Примитивная часть и содержание

В алгебре содержимое (или, в более общем смысле ненулевого многочлена с целыми коэффициентами , с коэффициентами в уникальной области факторизации ) является наибольшим общим делителем его коэффициентов. Примитивной частью такого многочлена является частное многочлена по его содержимому. многочлен является продуктом своей примитивной части и своего содержания, и эта факторизация уникальна с точностью до умножения содержания на единицу кольца Таким образом , коэффициентов (и умножения примитивной части на обратную единицу). .

Полином является примитивным, если его содержимое равно 1. Таким образом, примитивная часть многочлена является примитивным многочленом.

Лемма Гаусса для многочленов утверждает, что произведение примитивных многочленов (с коэффициентами в одной и той же уникальной области факторизации) также является примитивным. Это означает, что содержание и примитивная часть произведения двух многочленов являются соответственно продуктом содержания и произведения примитивных частей.

Поскольку вычисление наибольших общих делителей обычно намного проще, чем полиномиальная факторизация , первым шагом алгоритма полиномиальной факторизации обычно является вычисление его примитивной факторизации части-содержимого (см. Факторизация многочленов § Примитивная факторизация части-содержания ). Тогда задача факторизации сводится к факторизации отдельно содержимого и примитивной части.

Содержимое и примитивная часть могут быть обобщены до полиномов над рациональными числами и, в более общем плане, до полиномов над полем дробей уникальной области факторизации. Это делает по существу эквивалентными задачи вычисления наибольших общих делителей и факторизации многочленов по целым числам и многочленов по рациональным числам.

Над целыми числами

Для многочлена с целыми коэффициентами содержимым может быть либо наибольший общий делитель коэффициентов, либо его аддитивный обратный элемент . Выбор произволен и может зависеть от дальнейшего соглашения, которое обычно заключается в том, что старший коэффициент примитивной части должен быть положительным.

Например, содержание $-12x^{3}+30x-20$ может быть либо 2, либо -2, поскольку 2 является наибольшим общим делителем -12, 30 и -20. Если в качестве содержимого выбрать 2, примитивная часть этого многочлена будет равна

-6x^{3}+15x-10={\frac {-12x^{3}+30x-20}{2}},

и, таким образом, факторизация примитивной части содержания

-12x^{3}+30x-20=2(-6x^{3}+15x-10).

По эстетическим соображениям часто предпочитают выбирать отрицательное содержание, здесь -2, что дает факторизацию содержания примитивной части.

-12x^{3}+30x-20=-2(6x^{3}-15x+10).

Характеристики

В оставшейся части этой статьи мы рассматриваем полиномы в уникальной области факторизации $R$ , которая обычно может быть кольцом целых чисел или кольцом полиномов над полем . В $R$ четко общие делители определены и уникальны с точностью до умножения на единицу R $максимальные$ .

Содержимое . $c (P)$ многочлена $P$ с коэффициентами из $R$ является наибольшим общим делителем его коэффициентов и, как таковое, определяется с точностью до умножения на единицу Примитивная часть $pp(P)$ P $—$ это частное $P / c (P)$ P $;$ по его содержимому это многочлен с коэффициентами из $R$ , который уникален с точностью до умножения на единицу. Если содержимое изменяется путем умножения на единицу $u$ , то примитивную часть необходимо изменить путем деления ее на ту же единицу, чтобы сохранить равенство $P=c(P)\operatorname {pp} (P),$ которая называется факторизацией примитивной части содержимого $P$ .

Основные свойства содержания и примитивной части являются результатами леммы Гаусса , которая утверждает, что произведение двух примитивных многочленов является примитивным, где многочлен является примитивным, если 1 является наибольшим общим делителем его коэффициентов. Это подразумевает:

Содержание произведения многочленов является произведением их содержимого: $c(P_{1}P_{2})=c(P_{1})c(P_{2}).$
Примитивная часть произведения многочленов — это произведение их примитивных частей: $\operatorname {pp} (P_{1}P_{2})=\operatorname {pp} (P_{1})\operatorname {pp} (P_{2}).$
Содержимым наибольшего общего делителя многочленов является наибольший общий делитель (в $R$ ) их содержимого: $c(\operatorname {gcd} (P_{1},P_{2}))=\operatorname {gcd} (c(P_{1}),c(P_{2})).$
Примитивная часть наибольшего общего делителя многочленов — это наибольший общий делитель (в $R$ ) их примитивных частей: $\operatorname {pp} (\operatorname {gcd} (P_{1},P_{2}))=\operatorname {gcd} (\operatorname {pp} (P_{1}),\operatorname {pp} (P_{2})).$
Полная факторизация многочлена над $R$ является продуктом факторизации (в $R$ ) содержимого и факторизации (в кольце полиномов) примитивной части.

Последнее свойство подразумевает, что вычисление факторизации полинома по примитивной части-содержимому сводит вычисление его полной факторизации к отдельной факторизации содержания и примитивной части. В целом это интересно, поскольку вычисление факторизации содержания простых частей включает в себя только вычисление наибольшего общего делителя в $R$ , что обычно намного проще, чем факторизация.

