Кригинг

Пример одномерной интерполяции данных методом кригинга с достоверными интервалами . Квадраты указывают расположение данных. Интерполяция кригинга, показанная красным, проводится по средним значениям нормально распределенных вероятных интервалов, показанных серым цветом. Пунктирная кривая показывает гладкий сплайн, но значительно отклоняющийся от ожидаемых значений, полученных с помощью этих средств.

В статистике , первоначально в геостатистике , кригинг или кригинг , ( / ˈk r iː ɡ ɪ ŋ / ) , также известный как регрессия гауссовского процесса , представляет собой метод интерполяции, основанный на гауссовском процессе, управляемом предшествующими ковариациями . При соответствующих априорных предположениях кригинг дает лучший линейный несмещенный прогноз (BLUP) в невыбранных местоположениях. Методы интерполяции, основанные на других критериях, таких как гладкость (например, сглаживающий сплайн ), могут не дать BLUP. Метод широко используется в области пространственного анализа и компьютерных экспериментов . Этот метод также известен как предсказание Винера-Колмогорова в честь Норберта Винера и Андрея Колмогорова .

Теоретическая основа метода была разработана французским математиком Жоржем Матероном в 1960 году на основе магистерской диссертации Дэни Г. Криге , новатора в составлении графиков взвешенных по расстоянию средних содержаний золота в Витватерсранд рифовом комплексе в Южной Африке . Криге стремился оценить наиболее вероятное распределение золота на основе образцов из нескольких скважин. Английский глагол — krige , а наиболее распространенное существительное — kriging . это слово иногда пишется с заглавной буквы как кригинг В литературе .

Несмотря на то, что кригинг требует больших вычислительных ресурсов в своей базовой формулировке, его можно масштабировать для решения более крупных задач, используя различные методы аппроксимации .

Основные принципы

Связанные термины и методы

Кригинг предсказывает значение функции в данной точке, вычисляя средневзвешенное значение известных значений функции в окрестности точки. Метод тесно связан с регрессионным анализом . Обе теории выводят лучшую линейную несмещенную оценку, основанную на предположениях о ковариациях , используют теорему Гаусса-Маркова для доказательства независимости оценки и ошибки и используют очень похожие формулы. Тем не менее, они полезны в разных средах: кригинг предназначен для оценки одной реализации случайного поля, а модели регрессии основаны на множественных наблюдениях за многомерным набором данных.

Оценку кригинга также можно рассматривать как сплайн в гильбертовом пространстве с воспроизводящим ядром , где воспроизводящее ядро ​​задается ковариационной функцией. Отличие от классического подхода кригинга заключается в интерпретации: в то время как сплайн мотивируется интерполяцией минимальной нормы, основанной на структуре гильбертова пространства, кригинг мотивируется ожидаемой квадратичной ошибкой прогнозирования, основанной на стохастической модели.

Кригинг с полиномиальными поверхностями тренда математически идентичен обобщенного метода наименьших квадратов аппроксимации полиномиальной кривой .

Кригинг также можно понимать как форму байесовской оптимизации . Кригинг начинается с предварительного распределения по функциям . Этот априор принимает форму гауссова процесса: $N$ выборки из функции будут нормально распределены , где ковариация между любыми двумя выборками представляет собой ковариационную функцию (или ядро ) гауссовского процесса, оцениваемую в пространственном расположении двух точек. . Затем наблюдается набор значений, каждое значение связано с пространственным местоположением Теперь новое значение можно предсказать в любом новом пространственном местоположении, объединив гауссову априорную функцию с гауссовой функцией правдоподобия для каждого из наблюдаемых значений. Результирующее апостериорное распределение также является гауссовым, со средним значением и ковариацией, которые можно просто вычислить на основе наблюдаемых значений, их дисперсии и матрицы ядра, полученной из априорного.

Геостатистический оценщик

В геостатистических моделях выборочные данные интерпретируются как результат случайного процесса. Тот факт, что эти модели включают неопределенность в свою концептуализацию, не означает, что явление – лес, водоносный горизонт, месторождение полезных ископаемых – возникло в результате случайного процесса, но, скорее, позволяет построить методологическую основу для пространственного вывода количества в ненаблюдаемых местах и ​​количественно оценить неопределенность, связанную с оценщиком.

