Фаза (волны)

В физике и математике — фаза (символ φ или φ) волновой или другой периодической функции. $F$ некоторой действительной переменной $t$ (например, время) представляет собой величину, подобную углу , представляющую долю цикла, пройденную до $t$ . Она выражена в таком масштабе , что изменяется на один полный оборот по мере изменения переменной $t$ проходит через каждый период (и $F(t)$ проходит каждый полный цикл). Его можно измерить в любой угловой единице, например, в градусах или радианах , увеличивая таким образом на 360° или $2\pi$ как переменная $t$ завершает полный период. ^[1]

Это соглашение особенно подходит для синусоидальной функции, поскольку ее значение при любом аргументе $t$ тогда можно выразить как $\varphi (t)$ , синус фазы, умноженный на некоторый коэффициент ( амплитуда синусоиды). ( Вместо синуса можно использовать косинус , в зависимости от того, где считается начало каждого периода.)

Обычно при выражении фазы игнорируются целые обороты; так что $\varphi (t)$ также является периодической функцией с тем же периодом, что и $F$ , который неоднократно сканирует тот же диапазон углов, что и $t$ проходит каждый период. Затем, $F$ говорят, что он находится «в одной фазе» при двух значениях аргумента $t_{1}$ и $t_{2}$ (то есть, $\varphi (t_{1})=\varphi (t_{2})$ ), если разница между ними составляет целое число периодов.

Числовое значение фазы $\varphi (t)$ зависит от произвольного выбора начала каждого периода и от интервала углов, которому должен быть сопоставлен каждый период.

Термин «фаза» также используется при сравнении периодической функции. $F$ со смещенной версией $G$ этого. Если сдвиг в $t$ выражается в долях периода, а затем масштабируется до угла $\varphi$ охватывая весь оборот, можно получить сдвиг фазы , сдвиг фазы или фаз разность $G$ относительно $F$ . Если $F$ является «канонической» функцией для класса сигналов, например $\sin(t)$ для всех синусоидальных сигналов, то $\varphi$ называется начальной фазой $G$ .

Математическое определение

Пусть сигнал $F$ быть периодической функцией одной действительной переменной, и $T$ быть его периодом (то есть наименьшим положительным действительным числом таким, что $F(t+T)=F(t)$ для всех $t$ ). Затем наступает фаза $F$ при любом споре $t$ является $\varphi (t)=2\pi \left[\!\!\left[{\frac {t-t_{0}}{T}}\right]\!\!\right]$

Здесь $[\![\,\cdot \,]\!]\!\,$ обозначает дробную часть действительного числа, отбрасывая его целую часть; то есть, $[\![x]\!]=x-\left\lfloor x\right\rfloor \!\,$ ; и $t_{0}$ — произвольное «исходное» значение аргумента, которое считается началом цикла.

Эту концепцию можно визуализировать, представив часы со стрелкой, которая вращается с постоянной скоростью и делает полный оборот каждый раз. $T$ секунд и указывает прямо вверх во время $t_{0}$ . Этап $\varphi (t)$ тогда угол от положения 12:00 до текущего положения стрелки в момент времени $t$ , измеряется по часовой стрелке .

Концепция фазы наиболее полезна, когда начало координат $t_{0}$ выбирается исходя из особенностей $F$ . Например, для синусоиды удобным выбором является любая $t$ где значение функции изменяется от нуля до положительного.

Приведенная выше формула дает фазу как угол в радианах между 0 и $2\pi$ . Чтобы получить фазу как угол между $-\pi$ и $+\pi$ , вместо этого используется $\varphi (t)=2\pi \left(\left[\!\!\left[{\frac {t-t_{0}}{T}}+{\frac {1}{2}}\right]\!\!\right]-{\frac {1}{2}}\right)$

Фаза, выраженная в градусах (от 0° до 360° или от -180° до +180°), определяется таким же образом, за исключением «360°» вместо «2π».

Последствия

В любом из приведенных выше определений фаза $\varphi (t)$ периодического сигнала тоже является периодическим, с тем же периодом $T$ : $\varphi (t+T)=\varphi (t)\quad \quad {\text{ for all }}t.$

Фаза равна нулю в начале каждого периода; то есть $\varphi (t_{0}+kT)=0\quad \quad {\text{ for any integer }}k.$

Более того, при любом выборе начала координат $t_{0}$ , значение сигнала $F$ для любого аргумента $t$ зависит только от его фазы в $t$ . А именно, можно написать $F(t)=f(\varphi (t))$ , где $f$ представляет собой функцию угла, определенную только для одного полного оборота и описывающую изменение $F$ как $t$ варьируется в пределах одного периода.