Над рациональным объяснением

Факторизация содержания примитивных частей может быть расширена до полиномов с рациональными коэффициентами следующим образом.

Учитывая многочлен $P$ с рациональными коэффициентами, переписывая его коэффициенты с тем же общим знаменателем $d$ , можно переписать $P$ как

P={\frac {Q}{d}},

где $Q$ — многочлен с целыми коэффициентами.Содержимое , P $—$ это частное по $d$ содержимого $Q$ то есть

c(P)={\frac {c(Q)}{d}},

а примитивная часть P $Q$ примитивной частью $:$ является

\operatorname {pp} (P)=\operatorname {pp} (Q).

Легко показать, что это определение не зависит от выбора общего знаменателя и что факторизация примитивной части-содержания остается справедливой:

P=c(P)\operatorname {pp} (P).

Это показывает, что каждый многочлен от рациональных чисел связан с уникальным примитивным многочленом от целых чисел и что алгоритм Евклида позволяет вычислить этот примитивный многочлен.

Следствием этого является то, что факторизация полиномов по рациональным числам эквивалентна факторизации примитивных многочленов по целым числам. Поскольку полиномы с коэффициентами в поле встречаются чаще, чем полиномы с целыми коэффициентами, может показаться, что эту эквивалентность можно использовать для факторизации полиномов с целыми коэффициентами. На самом деле, правда как раз наоборот: каждый известный эффективный алгоритм факторизации многочленов с рациональными коэффициентами использует эту эквивалентность для сведения задачи по модулю некоторого простого числа $p$ (см. Факторизация многочленов ).

Эта эквивалентность также используется для вычисления наибольших общих делителей многочленов, хотя алгоритм Евклида определен для многочленов с рациональными коэффициентами. Фактически, в этом случае алгоритм Евклида требует вычисления приведенной формы многих дробей, и это делает алгоритм Евклида менее эффективным, чем алгоритмы, которые работают только с полиномами над целыми числами (см. Полиномиальный наибольший общий делитель ).

Над полем дробей

Результаты предыдущего раздела остаются в силе, если кольцо целых чисел и поле рациональных чисел соответственно заменяются любой уникальной областью факторизации $R$ и ее полем дробей $K$ .

Обычно это используется для факторизации многомерных полиномов , а также для доказательства того, что кольцо многочленов в уникальной области факторизации также является уникальной областью факторизации.

Уникальное свойство факторизации колец многочленов

Кольцо многочленов над полем является уникальной областью факторизации. То же самое верно и для кольца полиномов в уникальной области факторизации. Чтобы доказать это, достаточно рассмотреть одномерный случай, так как общий случай можно вывести индукцией по числу неопределенных.

Уникальное свойство факторизации является прямым следствием леммы Евклида : если неприводимый элемент делит произведение, то он делит один из множителей. Для одномерных полиномов над полем это следует из тождества Безу , которое само по себе является результатом алгоритма Евклида .

Итак, пусть $R$ — уникальная область факторизации, которая не является полем, а $R [X] —$ одномерных многочленов над $R.$ кольцо Неприводимый элемент $r$ в $R [X]$ — это либо неприводимый элемент в $R,$ либо неприводимый примитивный полином.

Если $r$ находится в $R$ и делит произведение $P_{1}P_{2}$ двух полиномов, то он делит содержимое $c(P_{1}P_{2})=c(P_{1})c(P_{2}).$ Таким образом, по лемме Евклида в $R$ он делит одно из содержаний и, следовательно, один из многочленов.

Если $r$ не $R$ , это примитивный полином (поскольку он неприводим). Евклида в $R [X]$ непосредственно следует из леммы Евклида в $K [X]$ , где $K$ — поле частных $R.$ Тогда лемма

Факторизация многомерных полиномов

Для факторизации многомерного многочлена по полю или целым числам его можно рассматривать как одномерный многочлен с коэффициентами в кольце многочленов с одним неопределенным меньше. Тогда факторизация сводится к факторизации отдельно примитивной части и содержимого. Поскольку в содержании на одну неопределенную величину меньше, его можно факторизовать, применив метод рекурсивно . Для факторизации примитивной части стандартный метод состоит из замены целых чисел неопределенными коэффициентами таким образом, чтобы не изменить степень оставшейся переменной, факторизации полученного одномерного многочлена и поднятия результата до факторизации примитивной части. .

См. также

Теорема о рациональном корне

Ссылки

Б. Хартли ; Т. О. Хоукс (1970). Кольца, модули и линейная алгебра . Чепмен и Холл. ISBN 0-412-09810-5 .
Страница 181 из Ланг, Серж (1993), Алгебра (Третье изд.), Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли, ISBN 978-0-201-55540-0 , Збл 0848.13001
Дэвид Шарп (1987). Кольца и факторизация . Издательство Кембриджского университета . стр. 68–69 . ISBN 0-521-33718-6 .