В контексте этой модели стохастический процесс — это просто способ приблизиться к набору данных, собранных из выборок. Первым шагом в геостатистической модуляции является создание случайного процесса, который лучше всего описывает набор наблюдаемых данных.

Значение из местоположения $x_{1}$ (родовое обозначение набора географических координат ) интерпретируется как реализация $z(x_{1})$ случайной величины $Z(x_{1})$. В космосе $A$, где набор образцов рассредоточен, существуют $N$ реализации случайных величин $Z(x_{1}),Z(x_{2}),\ldots ,Z(x_{N})$, коррелирующие между собой.

Совокупность случайных величин представляет собой случайную функцию, для которой известна только одна реализация – множество $z(x_{i})$ наблюдаемых данных. Имея только одну реализацию каждой случайной величины, теоретически невозможно определить какой-либо статистический параметр отдельных переменных или функции. Предлагаемое решение в геостатистическом формализме состоит в допущении различных степеней стационарности случайной функции, чтобы сделать возможным вывод некоторых статистических значений.

Например, если предположить, исходя из однородности образцов по площади $A$ где переменная распределена, гипотеза о том, что первый момент является стационарным (т.е. все случайные величины имеют одинаковое среднее значение), тогда предполагается, что среднее значение можно оценить с помощью среднего арифметического выборочных значений.

Гипотеза стационарности, связанная со вторым моментом, определяется следующим образом: корреляция между двумя случайными величинами зависит исключительно от пространственного расстояния между ними и не зависит от их местоположения. Таким образом, если $\mathbf {h} =x_{2}-x_{1}$ и $|\mathbf {h} |=h$, затем:

$C{\big (}Z(x_{1}),Z(x_{2}){\big )}=C{\big (}Z(x_{i}),Z(x_{i}+\mathbf {h} ){\big )}=C(h),$

$\gamma {\big (}Z(x_{1}),Z(x_{2}){\big )}=\gamma {\big (}Z(x_{i}),Z(x_{i}+\mathbf {h} ){\big )}=\gamma (h).$

Для простоты определим $C(x_{i},x_{j})=C{\big (}Z(x_{i}),Z(x_{j}){\big )}$ и $\gamma (x_{i},x_{j})=\gamma {\big (}Z(x_{i}),Z(x_{j}){\big )}$.

Эта гипотеза позволяет вывести эти две меры – вариограмму и ковариограмму :

$\gamma (h)={\frac {1}{2|N(h)|}}\sum _{(i,j)\in N(h)}{\big (}Z(x_{i})-Z(x_{j}){\big )}^{2},$

$C(h)={\frac {1}{|N(h)|}}\sum _{(i,j)\in N(h)}{\big (}Z(x_{i})-m(h){\big )}{\big (}Z(x_{j})-m(h){\big )},$

где:

$m(h)={\frac {1}{2|N(h)|}}\sum _{(i,j)\in N(h)}Z(x_{i})+Z(x_{j})$;

$N(h)$ обозначает набор пар наблюдений $i,\;j$ такой, что $|x_{i}-x_{j}|=h$, и $|N(h)|$ — количество пар в наборе.

В этом наборе $(i,\;j)$ и $(j,\;i)$ обозначают один и тот же элемент. Обычно «приблизительное расстояние» $h$ используется, реализуется с использованием определенного допуска.

Линейная оценка

Пространственный вывод или оценка величины $Z\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$, в незаметном месте $x_{0}$, рассчитывается из линейной комбинации наблюдаемых значений $z_{i}=Z(x_{i})$ и веса $w_{i}(x_{0}),\;i=1,\ldots ,N$:

${\hat {Z}}(x_{0})={\begin{bmatrix}w_{1}&w_{2}&\cdots &w_{N}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\vdots \\z_{N}\end{bmatrix}}=\sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{0})Z(x_{i}).$

Веса $w_{i}$ предназначены для обобщения двух чрезвычайно важных процедур в процессе пространственного вывода:

• отражают структурную «близость» образцов к месту оценки $x_{0}$;
• в то же время они должны иметь эффект десегрегации, чтобы избежать систематической ошибки, вызванной возможными кластерами выборки .

