Магниторотационная неустойчивость

Магниторотационная неустойчивость (МРТ) — это жидкости нестабильность , которая приводит к тому, что аккреционный диск , вращающийся вокруг массивного центрального объекта, становится турбулентным . Оно возникает, когда угловая скорость проводящей жидкости в магнитном поле уменьшается по мере удаления от центра вращения. В литературе она также известна как неустойчивость Велихова-Чандрасекара или неустойчивость Бальбуса-Хоули , не путать с электротермической неустойчивостью Велихова . МРТ имеет особое значение в астрофизике , где она является важной частью динамики аккреционных дисков .

Газы или жидкости, содержащие подвижные электрические заряды, подвержены влиянию магнитного поля. Помимо гидродинамических сил, таких как давление и сила тяжести, элемент намагниченной жидкости ощущает также силу Лоренца. ${\boldsymbol {J}}\times {\boldsymbol {B}}\ ,$ где ${\boldsymbol {J}}$ плотность тока и ${\boldsymbol {B}}$ – вектор магнитного поля. Если жидкость находится в состоянии дифференциального вращения вокруг фиксированного начала координат, эта сила Лоренца может оказаться неожиданно разрушительной, даже если магнитное поле очень слабое. В частности, если угловая скорость вращения $\Omega$ уменьшается с радиальным расстоянием $R\ ,$ движение неустойчиво: элемент жидкости, подвергающийся небольшому смещению в результате кругового движения, испытывает дестабилизирующую силу, которая увеличивается со скоростью, которая сама пропорциональна смещению. Этот процесс известен как магниторотационная нестабильность или «МРТ».

В астрофизических условиях очень распространены дифференциально вращающиеся системы, а магнитные поля распространены повсеместно. В частности, тонкие газовые диски часто встречаются вокруг формирующихся звезд или в двойных звездных системах, где они известны как аккреционные диски. Аккреционные диски также обычно присутствуют в центрах галактик и в некоторых случаях могут быть чрезвычайно яркими: квазары например, считается, что возникают из газового диска, окружающего очень массивную черную дыру . Наше современное понимание МРТ возникло в результате попыток понять поведение аккреционных дисков в присутствии магнитных полей; теперь понятно, что МРТ, вероятно, встречается в очень широком спектре различных систем.

Открытие

Впервые МРТ в неастрофизическом контексте была замечена Евгением Велиховым в 1959 году при рассмотрении устойчивости течения Куэтта идеальной гидромагнитной жидкости. Его результат позже был обобщен Субраманьяном Чандрасекаром в 1960 году. Этот механизм был предложен DJ Acheson и Raymond Hide (1973), возможно, он играет роль в контексте проблемы геодинамо Земли. Хотя в последующие десятилетия были проведены некоторые последующие работы (Fricke, 1969; Acheson and Hide 1972; Acheson and Gibbons 1978), масштабность и мощь нестабильности не были полностью оценены до 1991 года, когда Стивен А. Бальбус и Джон Ф. Хоули дал относительно простое объяснение и физическое объяснение этого важного процесса.

Физический процесс

Простая модель МРТ

В намагниченной, идеально проводящей жидкости магнитные силы в некоторых очень важных отношениях ведут себя так, как если бы элементы жидкости были соединены упругими лентами: попытка сместить такой элемент перпендикулярно магнитной силовой линии вызывает силу притяжения, пропорциональную смещению. , как пружина натянутая . Обычно такая сила восстанавливает, оказывая сильное стабилизирующее влияние, которое позволяет распространяться магнитной волне определенного типа. Однако если жидкая среда не стационарна, а вращается, силы притяжения могут фактически дестабилизировать. МРТ является следствием такого удивительного поведения.

