Симметричное произведение алгебраической кривой

В математике симметричное n -кратное произведение алгебраической кривой C является фактор-пространством n - кратного декартова произведения.

С × С × ... × С

или С ^н групповым действием симметрической группы Sn _{букв ,} на n переставляющих множители. Оно существует как гладкое алгебраическое многообразие, обозначаемое Σ ^н С. ​Если C — компактная риманова поверхность , Σ ^н Следовательно, C является комплексным многообразием . Его интерес по отношению к классической геометрии кривых состоит в том, что его точки соответствуют эффективным делителям на C степени n , то есть формальным суммам точек с неотрицательными целыми коэффициентами.

Для C проективная линия (скажем, сфера Римана $\mathbb {C}$ ∪ {∞} ≈ S ² ), его n-е симметричное произведение Σ ^н C можно отождествить со сложным проективным пространством. $\mathbb {CP} ^{n}$ размерности n .

Если G имеет род g ≥ 1, то Σ ^н C связаны с якобианом многообразия J C . тесно Точнее, для n, принимающих значения до g, они образуют последовательность аппроксимаций J снизу: их изображения в J при добавлении на J (см. тета-дивизор ) имеют размерность n и заполняют J , с некоторыми отождествлениями, вызванными специальными делителями .

Для g = n имеем Σ ^г C фактически бирационально эквивалентен J ; якобиан представляет собой раздутие симметричного произведения. Это означает, что на уровне функциональных полей можно построить J, взяв линейно непересекающиеся копии функционального поля C и внутри их композитума, взяв фиксированное подполе симметричной группы. Это источник техники Андре Вейля , заключающейся в построении J как абстрактной разновидности из «бирациональных данных». другие способы построения J , например, как многообразие Пикара . Сейчас предпочтительны но это означает, что для любой рациональной функции F на C

F ( Икс ₁ ) + ... + F ( Икс _г )

функция на J , поскольку xi _{находится} вдали от полюсов F. имеет смысл как рациональная

При n > g отображение из Σ ^н C в J путем сложения его над J ; когда n достаточно велико (примерно в два раза g ), это становится проективным пространственным расслоением ( расслоением Пикара ). Его подробно изучали, например, Кемпф и Мукаи.

Числа Бетти и эйлерова характеристика симметричного произведения

Пусть C — гладкая проективная кривая рода g над комплексными числами C . b Числа Бетти i ₍ Σ ^н C) симметричных произведений Σ ^н C для всех n = 0, 1, 2,... задаются производящей функцией

$\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{i=0}^{2n}b_{i}(\Sigma ^{n}C)y^{n}u^{i-n}={\frac {(1+y)^{2g}}{(1-uy)(1-u^{-1}y)}}$

и их эйлеровы характеристики e (Σ ^н C) задаются производящей функцией

$\sum _{n=0}^{\infty }e(\Sigma ^{n}C)p^{n}=(1-p)^{2g-2}.$

Здесь мы установили u = -1 и y = - p в предыдущей формуле.

Ссылки

• Макдональд, И.Г. (1962), «Симметрические произведения алгебраической кривой», Топология , 1 (4): 319–343, doi : 10.1016/0040-9383(62)90019-8 , MR   0151460
• Андерсон, Грег В. (2002), «Абелианты и их применение к элементарной конструкции якобианов», Advances in Mathematics , 172 (2): 169–205, arXiv : math/0112321 , doi : 10.1016/S0001-8708(02) )00024-5 , МР   1942403