При расчете весов $w_{i}$В геостатистическом формализме есть две цели: несмещение и минимальная дисперсия оценки .

Если облако реальных ценностей $Z(x_{0})$ строится на основе расчетных значений ${\hat {Z}}(x_{0})$, критерий глобальной несмещенности, внутренней стационарности или в широком смысле стационарности поля , подразумевает, что среднее значение оценок должно быть равно среднему значению реальных значений.

Второй критерий гласит, что среднее значение квадратов отклонений ${\big (}{\hat {Z}}(x)-Z(x){\big )}$ должно быть минимальным, а это означает, что, когда облако расчетных значений по сравнению с облаком реальных значений более рассеяно, оценка становится более неточной.

Методы

В зависимости от стохастических свойств случайного поля и различных предполагаемых степеней стационарности могут быть выведены разные методы расчета весов, т.е. применяются разные типы кригинга. Классические методы:

• Обычный кригинг предполагает постоянное неизвестное среднее только в окрестности поиска $x_{0}$.
• Простой кригинг предполагает стационарность первого момента во всей области с известным средним: $E\{Z(x)\}=E\{Z(x_{0})\}=m$, где $m$ это известное среднее значение.
• Универсальный кригинг предполагает общую модель полиномиального тренда, например модель линейного тренда. $\textstyle E\{Z(x)\}=\sum _{k=0}^{p}\beta _{k}f_{k}(x)$.
• ИРФк-кригинг предполагает $E\{Z(x)\}$ быть неизвестным многочленом в $x$.
• Индикаторный кригинг использует индикаторные функции вместо самого процесса для оценки вероятностей перехода.
  • Многоиндикаторный кригинг — это версия индикаторного кригинга, работающая с семейством индикаторов. Первоначально MIK показал себя весьма многообещающим как новый метод, который мог бы более точно оценить общую глобальную концентрацию или содержание полезных ископаемых. Однако эти преимущества перевешиваются другими проблемами, присущими практичности моделирования из-за изначально больших размеров используемых блоков, а также отсутствия разрешения в масштабе добычи. Условное моделирование выполняется быстро и в этом случае становится общепринятым методом замены.
• Дизъюнктивный кригинг — нелинейное обобщение кригинга.
• Логнормальный кригинг интерполирует положительные данные посредством логарифмов .
• Скрытый кригинг предполагает различные кригинги на скрытом уровне (второй этап) нелинейной модели смешанных эффектов для создания пространственного функционального прогноза. Этот метод полезен при анализе пространственных функциональных данных. $\{(y_{i},x_{i},s_{i})\}_{i=1}^{n}$, где $y_{i}=(y_{i1},y_{i2},\cdots ,y_{iT_{i}})^{\top }$ это данные временного ряда $T_{i}$ период, $x_{i}=(x_{i1},x_{i2},\cdots ,x_{ip})^{\top }$ представляет собой вектор $p$ ковариаты и $s_{i}=(s_{i1},s_{i2})^{\top }$ это пространственное положение (долгота, широта) $i$-й предмет.
• Совместный кригинг означает совместный кригинг данных из нескольких источников с взаимосвязью между различными источниками данных. Совместный кригинг также возможен в байесовском подходе.
• Байесовский кригинг исходит из оптимизации неизвестных коэффициентов и гиперпараметров, которая понимается как оценка максимального правдоподобия с байесовской точки зрения. Вместо этого коэффициенты и гиперпараметры оцениваются на основе их ожидаемых значений . Преимущество байесовского кригинга состоит в том, что он позволяет количественно оценить доказательства и неопределенность эмулятора кригинга . Если эмулятор используется для распространения неопределенностей, качество эмулятора кригинга можно оценить путем сравнения неопределенности эмулятора с общей неопределенностью (см. также Байесовский полиномиальный хаос ). Байесовский кригинг также можно смешивать с ко-кригингом.