Фактически, каждый периодический сигнал $F$ с определенной формой волны можно выразить как $F(t)=A\,w(\varphi (t))$ где $w$ является «канонической» функцией фазового угла от 0 до 2π, которая описывает только один цикл этой формы сигнала; и $A$ является масштабным коэффициентом для амплитуды. (Это утверждение предполагает, что время начала $t_{0}$ выбран для расчета фазы $F$ соответствует аргументу 0 из $w$ .)

Добавление и сравнение этапов

Поскольку фазы представляют собой углы, любые целые полные обороты обычно следует игнорировать при выполнении арифметических операций над ними. То есть сумму и разность двух фаз (в градусах) следует вычислять по формулам $360\,\left[\!\!\left[{\frac {\alpha +\beta }{360}}\right]\!\!\right]\quad \quad {\text{ and }}\quad \quad 360\,\left[\!\!\left[{\frac {\alpha -\beta }{360}}\right]\!\!\right]$ соответственно. Так, например, сумма фазовых углов 190° + 200° равна 30° ( 190 + 200 = 390 , минус один полный оборот), а вычитание 50° из 30° дает фазу 340° ( 30 − 50 = − 20 плюс один полный оборот).

Аналогичные формулы справедливы и для радианов: $2\pi$ вместо 360.

Фазовый сдвиг

Разница $\varphi (t)=\varphi _{G}(t)-\varphi _{F}(t)$ между фазами двух периодических сигналов $F$ и $G$ называется разностью фаз или фазовым сдвигом $G$ относительно $F$ . ^[1] При значениях $t$ когда разница равна нулю, говорят, что два сигнала находятся в фазе; в противном случае они не совпадают по фазе друг с другом.

В аналогии с часами каждый сигнал представлен стрелкой (или указателем) одних и тех же часов, вращающихся с постоянной, но, возможно, с разной скоростью. Разность фаз представляет собой угол между двумя стрелками, измеренный по часовой стрелке.

Разность фаз особенно важна, когда два сигнала складываются вместе в результате физического процесса, например, двух периодических звуковых волн, излучаемых двумя источниками и записываемых вместе микрофоном. Обычно это имеет место в линейных системах, когда справедлив принцип суперпозиции .

Для аргументов $t$ когда разность фаз равна нулю, два сигнала будут иметь одинаковый знак и будут усиливать друг друга. Говорят, что конструктивное вмешательство происходит . В спорах $t$ когда фазы разные, значение суммы зависит от формы сигнала.

Для синусоиды

Для синусоидальных сигналов, когда разность фаз $\varphi (t)$ составляет 180° ( $\pi$ радиан), говорят, что фазы противоположны , а сигналы находятся в противофазе . Тогда сигналы имеют противоположные знаки и деструктивная интерференция возникает . И наоборот, обращение фазы или инверсия фазы подразумевает сдвиг фазы на 180 градусов. ^[2]

Когда разность фаз $\varphi (t)$ составляет четверть оборота (прямой угол, +90° = π/2 или −90° = 270° = −π/2 = 3π/2 ), синусоидальные сигналы иногда называют квадратурными , например синфазными. и квадратурные компоненты составного сигнала или даже разных сигналов (например, напряжения и тока).

Если частоты разные, то разность фаз $\varphi (t)$ линейно возрастает с аргументом $t$ . Периодические смены подкрепления и противодействия вызывают явление, называемое избиением .

Для смещенных сигналов

Разность фаз особенно важна при сравнении периодического сигнала. $F$ со смещенной и, возможно, масштабированной версией $G$ этого. То есть предположим, что $G(t)=\alpha \,F(t+\tau )$ для некоторых констант $\alpha ,\tau$ и все $t$ . Предположим также, что начало координат для вычисления фазы $G$ тоже был перенесен. В этом случае разность фаз $\varphi$ является константой (независимой от $t$ ), называемый «фазовым сдвигом» или «фазовым сдвигом» $G$ относительно $F$ . В аналогии с часами эта ситуация соответствует тому, что две стрелки вращаются с одинаковой скоростью, так что угол между ними постоянен.