Рассмотрим, например, две массы, m _i внутренняя») и mo _{(«внешняя»), соединенные находящейся под напряжением пружиной, причем} обе массы вращаются вокруг центрального тела Mc _. ( « В такой системе угловая скорость круговых орбит вблизи центра больше угловой скорости орбит, находящихся дальше от центра, но угловой момент внутренних орбит меньше, чем внешних. Если m _i позволить вращаться немного ближе к центру, чем , _mo он будет иметь немного более высокую угловую скорость. Соединительная пружина оттянется назад _. и меня _{потянет} вперед Это означает, что m _i испытывает тормозящий момент, теряет угловой момент и должен упасть внутрь на орбиту меньшего радиуса, что соответствует меньшему угловому моменту. mo _, с другой стороны, испытывает положительный крутящий момент, приобретает больший угловой момент и движется наружу на более высокую орбиту. Пружина растягивается еще больше, крутящие моменты становятся еще больше, и движение становится неустойчивым! Поскольку магнитные силы действуют как растянутая пружина, соединяющая жидкие элементы, поведение намагниченной жидкости почти точно аналогично этой простой механической системе. В этом суть МРТ.

Более подробное объяснение

Чтобы увидеть это нестабильное поведение более количественно, рассмотрим уравнения движения массы жидкого элемента, находящегося в круговом движении с угловой скоростью $\Omega \ .$ В общем $\Omega$ будет функцией расстояния от оси вращения $R\ ,$ и мы предполагаем, что радиус орбиты равен $r=R_{0}\ .$ Центростремительное ускорение, необходимое для удержания массы на орбите, равно $-R\Omega ^{2}(R)$; знак минус указывает направление к центру. Если эта сила представляет собой силу тяжести точечной массы в центре, то центростремительное ускорение просто равно $-GM/R^{2},$ где $G$ гравитационная постоянная и $M$ является центральной массой.Давайте теперь рассмотрим небольшие отклонения от кругового движения вращающегося элемента массы, вызванные некоторой возмущающей силой. Преобразуем переменные во вращающуюся систему отсчета , движущуюся с орбитальным элементом массы с угловой скоростью. $\Omega (R_{0})=\Omega _{0}\ ,$ с началом координат, расположенным в невозмущенном месте на орбите элемента массы. Как обычно при работе во вращающейся системе отсчета, нам нужно к уравнениям движения добавить силу Кориолиса. $-2{\boldsymbol {\Omega }}_{0}\times {\boldsymbol {v}}$ плюс центробежная сила $R\Omega _{0}^{2}\ .$ Скорость $v$ - скорость, измеренная во вращающейся системе отсчета. Кроме того, мы ограничим наше внимание небольшим районом недалеко от $R_{0}\ ,$ сказать $R_{0}+x\ ,$ с $x$ намного меньше, чем $R_{0}\ .$ Тогда сумма центробежной и центростремительной сил равна

$R[\Omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}(R_{0}+x)]\simeq -xR{d\Omega ^{2} \over dR}$ ( 1 )

линейному порядку в $x\ .$ С нашим $x$ ось, направленная радиально наружу от невозмущенного местоположения жидкого элемента и нашей $y$ ось, указывающая в сторону увеличения азимутального угла (направление невозмущенной орбиты), $x$ и $y$ уравнения движения при небольшом отклонении от круговой орбиты $R=R_{0}$ являются:

${\ddot {x}}-2\Omega _{0}{\dot {y}}=-xR{d\Omega ^{2} \over dR}+f_{x}$ ( 2 )

${\ddot {y}}+2\Omega _{0}{\dot {x}}=f_{y}$ ( 3 )

где $f_{x}$ и $f_{y}$ - это силы на единицу массы в $x$ и $y$ направления, а точка указывает производную по времени (т. е. ${\dot {x}}$ это $x$ скорость, ${\ddot {x}}$ это $x$ ускорение и др.). При условии, что $f_{x}$ и $f_{y}$ либо равны 0, либо линейны по x и y, это система связанных линейных дифференциальных уравнений второго порядка , которые можно решить аналитически.В отсутствие внешних сил $f_{x}=0$ и $f_{y}=0$, уравнения движения имеют решения с зависимостью от времени $e^{i\omega t}\ ,$ где угловая частота $\omega$ удовлетворяет уравнению

$\omega ^{2}=4\Omega _{0}^{2}+R{d\Omega ^{2} \over dR}\equiv \kappa ^{2}$ ( 4 )