Обыкновенный кригинг

Неизвестное значение $Z(x_{0})$ интерпретируется как случайная величина, находящаяся в $x_{0}$, а также значения выборок соседей $Z(x_{i}),\ i=1,\ldots ,N$. Оценщик ${\hat {Z}}(x_{0})$ также интерпретируется как случайная величина, находящаяся в $x_{0}$, результат линейной комбинации переменных.

Кригинг стремится минимизировать среднеквадратичное значение следующей ошибки при оценке $Z(x_{0})$, при условии отсутствия предвзятости:

$\epsilon (x_{0})={\hat {Z}}(x_{0})-Z(x_{0})={\begin{bmatrix}W^{T}&-1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}Z(x_{1})&\cdots &Z(x_{N})&Z(x_{0})\end{bmatrix}}^{T}=\sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{0})\times Z(x_{i})-Z(x_{0}).$

Два критерия качества, упомянутые ранее, теперь могут быть выражены через среднее значение и дисперсию новой случайной величины. $\epsilon (x_{0})$:

Отсутствие предвзятости

Поскольку случайная функция стационарна, $E[Z(x_{i})]=E[Z(x_{0})]=m$, сумма весов должна быть равна 1, чтобы гарантировать несмещенность модели. Это можно увидеть следующим образом:

$E[\epsilon (x_{0})]=0\Leftrightarrow \sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{0})\times E[Z(x_{i})]-E[Z(x_{0})]=0$

$\Leftrightarrow m\sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{0})-m=0\Leftrightarrow \sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{0})=1\Leftrightarrow \mathbf {1} ^{T}\cdot W=1.$

Минимальная разница

Две оценки могут иметь $E[\epsilon (x_{0})]=0$, но дисперсия вокруг их среднего значения определяет разницу в качестве оценок. Чтобы найти оценку с минимальной дисперсией, нам нужно минимизировать $E[\epsilon (x_{0})^{2}]$.

${\begin{aligned}\operatorname {Var} (\epsilon (x_{0}))&=\operatorname {Var} \left({\begin{bmatrix}W^{T}&-1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}Z(x_{1})&\cdots &Z(x_{N})&Z(x_{0})\end{bmatrix}}^{T}\right)\\&={\begin{bmatrix}W^{T}&-1\end{bmatrix}}\cdot \operatorname {Var} \left({\begin{bmatrix}Z(x_{1})&\cdots &Z(x_{N})&Z(x_{0})\end{bmatrix}}^{T}\right)\cdot {\begin{bmatrix}W\\-1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$

См. ковариационную матрицу для подробного объяснения.

$\operatorname {Var} (\epsilon (x_{0}))={\begin{bmatrix}W^{T}&-1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\operatorname {Var} _{x_{i}}&\operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}\\\operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}^{T}&\operatorname {Var} _{x_{0}}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}W\\-1\end{bmatrix}},$

где литералы $\left\{\operatorname {Var} _{x_{i}},\operatorname {Var} _{x_{0}},\operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}\right\}$ стоять за

$\left\{\operatorname {Var} \left({\begin{bmatrix}Z(x_{1})&\cdots &Z(x_{N})\end{bmatrix}}^{T}\right),\operatorname {Var} {\big (}Z(x_{0}){\big )},\operatorname {Cov} \left({\begin{bmatrix}Z(x_{1})&\cdots &Z(x_{N})\end{bmatrix}}^{T},Z(x_{0})\right)\right\}.$

После определения ковариационной модели вариограммы или $C(\mathbf {h} )$ или $\gamma (\mathbf {h} )$действителен во всех областях анализа $Z(x)$, то мы можем написать выражение для дисперсии оценки любого средства оценки в зависимости от ковариации между выборками и ковариаций между выборками и точкой для оценки:

${\begin{cases}\operatorname {Var} {\big (}\epsilon (x_{0}){\big )}=W^{T}\cdot \operatorname {Var} _{x_{i}}\cdot W-\operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}^{T}\cdot W-W^{T}\cdot \operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}+\operatorname {Var} _{x_{0}},\\\operatorname {Var} {\big (}\epsilon (x_{0}){\big )}=\operatorname {Cov} (0)+\sum _{i}\sum _{j}w_{i}w_{j}\operatorname {Cov} (x_{i},x_{j})-2\sum _{i}w_{i}C(x_{i},x_{0}).\end{cases}}$