В этом случае фазовый сдвиг — это просто сдвиг аргумента $\tau$ , выраженный как доля общего периода $T$ (с точки зрения операции по модулю ) двух сигналов, а затем масштабируется до полного оборота: $\varphi =2\pi \left[\!\!\left[{\frac {\tau }{T}}\right]\!\!\right].$

Если $F$ является «каноническим» представителем класса сигналов, например $\sin(t)$ для всех синусоидальных сигналов, то фазовый сдвиг $\varphi$ называется просто начальной фазой $G$ .

Следовательно, когда два периодических сигнала имеют одинаковую частоту, они всегда находятся в фазе или всегда в противофазе. С физической точки зрения такая ситуация обычно возникает по многим причинам. Например, два сигнала могут представлять собой периодическую звуковую волну, записанную двумя микрофонами в разных местах. Или, наоборот, это могут быть периодические звуковые волны, создаваемые двумя отдельными динамиками из одного и того же электрического сигнала и записываемые одним микрофоном. Это может быть радиосигнал , достигающий приемной антенны по прямой линии, и его копия, отраженная от большого здания неподалеку.

Хорошо известным примером разности фаз является длина теней, видимых в разных точках Земли. В первом приближении, если $F(t)$ длина, видимая во времени $t$ в одном месте и $G$ если длина, наблюдаемая одновременно на долготе в 30° к западу от этой точки, то разность фаз между двумя сигналами составит 30° (при условии, что в каждом сигнале каждый период начинается, когда тень самая короткая).

Для синусоиды одинаковой частоты

Для синусоидальных сигналов (и некоторых других сигналов, таких как квадратные или симметричные треугольные) сдвиг фазы на 180° эквивалентен сдвигу фазы на 0° с отрицанием амплитуды. Когда два сигнала с этими формами сигналов, одинаковым периодом и противоположными фазами складываются вместе, сумма $F+G$ либо тождественно равен нулю, либо представляет собой синусоидальный сигнал с одинаковыми периодом и фазой, амплитуда которого равна разности исходных амплитуд.

Фазовый сдвиг косинусоидальной функции относительно синусоидальной функции составляет +90°. Отсюда следует, что для двух синусоидальных сигналов $F$ и $G$ с одинаковой частотой и амплитудой $A$ и $B$ , и $G$ имеет фазовый сдвиг +90° относительно $F$ , сумма $F+G$ представляет собой синусоидальный сигнал той же частоты, с амплитудой $C$ и фазовый сдвиг $-90^{\circ }<\varphi <+90^{\circ }$ от $F$ , такой, что $C={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}\quad \quad {\text{ and }}\quad \quad \sin(\varphi )=B/C.$

Реальный пример разности звуковых фаз — трель индейской флейты . Амплитуда различных гармонических составляющих одной и той же продолжительной ноты на флейте преобладает в разные моменты фазового цикла. Разницу фаз между различными гармониками можно наблюдать на спектрограмме звука трельной флейты. ^[4]

Сравнение фаз

Сравнение фаз — это сравнение фазы двух сигналов, обычно одной и той же номинальной частоты. Целью сравнения фаз по времени и частоте обычно является определение сдвига частоты (разницы между циклами сигнала) относительно опорного значения. ^[3]

Сравнение фаз можно произвести, подключив два сигнала к двухканальному осциллографу . Осциллограф отобразит два синусоидальных сигнала, как показано на рисунке справа. На соседнем изображении верхний синусоидальный сигнал представляет собой тестовую частоту , а нижний синусоидальный сигнал представляет собой опорный сигнал.

Если бы две частоты были абсолютно одинаковыми, их фазовое соотношение не изменилось бы, и на дисплее осциллографа обе выглядели бы неподвижными. Поскольку две частоты не совсем одинаковы, опорный сигнал кажется неподвижным, а тестовый сигнал перемещается. Измеряя скорость движения тестового сигнала, можно определить смещение между частотами.

