Максимизация прибыли

В экономике (или просто прибыли , максимизация прибыли — это краткосрочный или долгосрочный процесс, с помощью которого фирма может определить уровни цен , затрат и выпуска , которые приведут к максимально возможной общей прибыли короче говоря). В неоклассической экономике , которая в настоящее время является основным подходом к микроэкономике , предполагается, что фирма является « рациональным агентом » (действующим на совершенно конкурентном рынке или иным образом), который хочет максимизировать свою совокупную прибыль, которая представляет собой разницу между ее совокупной прибылью. выручка и ее общая стоимость.

Измерение общих затрат и общего дохода часто непрактично, поскольку фирмы не обладают необходимой достоверной информацией для определения затрат на всех уровнях производства. Вместо этого они применяют более практичный подход, изучая, как небольшие изменения в производстве влияют на доходы и расходы. Когда фирма производит дополнительную единицу продукции, дополнительный доход, полученный от ее продажи, называется предельным доходом ( ${\text{MR}}$ ), а дополнительные затраты на производство этой единицы называются предельными издержками ( ${\text{MC}}$ ). Когда объем выпуска таков, что предельный доход равен предельным издержкам ( ${\text{MR}}={\text{MC}}$ ), то говорят, что общая прибыль фирмы максимальна. Если предельный доход превышает предельные издержки ( ${\text{MR}}>{\text{MC}}$ ), то ее общая прибыль не максимизируется, поскольку фирма может производить дополнительные единицы продукции, чтобы получить дополнительную прибыль. Другими словами, в этом случае в «рациональных» интересах фирмы увеличивать уровень выпуска до тех пор, пока ее общая прибыль не будет максимизирована. С другой стороны, если предельный доход меньше предельных издержек ( ${\text{MR}}<{\text{MC}}$ ), то ее общая прибыль также не максимизируется, поскольку производство на одну единицу меньше приведет к сокращению общих затрат больше, чем общий полученный доход, что даст фирме большую общую прибыль. В этом случае у «рациональной» фирмы есть стимул снижать уровень выпуска до тех пор, пока ее общая прибыль не будет максимизирована. ^[1]

Существует несколько точек зрения на максимизацию прибыли. Во-первых, поскольку прибыль равна выручке минус затраты , можно графически построить каждую из переменных выручки и затрат как функции уровня выпуска и найти уровень выпуска, который максимизирует разницу (или это можно сделать с помощью таблицы значений вместо таблицы значений). график). конкретные функциональные формы Во-вторых, если известны доходов и затрат с точки зрения выпуска, можно использовать исчисление для максимизации прибыли относительно уровня выпуска. В-третьих, поскольку условие первого порядка оптимизации уравнивает предельный доход и предельные издержки , если предельный доход ( ${\text{MR}}$ ) и предельные издержки ( ${\text{MC}}$ ) функции с точки зрения вывода доступны напрямую, их можно приравнять, используя уравнения или график. В-четвертых, вместо функции, показывающей стоимость производства каждого потенциального уровня выпуска, фирма может иметь функции стоимости затрат, дающие стоимость приобретения любого количества каждого ресурса, а также производственную функцию, показывающую, какой объем выпуска получается в результате использования любой комбинации ресурсов. количества. В этом случае можно использовать расчеты для максимизации прибыли с учетом уровней использования ресурсов с учетом функций затрат на ресурсы и производственной функции. Условие первого порядка для каждого ресурса приравнивает предельный доход от продукта (приращение дохода от продажи продукта, вызванное увеличением количества использованных ресурсов) к предельной стоимости ресурсов.