Из этого выражения можно сделать некоторые выводы. Дисперсия оценки:

• не поддается количественной оценке с помощью любого линейного оценщика, если предполагается стационарность среднего значения и пространственных ковариаций или вариограмм;
• растет, когда ковариация между выборками и оцениваемой точкой уменьшается. Это означает, что, когда образцы находятся дальше от $x_{0}$, оценка становится хуже;
• растет с априорной дисперсией $C(0)$ переменной $Z(x)$; когда переменная менее дисперсна, дисперсия меньше в любой точке области $A$;
• не зависит от значений выборок, а это означает, что одна и та же пространственная конфигурация (с одинаковыми геометрическими соотношениями между выборками и оцениваемой точкой) всегда воспроизводит одну и ту же дисперсию оценки в любой части области. $A$; таким образом, дисперсия не измеряет неопределенность оценки, создаваемую локальной переменной.

Система уравнений

$W={\underset {\mathbf {1} ^{T}\cdot W=1}{\operatorname {arg\,min} }}\left(W^{T}\cdot \operatorname {Var} _{x_{i}}\cdot W-\operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}^{T}\cdot W-W^{T}\cdot \operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}+\operatorname {Var} _{x_{0}}\right).$

Решение этой задачи оптимизации (см. множители Лагранжа ) приводит к системе кригинга :

${\begin{bmatrix}{\hat {W}}\\\mu \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\operatorname {Var} _{x_{i}}&\mathbf {1} \\\mathbf {1} ^{T}&0\end{bmatrix}}^{-1}\cdot {\begin{bmatrix}\operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma (x_{1},x_{1})&\cdots &\gamma (x_{1},x_{n})&1\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\\gamma (x_{n},x_{1})&\cdots &\gamma (x_{n},x_{n})&1\\1&\cdots &1&0\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}\gamma (x_{1},x^{*})\\\vdots \\\gamma (x_{n},x^{*})\\1\end{bmatrix}}.$

Дополнительный параметр $\mu$ - множитель Лагранжа, используемый для минимизации ошибки кригинга. $\sigma _{k}^{2}(x)$ соблюдать условие несмещенности.

Простой кригинг

Простой кригинг можно рассматривать как среднее значение и огибающую броуновских случайных блужданий, проходящих через точки данных.

Простой кригинг математически самый простой, но наименее общий. Он предполагает, что математическое ожидание известно случайного поля , и опирается на ковариационную функцию . Однако в большинстве приложений ни математическое ожидание, ни ковариация заранее неизвестны.

Практические предположения для применения простого кригинга :

• в широком смысле (стационарная дисперсия). Стационарность поля
• Ожидание везде равно нулю: $\mu (x)=0$.
• Известная ковариационная функция $c(x,y)=\operatorname {Cov} {\big (}Z(x),Z(y){\big )}$.

Функция ковариации является решающим выбором при проектировании, поскольку она определяет свойства гауссовского процесса и, следовательно, поведение модели. Функция ковариации кодирует информацию, например, о гладкости и периодичности, что отражается в получаемой оценке. Очень распространенной ковариационной функцией является квадрат экспоненты, которая в значительной степени способствует плавным оценкам функции. По этой причине во многих реальных приложениях он может давать плохие оценки, особенно когда истинная базовая функция содержит разрывы и быстрые изменения.

Система уравнений

Веса кригинга простого уравнений простого не имеют условий несмещенности и задаются системой кригинга :

${\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{1})&\cdots &c(x_{1},x_{n})\\\vdots &\ddots &\vdots \\c(x_{n},x_{1})&\cdots &c(x_{n},x_{n})\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{0})\\\vdots \\c(x_{n},x_{0})\end{pmatrix}}.$

Это аналогично линейной регрессии $Z(x_{0})$ с другой $z_{1},\ldots ,z_{n}$.