Вертикальные линии проведены через точки, где каждый синусоидальный сигнал проходит через ноль. В нижней части рисунка показаны столбцы, ширина которых представляет разность фаз между сигналами. В этом случае разность фаз увеличивается, что указывает на то, что тестовый сигнал имеет более низкую частоту, чем опорный. ^[3]

Формула фазы колебания или периодического сигнала

Фазой простого гармонического колебания или синусоидального сигнала называется величина ${\textstyle \varphi }$ в следующих функциях: ${\begin{aligned}x(t)&=A\cos(2\pi ft+\varphi )\\y(t)&=A\sin(2\pi ft+\varphi )=A\cos \left(2\pi ft+\varphi -{\tfrac {\pi }{2}}\right)\end{aligned}}$ где ${\textstyle A}$ , ${\textstyle f}$ , и ${\textstyle \varphi }$ являются постоянными параметрами, называемыми амплитудой , частотой и фазой синусоиды. Эти сигналы являются периодическими с периодом ${\textstyle T={\frac {1}{f}}}$ , и они идентичны, за исключением смещения ${\textstyle {\frac {T}{4}}}$ вдоль ${\textstyle t}$ ось. Термин «фаза» может относиться к нескольким различным вещам:

Он может ссылаться на указанную ссылку, например ${\textstyle \cos(2\pi ft)}$ , и в этом случае мы бы сказали, фаза что ${\textstyle x(t)}$ является ${\textstyle \varphi }$ , фаза и ${\textstyle y(t)}$ является ${\textstyle \varphi -{\frac {\pi }{2}}}$ .
Это может относиться к ${\textstyle \varphi }$ , и в этом случае мы бы сказали ${\textstyle x(t)}$ и ${\textstyle y(t)}$ имеют одинаковую фазу , но относятся к своим конкретным ссылкам.
В контексте сигналов связи изменяющийся во времени угол ${\textstyle 2\pi ft+\varphi }$ , или ее главное значение , называется мгновенной фазой , часто просто фазой .

Абсолютная фаза

Абсолютная фаза — это фаза сигнала относительно некоторого стандарта (строго говоря, фаза всегда относительна). В той степени, в которой этот стандарт принят всеми сторонами, можно говорить об абсолютной фазе в конкретной области применения.

См. также

Абсолютная фаза
Фаза переменного тока
Синфазные и квадратурные составляющие
Мгновенная фаза
Кривая Лиссажу
Отмена фазы
Фазовая проблема
Фазовый спектр
Фазовая скорость
Фазор
Поляризация (волны)
Когерентность (физика) — качество волны, позволяющее отображать четко определенные фазовые соотношения в различных областях ее области определения.
Преобразование Гильберта — метод изменения фазы на 90°.
Фазовый сдвиг отражения — изменение фазы, которое происходит, когда волна отражается от границы от быстрой среды к медленной среде.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Баллоу, Глен (2005). Справочник для звукорежиссеров (3-е изд.). Focal Press, Gulf Professional Publishing. п. 1499. ИСБН 978-0-240-80758-4 .
^ «Федеральный стандарт 1037C: Глоссарий телекоммуникационных терминов» .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Время и частота от А до Я (12 мая 2010 г.). «Фаза» . Нист . Национальный институт стандартов и технологий (NIST) . Проверено 12 июня 2016 г. Этот контент был скопирован и вставлен с веб-страницы NIST и находится в свободном доступе .
^ Клинт Госс; Барри Хиггинс (2013). «Тревога» . Флутопедия . Проверено 06 марта 2013 г.

Внешние ссылки

« Что такое фаза? ». Профессор Джеффри Хасс. « Букварь по акустике », раздел 8. Университет Индианы , 2003 г. См. Также: ( страницы с 1 по 3 , 2013 г.)
Фазовый угол, разность фаз, временная задержка и частота
ECE 209: Источники фазового сдвига . Обсуждаются источники фазового сдвига во временной области в простых линейных, инвариантных во времени схемах.
JavaScript с открытым исходным кодом по физике HTML5
разности фаз Java-апплет

[Ballou2005-1] Jump up to: ^а ^б Баллоу, Глен (2005). Справочник для звукорежиссеров (3-е изд.). Focal Press, Gulf Professional Publishing. п. 1499. ИСБН 978-0-240-80758-4 .

[2] «Федеральный стандарт 1037C: Глоссарий телекоммуникационных терминов» .

[phnist-3] Jump up to: ^а ^б ^с Время и частота от А до Я (12 мая 2010 г.). «Фаза» . Нист . Национальный институт стандартов и технологий (NIST) . Проверено 12 июня 2016 г. Этот контент был скопирован и вставлен с веб-страницы NIST и находится в свободном доступе .

[4] Клинт Госс; Барри Хиггинс (2013). «Тревога» . Флутопедия . Проверено 06 марта 2013 г.

[1]

[2]

[3]

[4]