где $\kappa ^{2}$ известна как эпициклическая частота . В нашей Солнечной системе, например, отклонения от круговой орбиты с центром вокруг Солнца, которые представляют собой знакомые эллипсы, если смотреть на них внешним наблюдателем в состоянии покоя, вместо этого проявляются как небольшие радиальные и азимутальные колебания вращающегося элемента, когда их наблюдает наблюдатель, движущийся с невозмущенной звездой. круговое движение.Эти колебания очерчивают небольшой ретроградный эллипс (т.е. вращающийся в направлении, противоположном большой круговой орбите), с центром в невозмущенном орбитальном положении элемента массы.

Эпициклическая частота может быть эквивалентно записана $(1/R^{3})(dR^{4}\Omega ^{2}/dR)\ ,$ который показывает, что он пропорционален радиальной производной углового момента на единицу массы или удельного углового момента. Удельный угловой момент должен увеличиваться наружу, чтобы существовали устойчивые эпициклические колебания, в противном случае смещения будут расти экспоненциально, что соответствует нестабильности. Это очень общий результат, известный как критерий Рэлея (Чандрасекхар, 1961) устойчивости. Для орбит вокруг точечной массы удельный угловой момент пропорционален $R^{1/2}\ ,$ поэтому критерий Рэлея вполне удовлетворяется.

Рассмотрим далее решения уравнений движения, если на элемент массы действует внешняя восстанавливающая сила: $f_{x}=-Kx\ ,$ $f_{y}=-Ky$ где $K$ — произвольная константа («константа пружины»). Если мы теперь будем искать решения для модальных смещений в $x$ и $y$ с зависимостью от времени $e^{i\omega t}\ ,$ мы находим гораздо более сложное уравнение для $\omega \ :$

$\omega ^{4}-(2K+\kappa ^{2})\omega ^{2}+K(K+Rd\Omega ^{2}/dR)=0$ ( 5 )

Несмотря на то, что пружина обладает силой притяжения, она может дестабилизироваться. Например, если жесткость пружины $K$ достаточно слаб, то доминирующий баланс будет между двумя последними членами в левой части уравнения. Тогда уменьшающийся профиль угловой скорости наружу приведет к отрицательным значениям для $\omega ^{2}\ ,$ и как положительные, так и отрицательные мнимые значения для $\omega \ .$ Отрицательный мнимый корень приводит не к колебаниям, а к экспоненциальному росту очень малых смещений. Таким образом, слабая пружина вызывает тот тип нестабильности, который качественно описан в конце предыдущего раздела. пружина сильная С другой стороны, будет вызывать колебания, как интуитивно и следует ожидать.

Весенняя природа магнитных полей

Условия внутри движущейся идеально проводящей жидкости часто являются хорошим приближением к астрофизическим газам. При наличии магнитного поля ${\boldsymbol {B}}\ ,$ движущийся проводник в ответ пытается устранить силу Лоренца на свободных зарядах. Магнитная сила действует таким образом, что локально перестраивает эти заряды, создавая внутреннее электрическое поле ${\boldsymbol {E=-{v\times B}}}\ .$ Таким образом, прямая сила Лоренца, действующая на заряды ${\boldsymbol {E+v\times B}}$ исчезает. (В качестве альтернативы электрическое поле в локальной системе покоя движущихся зарядов исчезает.) Это индуцированное электрическое поле теперь само может вызывать дальнейшие изменения в магнитном поле. ${\boldsymbol {B}}$ согласно закону Фарадея ,

$-{\boldsymbol {\nabla \times E}}={\partial {\boldsymbol {B}} \over \partial t}\quad {\rm {or}}\quad {\boldsymbol {\nabla \times (v\times B)}}={\partial {\boldsymbol {B}} \over \partial t}$ ( 6 )

Другой способ записать это уравнение состоит в том, что если во времени $\delta t$ жидкость производит перемещение ${\boldsymbol {\xi }}={\boldsymbol {v}}\delta t\ ,$ то магнитное поле изменится на

$\delta {\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {\nabla \times (\xi \times B)}}$ ( 7 )