Оценка

Интерполяция простым кригингом имеет вид

${\hat {Z}}(x_{0})={\begin{pmatrix}z_{1}\\\vdots \\z_{n}\end{pmatrix}}'{\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{1})&\cdots &c(x_{1},x_{n})\\\vdots &\ddots &\vdots \\c(x_{n},x_{1})&\cdots &c(x_{n},x_{n})\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{0})\\\vdots \\c(x_{n},x_{0})\end{pmatrix}}.$

Ошибка кригинга определяется выражением

$\operatorname {Var} {\big (}{\hat {Z}}(x_{0})-Z(x_{0}){\big )}=\underbrace {c(x_{0},x_{0})} _{\operatorname {Var} {\big (}Z(x_{0}){\big )}}-\underbrace {{\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{0})\\\vdots \\c(x_{n},x_{0})\end{pmatrix}}'{\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{1})&\cdots &c(x_{1},x_{n})\\\vdots &\ddots &\vdots \\c(x_{n},x_{1})&\cdots &c(x_{n},x_{n})\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{0})\\\vdots \\c(x_{n},x_{0})\end{pmatrix}}} _{\operatorname {Var} {\big (}{\hat {Z}}(x_{0}){\big )}},$

что приводит к обобщенной версии теоремы Гаусса – Маркова по методу наименьших квадратов (Chiles & Delfiner 1999, стр. 159):

$\operatorname {Var} {\big (}Z(x_{0}){\big )}=\operatorname {Var} {\big (}{\hat {Z}}(x_{0}){\big )}+\operatorname {Var} {\big (}{\hat {Z}}(x_{0})-Z(x_{0}){\big )}.$

Байесовский кригинг

См. также Байесовский полиномиальный хаос.

Характеристики

• Оценка кригинга несмещена: $E[{\hat {Z}}(x_{i})]=E[Z(x_{i})]$.
• Оценка кригинга учитывает фактически наблюдаемое значение: ${\hat {Z}}(x_{i})=Z(x_{i})$ (при условии отсутствия ошибки измерения).
• Оценка кригинга ${\hat {Z}}(x)$ является лучшей линейной несмещенной оценкой $Z(x)$ если предположения верны. Однако (например, Cressie 1993):
  • Как и в случае с любым другим методом, если предположения не выполняются, кригинг может оказаться плохим.
  • Могут быть лучшие нелинейные и/или предвзятые методы.
  • Никакие свойства не гарантируются при использовании неправильной вариограммы. Однако обычно все же достигается «хорошая» интерполяция.
  • Лучшее не обязательно хорошо: например, в случае отсутствия пространственной зависимости интерполяция кригинга эффективна ровно настолько, насколько хорошо среднее арифметическое.
• Кригинг обеспечивает $\sigma _{k}^{2}$ как мера точности. Однако эта мера зависит от правильности вариограммы.

Приложения

Хотя кригинг изначально был разработан для приложений в геостатистике, он представляет собой общий метод статистической интерполяции и может применяться в любой дисциплине для выборки данных из случайных полей, которые удовлетворяют соответствующим математическим предположениям. Его можно использовать там, где были собраны пространственно связанные данные (в двухмерном или трехмерном формате) и требуются оценки «заполняющих» данных в местах (пространственных промежутках) между фактическими измерениями.

На сегодняшний день кригинг используется в различных дисциплинах, в том числе в следующих:

• Наука об окружающей среде
• Гидрогеология
• Горное дело
• Природные ресурсы
• Дистанционное зондирование
• Оценка недвижимости
• Анализ и оптимизация интегральных схем
• Моделирование СВЧ-устройств
• Астрономия
• Прогнозирование кривой добычи нефти из сланцевых скважин

Планирование и анализ компьютерных экспериментов

Другая очень важная и быстро развивающаяся область применения в технике — это интерполяция данных, получаемых в качестве переменных отклика детерминированного компьютерного моделирования. например, моделирование методом конечных элементов (МКЭ). В этом случае кригинг используется как инструмент метамоделирования , то есть модель «черного ящика», построенная на основе запланированного набора компьютерных экспериментов . Во многих практических инженерных задачах, таких как проектирование процесса обработки металлов давлением , одно моделирование FEM может длиться несколько часов или даже несколько дней. Поэтому более эффективно спроектировать и запустить ограниченное количество компьютерных симуляций, а затем использовать интерполятор кригинга для быстрого прогнозирования реакции в любой другой расчетной точке. Поэтому кригинг очень часто используется как так называемая суррогатная модель , реализованная внутри оптимизации . процедур

