Усеченный треугольный трапецоэдр

Усеченный треугольный трапецоэдр
Усеченный треугольный трапецоэдр
Тип	Усеченный трапецоэдр
Лица	6 пятиугольников , ; 2 треугольника
Края	18
Вершины	12
Группа симметрии	Д 3д , [2 + ,6], (2*3)
Двойной многогранник	Гироудлиненная треугольная бипирамида
Характеристики	выпуклый

В геометрии — усеченный треугольный трапецоэдр первый в бесконечном ряду усеченных трапецоэдров . У него 6 пятиугольников и 2 треугольника .

Геометрия

Этот многогранник можно построить путем усечения двух противоположных вершин куба ромбовидными , тригонального трапецоэдра (выпуклый многогранник с шестью конгруэнтными сторонами , образованный растяжением или сжатием куба вдоль одной из его длинных диагоналей), ромбоэдра или параллелепипеда ( менее симметричные многогранники, которые по-прежнему имеют ту же комбинаторную структуру, что и куб). В случае куба или тригонального трапецоэдра, где две усеченные вершины лежат на осях растяжения, полученная форма имеет тройную вращательную симметрию .

Твердый Дюрер

Этот многогранник иногда называют телом Дюрера из-за его появления на гравюре Альбрехта Дюрера 1514 года «Меланхолия I» .Граф, образованный своими ребрами и вершинами, называется графом Дюрера .

Форма твердого тела, изображенного Дюрером, является предметом некоторых академических дискуссий. ^[1] Согласно Линчу (1982) , гипотеза о том, что эта форма представляет собой неправильно нарисованный усеченный куб, была выдвинута Штраусом (1972) ; однако большинство источников сходятся во мнении, что это усечение ромбоэдра . Несмотря на это соглашение, точная геометрия этого ромбоэдра является предметом нескольких противоречивых теорий:

Рихтер (1957) утверждает, что ромбы ромбоэдра, из которых образована эта форма, имеют соотношение между их короткой и длинной диагоналями 5:6, из чего острые углы ромбовидных тел будут составлять примерно 80°.
Вместо этого Шредер (1980) и Линч (1982) пришли к выводу, что это соотношение равно ${\sqrt {3}}:2$ и что угол составляет примерно 82°.
МакГиллаври (1981) измеряет особенности рисунка и обнаруживает, что угол составляет примерно 79°. Она и более поздний автор Вольф фон Энгельхардт (см. Хидеко 2009 ) утверждают, что такой выбор угла обусловлен его физическим возникновением в кальцита кристаллах .
Шрайбер (1999) на основе работ Дюрера утверждает, что все вершины тела Дюрера лежат на общей сфере, а также утверждает, что углы ромба равны 72 °. Хидеко (2009) перечисляет нескольких других ученых, которые также поддерживают теорию 72 °, начиная с Пола Гродзински в 1955 году. Он утверждает, что эта теория мотивирована не столько анализом реального рисунка, сколько эстетическими принципами, касающимися правильных пятиугольников и золотых соотношение .
Вайцель (2004) анализирует эскиз того же твердого тела, сделанный Дюрером в 1510 году, и подтверждает гипотезу Шрайбера о том, что форма имеет описанную сферу, но с углами ромба примерно 79,5 °.
Хидеко (2009) утверждает, что форма предназначена для изображения решения знаменитой геометрической задачи удвоения куба , о которой Дюрер также писал в 1525 году. Таким образом, он приходит к выводу, что (до того, как углы будут отрезаны) форма представляет собой вытянутый куб. вдоль его длинной диагонали. В частности, он утверждает, что Дюрер нарисовал настоящий куб с длинной диагональю, параллельной плоскости перспективы , а затем увеличил свой рисунок в некотором смысле в направлении длинной диагонали; результат будет таким же, как если бы он нарисовал вытянутое тело. Коэффициент увеличения, соответствующий удвоению куба, равен 2. ^1/3 ≈ 1,253, но Хидеко выводит другой коэффициент увеличения, который лучше соответствует рисунку, 1,277, более сложным способом.
Футамура, Франц и Краннелл (2014) классифицируют предлагаемые решения этой проблемы по двум параметрам: острому углу и уровню резания, называемому перекрестным соотношением. Их оценка перекрестного отношения близка к оценке МакГиллаври и имеет числовое значение, близкое к золотому сечению . На основании этого они полагают, что острый угол равен $2\arctan(\varphi /2)\approx 78^{\circ }$ и что перекрестное отношение точно $\varphi$ .

См. также

Тетраэдр со скошенными кромками — еще одна форма, образованная путем усечения подмножества вершин куба.

Примечания

^ См. Weitzel (2004) и Ziegler (2014) , из которых взята большая часть следующей истории.

Ссылки

Линч, Теренс (1982), «Геометрическое тело на гравюре Дюрера «Меланхолия I », Журнал Институтов Варбурга и Курто , 45 , Институт Варбурга: 226–232, doi : 10.2307/750979 , JSTOR 750979 , S2CID 195047691 .
МакГиллаври, К. (1981), «Многогранник в Меленхолии I А. Дюрера», Nederl. Акад. Ветенш. Учеб. Сер. Б , 84 : 287–294 . Цитируется Вейцелем (2004) .
Рихтер, Д.Х. (1957), «Перспектива и пропорции в «Меланхолии» Альбрехта Дюрера », Z. Surveying , 82 : 284–288 и 350–357 . Цитируется Вейцелем (2004) .
Шрайбер, Питер (1999), «Новая гипотеза о загадочном многограннике Дюрера в его гравюре на меди «Меленколия I» », Historia Mathematica , 26 (4): 369–377, doi : 10.1006/hmat.1999.2245 .
Шредер, Э. (1980), Дюрер, Искусство и геометрия, художественное творчество Дюрера с точки зрения его «Underweysung» , Базель {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) . Цитируется Вейцелем (2004) .
Штраус, Вальтер Л. (1972), Полное собрание гравюр Дюрера , Нью-Йорк, с. 168, ISBN 0-486-22851-7 {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) . Цитируется Линчем (1982) .
Вебер, П. (1900), Вклад в мировоззрение Дюрера - исследование трех гравюр «Рыцарь, смерть и дьявол, меланхолия и святой Иероним в футляре» , Страсбург {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) . Цитируется Вейцелем (2004) .
Вайцель, Ганс (2004), «Дальнейшая гипотеза о многограннике гравюры А. Дюрера Меланхолия I», Historia Mathematica , 31 (1): 11–14, doi : 10.1016/S0315-0860(03)00029-6 .
Хидеко, Исидзу (2009), «Другое решение многогранника в «Меленхолии» Дюрера : визуальная демонстрация делосской проблемы» (PDF) , Эстетика , 13 , Японское общество эстетики: 179–194 .
Циглер, Гюнтер М. (3 декабря 2014 г.), «Многогранник Дюрера: 5 теорий, объясняющих сумасшедший куб Меланхолии» , «Приключения Алекса Беллоса в стране чисел», The Guardian .
Футамура, Ф .; Франц, М.; Крэннелл, А. (2014), «Перекрестное соотношение как параметр формы тела Дюрера», Journal of Mathematics and the Arts , 8 (3–4): 111–119, arXiv : 1405.6481 , doi : 10.1080/17513472.2014.974483 , S2CID 120958490 .

Внешние ссылки

[1] См. Weitzel (2004) и Ziegler (2014) , из которых взята большая часть следующей истории.

[1]