Уравнение магнитного поля в движущемся идеальном проводнике обладает особым свойством: сочетание индукции Фарадея и нулевой силы Лоренца заставляет силовые линии вести себя так, как если бы они были нарисованы или «вморожены» в жидкость. В частности, если ${\boldsymbol {B}}$ изначально почти постоянен и $\xi$ — бездивергентное смещение, то наше уравнение сводится к

$\delta {\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {\ {(B\cdot \nabla )\xi }}},$ ( 8 )

из-за тождества векторного исчисления $\nabla \times (\mathbf {\xi } \times \mathbf {B} )=\mathbf {\xi } (\nabla \cdot \mathbf {B} )-\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {\xi } )+(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {\xi } -(\mathbf {\xi } \cdot \nabla )\mathbf {B} \ .$Из этих 4 слагаемых, $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ — одно из уравнений Максвелла . По предположению о бездивергентности $\nabla \cdot \mathbf {\xi } =0$. $(\mathbf {\xi } \cdot \nabla )\mathbf {B} =0$ поскольку предполагается, что B почти постоянна. Уравнение 8 показывает, что ${\boldsymbol {B}}$ изменяется только при сдвиговом смещении вдоль силовой линии.Для понимания МРТ достаточно рассмотреть случай, когда ${\boldsymbol {B}}$ однороден по вертикали $z$ направление и $\xi$ варьируется как $e^{ikz}\ .$ Затем

$\delta {\boldsymbol {B}}=ikB{\boldsymbol {\xi }},$ ( 9 )

где понимается, что действительная часть этого уравнения выражает его физическое содержание. (Если ${\boldsymbol {\xi }}$ пропорционально $\cos(kz)\ ,$ например, тогда $\delta {\boldsymbol {B}}$ пропорционально $-\sin(kz)\ .$)

Магнитное поле действует на электрически нейтральную проводящую жидкость с силой на единицу объема, равной ${\boldsymbol {J}}\times {\boldsymbol {B}}\ .$ Круговой закон Ампера дает $\mu _{0}{\boldsymbol {J=\nabla \times B}}\ ,$ поскольку в МГД-приближении поправка Максвелла не учитывается. Сила на единицу объема становится

$\left({\frac {1}{\mu _{0}}}\right){\boldsymbol {(\nabla \times B)\times B}}=-{\boldsymbol {\nabla }}\left({\frac {B^{2}}{2\mu _{0}}}\right)+\left({\frac {1}{\mu _{0}}}\right){\boldsymbol {(B\cdot \nabla )B}}$ ( 10 )

где мы использовали ту же идентичность векторного исчисления. Это уравнение является полностью общим и не делает никаких предположений о силе или направлении магнитного поля.Первый член справа аналогичен градиенту давления. В нашей задаче им можно пренебречь, поскольку он не действует в плоскости диска, перпендикулярной $z\ .$ Второй член действует как сила магнитного натяжения, аналогичная натянутой струне. Для небольшого беспокойства $\delta {\boldsymbol {B}}\ ,$ он оказывает ускорение, заданное силой, деленной на массу, или, что эквивалентно, силой на единицу объема, деленной на массу на единицу объема:

$\left({\frac {1}{\mu _{0}\rho }}\right){\boldsymbol {(B\cdot \nabla )\delta B}}=\left({\frac {ikB{\boldsymbol {\delta B}}}{\mu _{0}\rho }}\right)=-{k^{2}B^{2} \over \mu _{0}\rho }{\boldsymbol {(}}\xi )$ ( 11 )

Таким образом, магнитная сила натяжения порождает обратную силу, которая прямо пропорциональна смещению. Это означает, что частота колебаний $\omega$ при малых смещениях в плоскости вращения диск с однородным магнитным полем в вертикальном направлении удовлетворяет уравнению («дисперсионному соотношению»), в точности аналогичному уравнению 5 , с «константой пружины» $K={k^{2}B^{2}/\mu _{0}\rho }\ :$

