2 π Теорема

В математике о 2 π теорема Громова заполнение и Терстона устанавливает достаточное условие для того, чтобы Дена на гиперболическом 3-многообразии с выступами привело к образованию отрицательно искривленного 3-многообразия.

Пусть M — гиперболическое 3-многообразие с каспами. Можно выбрать непересекающиеся хоробальные окрестности каждого узла возврата. Границы этих окрестностей являются факторами орисфер и, следовательно, имеют евклидову метрику. Наклон, то есть неориентированный изотопический класс простых замкнутых кривых на этих границах, таким образом, имеет четко определенную длину, беря минимальную евклидову длину для всех кривых в изотопическом классе. Теорема о 2 π гласит: заполнение M по Дену с наклоном каждого заполнения больше 2 π приводит к образованию 3-многообразия с полной метрикой отрицательной секционной кривизны. Фактически, эту метрику можно выбрать идентичной исходной гиперболической метрике вне окрестностей орибола.

Основная идея доказательства состоит в том, чтобы явно построить метрику отрицательной кривизны внутри каждой окрестности орисферического шара, которая соответствует метрике вблизи границы орисферы. Эта конструкция с использованием цилиндрических координат работает, когда уклон заполнения превышает 2 π . см. в Bleiler & Hodgson (1996) Более подробную информацию .

Согласно гипотезе геометризации , эти отрицательно искривленные 3-многообразия должны фактически допускать полную гиперболическую метрику. Аргумент об упаковке хоробола, предложенный Терстоном, показывает, что на каждом выступе необходимо избегать не более 48 наклонов, чтобы получить гиперболическое трехмерное многообразие. Для гиперболических трехмерных многообразий с одним возвратом улучшение, предложенное Колином Адамсом, дает 24 исключительных наклона.

Позже этот результат был независимо улучшен Яном Аголом ( 2000 ) и Марком Лакенби ( 2000 ) с помощью теоремы 6 . «Теорема 6» утверждает, что заполнение Дена вдоль наклонов длины больше 6 приводит к гиперболическому 3-многообразию, т.е. неприводимому , тороидальному , не расслоенному по Зейферту 3-многообразию с бесконечной слов гиперболической фундаментальной группой . Еще раз приняв гипотезу геометризации , эти многообразия имеют полную гиперболическую метрику. Аргументация Аголя показывает, что существует не более 12 исключительных склонов.

Ссылки

• Агол, Ян (2000), «Границы исключительного заполнения Дена», Geometry & Topology , 40 : 431–449, arXiv : math/9906183 , doi : 10.2140/gt.2000.4.431 , MR   1799796 .
• Блейлер, Стивен А.; Ходжсон, Крейг Д. (1996), «Формы сферического пространства и заполнение Дена», Топология , 35 (3): 809–833, doi : 10.1016/0040-9383(95)00040-2 , MR   1396779 .
• Марк 2000 , ( Лакенби (2): 243–282, ) :math/9808120, Bibcode:2000InMat.140..243L, doi:10.1007/s002220000047, MR . .