Для фирмы на совершенно конкурентном рынке своей продукции функция дохода будет просто равняться произведению рыночной цены на количество произведенного и проданного товара, тогда как для монополиста , который выбирает уровень выпуска одновременно с ценой продажи. В случае монополии компания будет производить больше продукции, поскольку она по-прежнему может получать нормальную прибыль. Чтобы получить максимальную прибыль, вам необходимо установить более высокие цены и меньшие объемы, чем на конкурентном рынке. Однако функция дохода учитывает тот факт, что более высокие объемы выпуска требуют более низкой цены для продажи. Аналогичная особенность справедлива и для рынков ресурсов: на рынке ресурсов с совершенной конкуренцией стоимость ресурсов для фирмы равна просто количеству, купленному для использования в производстве, умноженному на определяемую рынком стоимость единицы ресурсов, тогда как у монопсониста цена ресурсов на единицу выше. для более высоких объемов закупаемых ресурсов.

Принципиальное различие между краткосрочной и долгосрочной максимизацией прибыли состоит в том, что в долгосрочном периоде количества всех ресурсов, включая физический капитал , являются переменными выбора, тогда как в краткосрочном периоде объем капитала предопределен прошлыми инвестиционными решениями. В любом случае есть затраты труда и сырья .

Основные определения

Любые затраты, понесенные фирмой, можно разделить на две группы: постоянные затраты и переменные затраты . Постоянные затраты, возникающие только в краткосрочном периоде, возникают у предприятия при любом уровне выпуска, включая нулевой выпуск. Сюда могут входить техническое обслуживание оборудования, аренда, заработная плата сотрудников, численность которых не может быть увеличена или уменьшена в краткосрочной перспективе, а также общее содержание. Переменные затраты изменяются в зависимости от уровня выпуска, увеличиваясь по мере увеличения производства продукции. Материалы, потребляемые в процессе производства, часто оказывают наибольшее влияние на эту категорию, которая также включает в себя заработную плату сотрудников, которые могут быть наняты и уволены в рассматриваемый короткий период времени. Фиксированные и переменные затраты, вместе взятые, равны общей стоимости .

Выручка — это сумма денег, которую компания получает от своей обычной деловой деятельности, обычно от продажи товаров и услуг (в отличие от денег от продажи ценных бумаг, таких как акции или выпуск долговых обязательств).

Формула пяти способов состоит в том, чтобы увеличить количество потенциальных клиентов, уровень разговоров, средний объем продаж в долларах, среднее количество продаж и среднюю прибыль от продукта. Прибыль может быть увеличена до 1000 процентов, это важно для индивидуальных предпринимателей и малых предприятий, не говоря уже о крупных предприятиях, но, тем не менее, вся максимизация прибыли является вопросом каждого этапа бизнеса и большей отдачи от участия в прибыли, а значит, более высокой заработной платы и мотивации. ^[2]^{[ нужна полная цитата ]}

Предельные издержки и предельный доход , в зависимости от того, применяется ли расчетный подход или нет, определяются либо как изменение затрат или дохода при производстве каждой дополнительной единицы, либо как производная затрат или дохода по отношению к количеству выпускаемой продукции. Например, согласно первому определению, если производство 5 единиц продукции обходится фирме в 400 долларов, а производство 6 — в 480 долларов, то предельные издержки шестой единицы составят 80 долларов. И наоборот, предельный доход от производства 6 единиц — это доход от производства 6 единиц минус доход от производства 5 единиц (последний пункт минус предыдущий).

Общий доход – перспектива общих затрат

Чтобы получить объем выпуска, максимизирующий прибыль, мы начинаем с признания того, что прибыль равна общему доходу ( ${\text{TR}}$ ) минус общая стоимость ( ${\text{TC}}$ ). Имея таблицу затрат и доходов для каждого количества, мы можем либо вычислить уравнения, либо нанести данные непосредственно на график. Объем выпуска, максимизирующий прибыль, — это объем выпуска, при котором эта разница достигает максимума.