$\omega ^{4}-[2(k^{2}B^{2}/\mu _{0}\rho )+\kappa ^{2}]\omega ^{2}+(k^{2}B^{2}/\mu _{0}\rho )[(k^{2}B^{2}/\mu _{0}\rho )+Rd\Omega ^{2}/dR]=0$ ( 12 )

Как и прежде, если $d\Omega ^{2}/dR<0\ ,$ существует экспоненциально растущий корень этого уравнения для волновых чисел $k$ удовлетворяющий $(k^{2}B^{2}/\mu _{0}\rho )<-Rd\Omega ^{2}/dR\ .$Это соответствует МРТ. Обратите внимание, что магнитное поле появляется в уравнении 12 только как произведение $kB\ .$ Таким образом, даже если $B$ очень мал, для очень больших волновых чисел $k$ это магнитное напряжение может быть важным. Вот почему МРТ так чувствительна даже к очень слабым магнитным полям: их действие усиливается за счет умножения на $k\ .$ Более того, можно показать, что МРТ присутствует независимо от геометрии магнитного поля, пока поле не слишком сильное.

В астрофизике обычно интересен случай, когда диск поддерживается вращением против гравитационного притяжения центральной массы. Баланс между ньютоновской гравитационной силой и радиальной центростремительной силой сразу дает

$\Omega ^{2}={GM \over R^{3}}$ ( 13 )

где $G$ гравитационная постоянная Ньютона, $M$ является центральной массой, и $R$ – радиальное расположение на диске. С $Rd\Omega ^{2}/dR=-3\Omega ^{2}<0\ ,$ этот так называемый кеплеров диск нестабилен по отношению к МРТ. Без слабого магнитного поля течение было бы устойчивым.

Для кеплеровского диска максимальная скорость роста равна $\gamma =3\Omega /4\ ,$ что происходит при волновом числе, удовлетворяющем $(k^{2}B^{2}/\mu _{0}\rho )=15\Omega ^{2}/16\ .$$\gamma$ происходит очень быстро и соответствует коэффициенту усиления более 100 за период вращения.Нелинейное развитие МРТ до полностью развитой турбулентности можно проследить с помощью крупномасштабных численных вычислений.

Приложения и лабораторные эксперименты

Интерес к МРТ основан на том факте, что он, по-видимому, дает объяснение возникновению турбулентных потоков в астрофизических аккреционных дисках (Балбус и Хоули, 1991).Многообещающей моделью компактных и интенсивных источников рентгеновского излучения, открытых в 1960-х годах, была модель нейтронной звезды или черной дыры, втягивающей («аккрецирующей») газ из своего окружения (Прендергаст и Бербидж, 1968). Такой газ всегда аккрецируется с конечным угловым моментом относительно центрального объекта, поэтому сначала он должен сформировать вращающийся диск — он не может аккрецироваться непосредственно на объект, не потеряв сначала свой угловой момент. Но каким образом элемент газообразной жидкости умудрился потерять свой угловой момент и направиться по спирали на центральный объект, было совершенно неочевидно.

Одно из объяснений связано с турбулентностью, вызванной сдвигом (Шакура и Сюняев, 1973). В аккреционном диске будет наблюдаться значительный сдвиг (газ ближе к центру вращается быстрее, чем внешние области диска), и слои сдвига часто распадаются на турбулентный поток. Наличие сдвиговой турбулентности, в свою очередь, создает мощные крутящие моменты, необходимые для передачи углового момента от одного (внутреннего) элемента жидкости к другому (дальнему).

