Крышка продукта

В алгебраической топологии кепочное произведение — это метод присоединения цепи степени p к коцепи степени q такой, что q ≤ p , для образования составной цепи степени p − q . Он был введен Эдуардом Чехом в 1936 году и независимо Хасслером Уитни в 1938 году.

Определение

Пусть X — топологическое пространство , а R — кольцо коэффициентов. Продукт шапки представляет собой билинейное отображение сингулярных гомологий и когомологий.

$\frown \;:H_{p}(X;R)\times H^{q}(X;R)\rightarrow H_{p-q}(X;R).$

определяется стягиванием особой цепи $\sigma :\Delta \ ^{p}\rightarrow \ X$ с единственной коцепью $\psi \in C^{q}(X;R),$ по формуле:

$\sigma \frown \psi =\psi (\sigma |_{[v_{0},\ldots ,v_{q}]})\sigma |_{[v_{q},\ldots ,v_{p}]}.$

Здесь обозначение $\sigma |_{[v_{0},\ldots ,v_{q}]}$ указывает на ограничение симплициального отображения $\sigma$ к его грани, натянутой векторами основания, см. Симплекс .

Интерпретация

По аналогии с интерпретацией чашечного произведения с точки зрения формулы Кюннета , существование шапочного произведения можно объяснить следующим образом. Используя приближение CW, мы можем предположить, что $X$ представляет собой CW-комплекс и $C_{\bullet }(X)$ (и $C^{\bullet }(X)$) представляет собой комплекс его клеточных цепей (или коцепей соответственно). Рассмотрим тогда композицию $$C_{\bullet }(X)\otimes C^{\bullet }(X){\overset {\Delta _{*}\otimes \mathrm {Id} }{\longrightarrow }}C_{\bullet }(X)\otimes C_{\bullet }(X)\otimes C^{\bullet }(X){\overset {\mathrm {Id} \otimes \varepsilon }{\longrightarrow }}C_{\bullet }(X)$$где мы берем тензорные произведения цепных комплексов , $\Delta \colon X\to X\times X$ - диагональное отображение , индуцирующее отображение $$\Delta _{*}\colon C_{\bullet }(X)\to C_{\bullet }(X\times X)\cong C_{\bullet }(X)\otimes C_{\bullet }(X)$$на цепном комплексе, и $\varepsilon \colon C_{p}(X)\otimes C^{q}(X)\to \mathbb {Z}$ — карта оценки (всегда 0, за исключением $p=q$).

Затем эта композиция переходит в частное для определения предельного продукта. $\frown \colon H_{\bullet }(X)\times H^{\bullet }(X)\to H_{\bullet }(X)$, и если внимательно посмотреть на приведенную выше композицию, видно, что она действительно имеет форму карт $\frown \colon H_{p}(X)\times H^{q}(X)\to H_{p-q}(X)$, который всегда равен нулю для $p<q$.

Фундаментальный класс

Для любой точки $x$ в $M$, мы имеем длинную точную последовательность в гомологии (с коэффициентами в $R$) пары (M, M - {x}) (См. Относительные гомологии )

$\cdots \to H_{n}(M-{x};R){\stackrel {i_{*}}{\to }}H_{n}(M;R){\stackrel {j_{*}}{\to }}H_{n}(M,M-{x};R){\stackrel {\partial }{\to }}H_{n-1}(M-{x};R)\to \cdots .$

Элемент $[M]$ из $H_{n}(M;R)$ называется фундаментальным классом для $M$ если $j_{*}([M])$ является генератором $H_{n}(M,M-{x};R)$. Фундаментальный класс $M$ существует, если $M$ замкнуто и R-ориентируемо . Фактически, если $M$ представляет собой замкнутый, связный и $R$-ориентируемое многообразие, отображение $H_{n}(M;R){\stackrel {j_{*}}{\to }}H_{n}(M,M-{x};R)$ является изоморфизмом для всех $x$ в $R$ и, следовательно, мы можем выбрать любой генератор $H_{n}(M;R)$ как основной класс.

Связь с двойственностью Пуанкаре

Для закрытого $R$-ориентируемое n-многообразие $M$ с фундаментальным классом $[M]$ в $H_{n}(M;R)$ (который мы можем выбрать в качестве любого генератора $H_{n}(M;R)$), карта продукта кепки $$H^{k}(M;R)\to H_{n-k}(M;R),\alpha \mapsto [M]\frown \alpha$$является изоморфизмом для всех $k$. Этот результат известен как двойственность Пуанкаре .

Наклонный продукт

Если в приведенном выше обсуждении заменить $X\times X$ к $X\times Y$, конструкцию можно (частично) воспроизвести, начиная с отображений $$C_{\bullet }(X\times Y)\otimes C^{\bullet }(Y)\cong C_{\bullet }(X)\otimes C_{\bullet }(Y)\otimes C^{\bullet }(Y){\overset {\mathrm {Id} \otimes \varepsilon }{\longrightarrow }}C_{\bullet }(X)$$и $$C^{\bullet }(X\times Y)\otimes C_{\bullet }(Y)\cong C^{\bullet }(X)\otimes C^{\bullet }(Y)\otimes C_{\bullet }(Y){\overset {\mathrm {Id} \otimes \varepsilon }{\longrightarrow }}C^{\bullet }(X)$$

чтобы получить соответственно наклонные произведения $/$: $$H_{p}(X\times Y;R)\otimes H^{q}(Y;R)\rightarrow H_{p-q}(X;R)$$ и $$H^{p}(X\times Y;R)\otimes H_{q}(Y;R)\rightarrow H^{p-q}(X;R).$$

В случае X = Y первый из них связан с продуктом ограничения диагональным отображением: $\Delta _{*}(a)/\phi =a\frown \phi$.

Эти «произведения» в некотором смысле больше похожи на деление, чем на умножение, что отражено в их обозначениях.

Уравнения

Граница продукта ограничения определяется как:

$\partial (\sigma \frown \psi )=(-1)^{q}(\partial \sigma \frown \psi -\sigma \frown \delta \psi ).$

Учитывая отображение f, индуцированные отображения удовлетворяют:

$f_{*}(\sigma )\frown \psi =f_{*}(\sigma \frown f^{*}(\psi )).$

Колпачок и чашка связаны между собой:

$\psi (\sigma \frown \varphi )=(\varphi \smile \psi )(\sigma )$

где

$\sigma :\Delta ^{p+q}\rightarrow X$, $\psi \in C^{q}(X;R)$ и $\varphi \in C^{p}(X;R).$

Если $\sigma$ допускается иметь более высокую степень, чем $p+q$, последнее тождество принимает более общий вид

$(\sigma \frown \varphi )\frown \psi =\sigma \frown (\varphi \smile \psi )$

что делает $H_{\ast }(X;R)$ в право $H^{\ast }(X;R)$- модуль .

См. также

• Кубок продукта
• Двойственность Пуанкаре
• Особые гомологии
• Теория гомологии

Ссылки

• Хэтчер, А. , Алгебраическая топология , издательство Кембриджского университета (2002). ISBN   0-521-79540-0 . Подробное обсуждение теорий гомологии симплициальных комплексов и многообразий, сингулярных гомологии и т. д.
• Мэй Дж. П. (1999). Краткий курс алгебраической топологии (PDF) . Издательство Чикагского университета . Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г. Проверено 27 сентября 2008 г. В разделе 2.7 представлено теоретико-категорное представление теоремы как копредела в категории группоидов.
• наклонный продукт в n Lab
• Двойственность Пуанкаре в n лаборатории