На прилагаемой диаграмме линейная кривая общего дохода представляет случай, когда фирма является совершенным конкурентом на товарном рынке и, следовательно, не может устанавливать собственную цену продажи. Уровень выпуска, максимизирующий прибыль, представляет собой уровень, при котором общий доход равен высоте ${\text{C}}$ а общая стоимость равна высоте ${\text{B}}$ ; максимальная прибыль измеряется как длина отрезка ${\overline {\text{CB}}}$ . Этот уровень выпуска также является тем, при котором кривая совокупной прибыли достигает максимума.

Если, вопреки тому, что предполагается на графике, фирма не является совершенным конкурентом на рынке выпускаемой продукции, цену продажи продукта можно определить по кривой спроса фирмы при оптимальном объеме выпуска . Оптимальный объем выпуска — это объем, при котором предельный доход равен предельным издержкам .

Предельный доход – перспектива предельных затрат

Эквивалентная точка зрения основана на соотношении, согласно которому для каждой проданной единицы предельная прибыль ( ${\text{M}}\pi$ ) равен предельному доходу ( ${\text{MR}}$ ) минус предельные издержки ( ${\text{MC}}$ ). Тогда, если предельный доход превышает предельные издержки при некотором уровне выпуска, предельная прибыль положительна и, следовательно, должно быть произведено большее количество, а если предельный доход меньше предельных издержек, предельная прибыль отрицательна и следует производить меньшее количество. . На уровне выпуска, при котором предельный доход равен предельным издержкам, предельная прибыль равна нулю, и именно эта величина максимизирует прибыль. ^[3] Поскольку общая прибыль увеличивается, когда предельная прибыль положительна, а общая прибыль уменьшается, когда предельная прибыль отрицательна, она должна достигать максимума там, где предельная прибыль равна нулю — где предельные издержки равны предельному доходу — и где более низкие или более высокие уровни выпуска приводят к более низким уровням прибыли. ^[3] С точки зрения математического анализа, требование, чтобы оптимальный выпуск приносил более высокую прибыль, чем соседние уровни выпуска, состоит в том, что: ^[3]

{\frac {\operatorname {d} ^{2}R}{{\operatorname {d} Q}^{2}}}<{\frac {\operatorname {d} ^{2}C}{{\operatorname {d} Q}^{2}}}.

Пересечение ${\text{MR}}$ и ${\text{MC}}$ показано на следующей диаграмме как точка ${\text{A}}$ . Если отрасль совершенно конкурентна (как это и предполагается на диаграмме), фирма сталкивается с кривой спроса ( ${\text{D}}$ ), которая идентична его кривой предельного дохода ( ${\text{MR}}$ ), и это горизонтальная линия по цене, определяемой спросом и предложением отрасли. Средние общие затраты представлены кривой ${\text{ATC}}$ . Общая экономическая прибыль представлена площадью прямоугольника. ${\overline {\text{PABC}}}$ . Оптимальное количество ( $Q$ ) такое же, как оптимальное количество на первой диаграмме.

Если фирма является монополистом , кривая предельного дохода будет иметь отрицательный наклон, как показано на следующем графике, поскольку она будет основана на нисходящей кривой рыночного спроса. Оптимальный выход, показанный на графике как $Q_{m}$ , — уровень выпуска, при котором предельные издержки равны предельному доходу. Цена, которая вызывает этот объем выпуска, представляет собой высоту кривой спроса при этом объеме (обозначаемую $P_{m}$ ).

Общий вывод уровня максимизации прибыли при выпуске осуществляется с помощью следующих шагов. Во-первых, предположим, что представительная фирма $i$ имеет точную информацию о своей прибыли, представленную:

\pi _{i}={\text{TR}}_{i}-{\text{TC}}_{i}

где ${\text{TR}}$ обозначает общий доход и ${\text{TC}}$ обозначает общие затраты. Вышеприведенное выражение можно переписать как:

\pi _{i}=p_{i}\cdot q_{i}-c_{i}\cdot q_{i}

где $p$ обозначает цену (предельный доход), $q$ количество и $c$ предельные издержки. Фирма максимизирует свою прибыль по количеству, чтобы достичь уровня максимизации прибыли:

{\frac {\left(\partial \pi _{i}\right)}{\left(\partial q_{i}\right)}}=p_{i}-c_{i}=0

Таким образом, уровень выпуска, максимизирующий прибыль, представляет собой предельный доход. $p_{i}$ что соответствует предельным издержкам $c_{i}$ .