Распад сдвиговых слоев на турбулентность обычно наблюдается в потоках с градиентами скорости, но без систематического вращения. Это важный момент, поскольку вращение порождает сильно стабилизирующие силы Кориолиса, и именно это происходит в аккреционных дисках. Как видно из уравнения 5 , предел K = 0 вызывает стабилизированные Кориолисом колебания, а не экспоненциальный рост. Эти колебания присутствуют и в гораздо более общих условиях: недавний лабораторный эксперимент (Ji et al., 2006) показал стабильность профиля потока, ожидаемого в аккреционных дисках, в условиях, в которых в противном случае неприятные эффекты диссипации (по стандартным известным мерам) как число Рейнольдса) значительно ниже одной миллионной. Однако все эти изменения происходят даже тогда, когда присутствует даже очень слабое магнитное поле. МРТ создает крутящие моменты, которые не стабилизируются силами Кориолиса. Крупномасштабное численное моделирование МРТ показывает, что поток вращающегося диска распадается на турбулентность (Hawley et al., 1995) с сильно улучшенными свойствами переноса углового момента. Это как раз то, что необходимо для работы модели аккреционного диска. Формирование звезд (Stone et al., 2000), производство рентгеновских лучей в системах нейтронных звезд и черных дыр (Blaes, 2004), а также создание активных галактических ядер (Krolik, 1999) и гамма-всплесков (Wheeler , 2004), все они, как полагают, связаны с развитием МРТ на определенном уровне.

До сих пор мы фокусировались исключительно на динамическом разрушении ламинарного потока на турбулентность, вызванную слабым магнитным полем, но также бывает, что возникающий в результате сильно возбужденный поток может воздействовать обратно на то же самое магнитное поле. Встроенные силовые линии магнитного поля растягиваются турбулентным потоком, и возможно, что это приведет к систематическому усилению поля. Процесс, посредством которого движения жидкости преобразуются в энергию магнитного поля, известен как динамо (Moffatt, 1978); Двумя наиболее изученными примерами являются жидкое внешнее ядро ​​Земли и слои, близкие к поверхности Солнца. Считается, что активность динамо в этих регионах отвечает за поддержание земного и солнечного магнитных полей. В обоих этих случаях тепловая конвекция , вероятно, будет основным источником энергии, хотя в случае с Солнцем дифференциальное вращение также может играть важную роль. Является ли МРТ эффективным динамо-процессом в аккреционных дисках, в настоящее время является областью активных исследований (Fromang and Papaloizou, 2007).

Возможно также применение МРТ за пределами классического аккреционного диска. Внутреннее вращение звезд (Ogilvie, 2007) и даже планетарных динамо (Petitdemange et al., 2008) может при некоторых обстоятельствах быть уязвимым для МРТ в сочетании с конвективными нестабильностями. Эти исследования также продолжаются.

Наконец, МРТ в принципе можно изучать в лаборатории (Ji et al., 2001), хотя эти эксперименты очень сложны в реализации. Типичная конструкция включает либо концентрические сферические оболочки, либо коаксиальные цилиндрические оболочки. Между оболочками (и внутри них) находится проводящий жидкий металл, такой как натрий или галлий. Внутренняя и внешняя оболочки приводятся во вращение с разной скоростью, а вязкостные моменты заставляют захваченный жидкий металл вращаться по-разному. Затем эксперимент исследует, является ли профиль дифференциального вращения стабильным или нет в присутствии приложенного магнитного поля.

Заявленное обнаружение МРТ в эксперименте со сферической оболочкой (Sisan et al., 2004), в котором основное состояние само по себе было турбулентным, ожидает подтверждения на момент написания этой статьи (2009). Магнитная неустойчивость, имеющая некоторое сходство с МРТ, может возникнуть, если в невозмущенном состоянии присутствуют как вертикальное, так и азимутальное магнитные поля (Hollerbach and Rüdiger, 2005). Иногда ее называют спиральной МРТ (Liu et al., 2006), хотя ее точная связь с МРТ, описанной выше, еще полностью не выяснена. Поскольку он менее чувствителен к стабилизации омического сопротивления, чем классическая МРТ, эту спиральную магнитную нестабильность легче возбудить в лаборатории, и есть признаки того, что она могла быть обнаружена (Stefani et al., 2006). Однако обнаружение классической МРТ в гидродинамически спокойном фоновом состоянии еще не достигнуто в лаборатории.

Аналог стандартной МРТ с пружинной массой был продемонстрирован во вращающемся потоке Тейлора-Куэтта/кеплера (Hung et al. 2019) .