См. также

• Линейная статистика Байеса
• Гауссов процесс
• Многомерная интерполяция
• Непараметрическая регрессия
• Интерполяция радиальной базисной функции
• Картографирование пространства
• Пространственная зависимость
• Вариограмма
• Градиентный кригинг (GEK)
• Суррогатная модель
• Теория информационного поля

Дальнейшее чтение

Исторические ссылки

1. Чилес, Жан-Поль; Десассис, Николя (2018). «Пятьдесят лет кригинга». Справочник по математическим наукам о Земле . Чам: Международное издательство Springer. стр. 589–612. дои : 10.1007/978-3-319-78999-6_29 . ISBN  978-3-319-78998-9 . S2CID   125362741 .
2. Агтерберг, Ф.П., Геоматематика, математические основы и приложения геонаучных исследований , Elsevier Scientific Publishing Company, Амстердам, 1974.
3. Кресси, НАК, Истоки кригинга, Математическая геология , т. 22, стр. 239–252, 1990.
4. Криге, Д.Г., Статистический подход к некоторым оценкам горнодобывающих предприятий и смежным проблемам в Витватерсранде , магистерская диссертация Университета Витватерсранда, 1951.
5. Линк, РФ и Кох, Г.С., Экспериментальные планы и анализ тренд-поверхности, Геостатистика , коллоквиум, Plenum Press, Нью-Йорк, 1970.
6. Матерон, Г., «Принципы геостатистики», Экономическая геология , 58, стр. 1246–1266, 1963.
7. Матерон, Г., "Внутренние случайные функции и их приложения", Adv. Прил. Проб. , 5, стр. 439–468, 1973.
8. Мерриам, Д.Ф. (редактор), Геостатистика , коллоквиум, Plenum Press, Нью-Йорк, 1970.

Книги

• Абрамовиц М. и Стегун И. (1972), Справочник по математическим функциям, Dover Publications, Нью-Йорк.
• Банерджи С., Карлин Б.П. и Гельфанд А.Е. (2004). Иерархическое моделирование и анализ пространственных данных. Чепмен и Холл/CRC Press, Тейлор и Фрэнсис Груп.
• Чайлз, Ж.-П. и П. Дельфинер (1999) Геостатистика, Моделирование пространственной неопределенности , Ряды Уайли по вероятности и статистике.
• Кларк И. и Харпер В.В. (2000) Практическая геостатистика 2000 , Ecosse North America, США.
• Кресси, Н. (1993) Статистика пространственных данных , Уайли, Нью-Йорк.
• Дэвид, М. (1988) Справочник по прикладной расширенной геостатистической оценке запасов руды , Elsevier Scientific Publishing.
• Deutsch, CV, и Journel, AG (1992), GSLIB – Библиотека геостатистического программного обеспечения и руководство пользователя, Oxford University Press, Нью-Йорк, 338 стр.
• Гувертс, П. (1997) Геостатистика для оценки природных ресурсов , Oxford University Press, Нью-Йорк, ISBN   0-19-511538-4 .
• Исаакс Э.Х. и Шривастава Р.М. (1989), Введение в прикладную геостатистику, Oxford University Press, Нью-Йорк, 561 стр.
• Журнел, А.Г. и К.Дж. Хуйбрегтс (1978) Горная геостатистика , Academic Press, Лондон.
• Журнел, А.Г. (1989), Основы геостатистики в пяти уроках, Американский геофизический союз, Вашингтон, округ Колумбия.
• Пресс, WH; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, WT; Фланнери, BP (2007), «Раздел 3.7.4. Интерполяция по кригингу» , Численные рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-88068-8 . Также «Раздел 15.9. Регрессия гауссовского процесса» .
• Штейн, М.Л. (1999), Статистическая интерполяция пространственных данных: некоторые теории кригинга , Спрингер, Нью-Йорк.
• Вакернагель, Х. (1995) Многомерная геостатистика – введение с приложениями , Springer Berlin