике твердого тела следующее. Выберем одну зону в идеальном кристалле и обозначим ее блоховские состояния через

$\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )$

где u _k ( r ) имеет ту же периодичность, что и кристалл. Тогда функции Ванье определяются формулой

$\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {k} }e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )$,

где

• R существует одна функция Ванье — любой вектор решетки (т. е. для каждого вектора решетки Браве );
• N — число примитивных ячеек в кристалле;
• В сумму по k входят все значения k в зоне Бриллюэна (или любой другой примитивной ячейке обратной решетки ), согласующиеся с периодическими граничными условиями на кристалле. Сюда входят N различных значений k , равномерно распределенных по зоне Бриллюэна. Поскольку N обычно очень велико, сумму можно записать в виде целого числа по правилу замены:

$\sum _{\mathbf {k} }\longrightarrow {\frac {N}{\Omega }}\int _{\text{BZ}}d^{3}\mathbf {k}$

где «BZ» обозначает зону Бриллюэна , имеющую объем Ω.

Характеристики

На основе этого определения можно доказать выполнение следующих свойств:

• Для любого вектора решетки R '

$\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )=\phi _{\mathbf {R} +\mathbf {R} '}(\mathbf {r} +\mathbf {R} ')$

Другими словами, функция Ванье зависит только от величины ( r − R ). В результате эти функции часто записываются в альтернативных обозначениях

$\phi (\mathbf {r} -\mathbf {R} ):=\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )$

• Функции Блоха можно записать через функции Ванье следующим образом:

$\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {R} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )$,

где сумма ведется по каждому вектору решетки R в кристалле.

• Набор волновых функций $\phi _{\mathbf {R} }$ является ортонормированным базисом рассматриваемой зоны.

${\begin{aligned}\int _{\text{crystal}}\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )^{*}\phi _{\mathbf {R'} }(\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} &={\frac {1}{N}}\sum _{\mathbf {k,k'} }\int _{\text{crystal}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )^{*}e^{-i\mathbf {k'} \cdot \mathbf {R'} }\psi _{\mathbf {k'} }(\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} \\&={\frac {1}{N}}\sum _{\mathbf {k,k'} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }e^{-i\mathbf {k'} \cdot \mathbf {R'} }\delta _{\mathbf {k,k'} }\\&={\frac {1}{N}}\sum _{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {(R-R')} }\\&=\delta _{\mathbf {R,R'} }\end{aligned}}$

Функции Ванье также были расширены до почти периодических потенциалов.

Локализация

Состояния Блоха ψ _k ( r ) определяются как собственные функции конкретного гамильтониана и, следовательно, определяются только с точностью до общей фазы. Применяя фазовое преобразование e ^{я θ ( k )} к функциям ψ _k ( r ), для любой (вещественной) функции θ ( k ) можно прийти к одинаково правильному выбору. Хотя это изменение не имеет последствий для свойств состояний Блоха, соответствующие функции Ванье в результате этого преобразования существенно изменяются.

Поэтому мы используем свободу выбора фаз состояний Блоха, чтобы получить наиболее удобный набор функций Ванье. На практике это обычно максимально локализованное множество, в котором функция Ванье φ _R локализована вокруг точки R и быстро стремится к нулю при удалении от R . Для одномерного случая это было доказано Коном. что всегда существует единственный выбор, который дает эти свойства (с учетом определенных симметрий). Следовательно, это применимо к любому отделимому потенциалу в более высоких измерениях; общие условия не установлены и являются предметом текущих исследований.

Ванье . Недавно была предложена схема локализации в стиле Пипека-Мези для получения функций В отличие от максимально локализованных функций Ванье (которые представляют собой применение схемы Фостера-Бойса к кристаллическим системам), функции Ванье Пипека-Мезея не смешивают σ и π-орбитали.

Точные результаты

Существование экспоненциально локализованных функций Ванье в изоляторах было математически доказано в 2006 году.

Современная теория поляризации

Функции Ванье в последнее время нашли применение при описании поляризации в кристаллах, например, сегнетоэлектриках . Современную теорию поляризации разработали Рафаэле Реста и Дэвид Вандербильт. См., например, Бергхольд, и Нахмансон, и введение Вандербильта в Power Point. Поляризацию на элементарную ячейку твердого тела можно определить как дипольный момент плотности заряда Ванье:

$\mathbf {p_{c}} =-e\sum _{n}\int \ d^{3}r\,\,\mathbf {r} |W_{n}(\mathbf {r} )|^{2}\ ,$

где суммирование ведется по занятым зонам, а W _n — функция Ванье, локализованная в ячейке для зоны n . Изменение фазы поляризации в ходе непрерывного физического процесса является производной поляризации по времени и также может быть сформулировано в терминах Берри занятых блоховских состояний.

Интерполяция Ванье

Функции Ванье часто используются для интерполяции зонных структур, рассчитанных ab initio на грубой сетке из k -точек, до любой произвольной k -точки. Это особенно полезно для вычисления интегралов зоны Бриллюэна на плотных сетках и поиска точек Вейля, а также для получения производных в k -пространстве. Этот подход по духу подобен приближению сильной связи , но, напротив, позволяет точно описать полосы в определенном диапазоне энергий. Для спектральных свойств были выведены схемы интерполяции Ванье. аномальная холловская проводимость , орбитальная намагниченность , термоэлектрические и электронные транспортные свойства, гиротропные эффекты , сдвиг тока , спин-холловская проводимость и другие эффекты.

См. также

• Орбитальная намагниченность

Дальнейшее чтение

• Карин М Рабе ; Жан-Марк Трисконе; Чарльз Ан (2007). Физика сегнетоэлектриков: современный взгляд . Спрингер. п. 2. ISBN  978-3-540-34590-9 .

Внешние ссылки

• Ванье Грегори Х (1937). «Структура уровней электронного возбуждения в диэлектрических кристаллах». Физический обзор . 52 (3): 191–197. Бибкод : 1937PhRv...52..191W . дои : 10.1103/PhysRev.52.191 .
• Компьютерный код Wannier90, вычисляющий максимально локализованные функции Ванье
• Код Ванье Транспорта, который вычисляет максимально локализованные функции Ванье, подходящие для приложений квантового транспорта.
• WannierTools: пакет программного обеспечения с открытым исходным кодом для новых топологических материалов.
• WannierBerri — код Python для интерполяции Ванье и вычислений с жесткой привязкой.

См. также

• Теорема Блоха
• Угол Ханнея
• Геометрическая фаза