Ссылки

• Ачесон, диджей; Хидэ, Р. (1 февраля 1973 г.). «Гидромагнетика вращающихся жидкостей». Отчеты о прогрессе в физике . 36 (2). Издательство ИОП: 159–221. Бибкод : 1973РПФ...36..159А . дои : 10.1088/0034-4885/36/2/002 . ISSN   0034-4885 . S2CID   250881777 .
• Ачесон, диджей; Гиббонс, член парламента (22 июня 1978 г.). «О нестабильности тороидальных магнитных полей и дифференциального вращения звезд». Философские труды Королевского общества A: Математические, физические и технические науки . 289 (1363). Королевское общество: 459–500. Бибкод : 1978RSPTA.289..459A . дои : 10.1098/rsta.1978.0066 . ISSN   1364-503X . S2CID   82914771 .
• Бальбус С.А. и Хоули Дж.Ф. 1991, Astropys. Дж., 376, 214
• Бальбус, Стивен А.; Хоули, Джон Ф. (1 января 1998 г.). «Нестабильность, турбулентность и усиленный транспорт в аккреционных дисках». Обзоры современной физики . 70 (1). Американское физическое общество (APS): 1–53. Бибкод : 1998РвМП...70....1Б . дои : 10.1103/revmodphys.70.1 . ISSN   0034-6861 . S2CID   53513044 .
• Блес, О.М., 2004 г., « Основы физики светящихся аккреционных дисков вокруг черных дыр» . Учеб. LXXVIII Летней школы Les Houches, Шамони, Франция, изд. Ф. Менар, Ж. Пеллетье, В. Бескин, Ж. Далибар, с. 137. Париж/Берлин: Шпрингер.
• Чандрасекхар, С. (10 февраля 1953 г.). «Устойчивость вязкого течения между вращающимися цилиндрами в присутствии магнитного поля». Труды Лондонского королевского общества. Серия А. Математические и физические науки . 216 (1126). Королевское общество: 293–309. Бибкод : 1953RSPSA.216..293C . дои : 10.1098/rspa.1953.0023 . ISSN   2053-9169 . S2CID   122365384 .
• Чандрасекхар, С. 1961, Гидродинамическая и гидромагнитная нестабильность, Оксфорд: Кларендон.
• Фрике, К. 1969, Астрон. Астрофиз., 1, 388.
• Фроманг С. и Папалоизу Дж. 2007, Astron. Астрофиз., 476, 1113.
• Хоули, Дж. Ф., Гамми, К. Ф. и Бальбус, С. А. 1995, Astrophys. Дж., 440, 742
• Холлербах, Райнер; Рюдигер, Гюнтер (14 сентября 2005 г.). «Новый тип магниторотационной неустойчивости в цилиндрическом течении Тейлора-Куэтта» . Письма о физических отзывах . 95 (12): 124501. arXiv : astro-ph/0508041 . Бибкод : 2005PhRvL..95l4501H . дои : 10.1103/physrevlett.95.124501 . ISSN   0031-9007 . ПМИД   16197079 . S2CID   15497431 .
• Хунг, Дерек М.Х.; Блэкман, Эрик Г.; Каспари, Кайл Дж.; Гилсон, Эрик П.; Цзи, Хантао (14 января 2019 г.). «Экспериментальное подтверждение стандартного механизма магниторотационной неустойчивости с пружинно-массовым аналогом» . Физика связи . 2 (1). Springer Science and Business Media LLC: 7. arXiv : 1801.03569 . Бибкод : 2019CmPhy...2....7H . дои : 10.1038/s42005-018-0103-7 . ISSN   2399-3650 .
• Джи Х., Гудман Дж. и Кагеяма А. 2001, MNRAS, 325, L1
• Цзи, Хантао; Бурин, Майкл; Шартман, Итан; Гудман, Джереми (2006). «Гидродинамическая турбулентность не может эффективно передавать угловой момент в астрофизических дисках» . Природа . 444 (7117): 343–346. arXiv : astro-ph/0611481 . Бибкод : 2006Natur.444..343J . дои : 10.1038/nature05323 . ISSN   0028-0836 . ПМИД   17108959 . S2CID   4422497 .
