Представление основной серии

В математике некоторых представления основных серий видов топологической группы G встречаются в случае, когда G не является компактной группой . Там по аналогии со спектральной теорией ожидают, что регулярное представление группы G будет разлагаться по какому-то непрерывному спектру представлений, включающих непрерывный параметр, а также по дискретному спектру . Представления основных серий — это некоторые индуцированные представления , построенные единообразно для заполнения непрерывной части спектра.

Более подробно, унитарное двойственное пространство — это пространство всех представлений, имеющих отношение к декомпозиции регулярного представления. Дискретная серия состоит из «атомов» унитарно-двойственного (точек, несущих меру Планшереля > 0). В самых ранних изученных примерах остальную (или большую часть) унитарно-двойственную группу можно было параметризовать, начав с подгруппы H группы G , более простой, но не компактной, и построив индуцированные представления с использованием представлений H , которые были доступны в смысле легко записать и включить параметр. (Такой процесс индукции может привести к представлениям, которые не являются унитарными.)

В случае полупростой группы Ли G подгруппа H строится исходя из разложения Ивасавы

Г = МОЖЕТ

где K подгруппа — максимальная компактная . Тогда H выбирается так, чтобы она содержала AN (которая является некомпактной разрешимой группой Ли ), принимая ее в виде

Ч := ЧЕЛОВЕК

с M централизатором ​ в K of A . представления ρ группы H Рассматриваются , которые являются неприводимыми, унитарными и являются тривиальным представлением на подгруппе N . (Предполагая случай M тривиальной группой, такие ρ являются аналогами представлений группы диагональных матриц внутри специальной линейной группы .) Индуцированные представления таких ρ составляют главный ряд. Основная сферическая серия состоит из представлений, индуцированных из одномерных представлений MAN, полученных расширением характеров A используя гомоморфизм MAN на A .

Могут существовать и другие непрерывные серии представлений, относящиеся к унитарному двойственному: как следует из их названия, основные серии являются «основным» вкладом.

Было обнаружено, что этот тип конструкции применим к группам G, не являющимся группами Ли (например, конечным группам лиева типа , группам над p-адическими полями ).

Примеры

Примеры см. в теории представлений SL ₂ (R) . Для общей линейной группы GL ₂ над локальным полем размерность модуля Жаке представления главной серии равна двум.

Внешние ссылки

• А.И. Штерн (2001) [1994], «Непрерывный ряд представлений» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Вычисление унитарного двойника (PDF)