• Кролик, Дж. 1999, Активные ядра галактик, Принстон: Princeton Univ.
• Лю, Вэй; Гудман, Джереми; Херрон, Исом; Цзи, Хантао (07 ноября 2006 г.). «Винтовая магниторотационная неустойчивость в намагниченном потоке Тейлора-Куэтта». Физический обзор E . 74 (5): 056302. arXiv : astro-ph/0606125 . Бибкод : 2006PhRvE..74e6302L . дои : 10.1103/physreve.74.056302 . ISSN   1539-3755 . ПМИД   17279988 . S2CID   12013725 .
• Моффатт, Гонконг, 1978, Генерация магнитного поля в электропроводящих жидкостях. Кембридж: Кембриджский университет
• Огилви Дж., 2007, в «Солнечном тахоклине» . ред. Д. Хьюз, Р. Рознер, Н. Вайс, с. 299. Кембридж: Кембриджский университет.
• Петитдеманж, Людовик; Дорми, Эммануэль; Бальбус, Стивен А. (15 августа 2008 г.). «Магнитострофическая МРТ во внешнем ядре Земли» . Письма о геофизических исследованиях . 35 (15). Американский геофизический союз (AGU): L15305. arXiv : 0901.1217 . Бибкод : 2008GeoRL..3515305P . дои : 10.1029/2008gl034395 . ISSN   0094-8276 .
• Прендергаст К. и Бербидж Г.Р. 1968, Astrophys. Дж. Летт., 151, L83
• Шакура Н. и Сюняев Р.А. 1973, Астрон. Астрофиз., 24, 337.
• Сисан, Дэниел Р.; Мухика, Николас; Тиллотсон, В. Эндрю; Хуан, И-Мин; Дорланд, Уильям; Хассам, Адиль Б.; Антонсен, Томас М.; Латроп, Дэниел П. (10 сентября 2004 г.). «Экспериментальное наблюдение и характеристика магниторотационной неустойчивости». Письма о физических отзывах . 93 (11): 114502. arXiv : физика/0402125 . Бибкод : 2004PhRvL..93k4502S . дои : 10.1103/physrevlett.93.114502 . ISSN   0031-9007 . ПМИД   15447344 . S2CID   5842572 .
• Стефани, Фрэнк; Гандрам, Томас; Гербет, Гюнтер; Рюдигер, Гюнтер; Шульц, Манфред; Шклярский, Яцек; Холлербах, Райнер (1 ноября 2006 г.). «Экспериментальные доказательства магниторотационной неустойчивости в потоке Тейлора-Куэтта под воздействием винтового магнитного поля». Письма о физических отзывах . 97 (18): 184502. arXiv : astro-ph/0606473 . Бибкод : 2006PhRvL..97r4502S . doi : 10.1103/physrevlett.97.184502 . ISSN   0031-9007 . ПМИД   17155546 . S2CID   119035530 .
• Стоун, Дж. М., Гэмми, К. Ф., Бальбус, С. А. и Хоули, Дж. Ф. 2000, в «Протозвездах и планетах IV», изд. В.Мэннингс, А.Босс и С.Рассел, Space Science Reviews, стр. 589. Тусон: Университет Аризоны.
• Велихов Е.П. 1959, Ж.Эксп. Теор. Физ. (СССР), 36, 1398 г.
• Уиллер, Дж. К. 2004, Достижения в космических исследованиях, 34, 12, 2744.

Дальнейшее чтение

• Бальбус, Стивен А. (июнь 2003 г.). «Улучшенный перенос углового момента в аккреционных дисках». Ежегодный обзор астрономии и астрофизики . 41 : 555–597. arXiv : astro-ph/0306208 . Бибкод : 2003ARA&A..41..555B . дои : 10.1146/annurev.astro.41.081401.155207 . S2CID   45836806 .
• Блез, Омер (октябрь 2004 г.). «Вселенная дисков» (PDF) . Научный американец . 289 (4): 48–57. Бибкод : 2004SciAm.291d..48B . дои : 10.1038/scientificamerican1004-48 . ПМИД   15487670 .
• Франк, Юхан; Король, Эндрю; Рейн, Дерек (11 февраля 2002 г.). Мощность аккреции в астрофизике (3-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-62957-8 .