В среде, которая является конкурентной, но не идеальной, более сложные решения по максимизации прибыли включают использование теории игр .

Случай, в котором максимизация дохода эквивалентна

В некоторых случаях условия спроса и затрат фирмы таковы, что предельная прибыль превышает ноль для всех уровней производства вплоть до определенного максимума. ^[4] В этом случае предельная прибыль падает до нуля сразу после достижения максимума; отсюда ${\text{M}}\pi =0$ Правило подразумевает, что выпуск должен производиться на максимальном уровне, который также является уровнем, максимизирующим доход. ^[4] Другими словами, количество и цена, максимизирующие прибыль, можно определить, установив предельный доход равным нулю, что происходит при максимальном уровне выпуска. Предельный доход равен нулю, когда кривая совокупного дохода достигла максимального значения. Примером может служить регулярный рейс авиакомпании. Предельные затраты на перевозку еще одного пассажира на рейсе незначительны, пока все места не заполнены. Авиакомпания максимизирует прибыль, заполнив все места.

Максимизация прибыли в реальном мире

В реальном мире добиться максимизации прибыли непросто. Компания должна точно знать предельный доход и предельные издержки последнего проданного товара благодаря MR .

Ценовая эластичность спроса на товары зависит от реакции других компаний. Если это единственная компания, повышающая цены, спрос будет эластичным. Если одна семья поднимает цены, а другие следуют ее примеру, спрос может быть неэластичным.

Компании могут стремиться максимизировать прибыль посредством оценки. Когда повышение цены приводит к небольшому снижению спроса, компания может повысить цену настолько, насколько это возможно, прежде чем спрос станет эластичным. Как правило, трудно изменить влияние цены в зависимости от спроса, поскольку спрос может возникнуть из-за многих других факторов, помимо цены.

У компании также могут быть другие цели и соображения. Например, компании могут решить зарабатывать меньше максимальной прибыли в погоне за более высокой долей рынка . Поскольку повышение цен максимизирует прибыль в краткосрочной перспективе, оно привлечет больше компаний к выходу на рынок.

Многие компании пытаются минимизировать затраты, перенося производство за границу с дешевой рабочей силой (например, Nike, Inc. ). Однако перемещение производственной линии за границу может привести к ненужным транспортным расходам. Близость рынков для производства и продажи продукции может улучшить оптимизацию спроса, но когда себестоимость продукции намного выше, это не лучший выбор.

Инструменты

Анализ прибыли: Привычный учет и анализ коммерческих затрат на все проданные продукты/услуги. В себестоимость входит множество разных статей, включая рабочую силу, материалы, транспортировку, рекламу, хранение и т. д., связанные с любыми проданными товарами или услугами, которые становятся расходами.
бизнес-аналитики Инструменты: может потребоваться объединить всю финансовую информацию для регистрации отчетов о расходах, чтобы бизнес мог четко понимать все затраты, связанные с операциями, и их точность.
Планирование и фактическое исполнение: При внедрении решения «что, если», которое поможет в процессе планирования продаж и операций, полезно знать операции компании, включая цепочку поставок, управление запасами и процесс продаж. Ограничения необходимы для того, чтобы корпоративные планы не стали неосуществимыми.

Изменения общих затрат и максимизация прибыли

Фирма максимизирует прибыль, действуя там, где предельный доход равен предельным издержкам. Это предусмотрено неоклассической теорией, в которой фирма максимизирует прибыль, чтобы определить уровень выпуска и затрат, который обеспечивает цену, равную условию предельных издержек. ^[5]^{[ нужна полная цитата ]} В краткосрочном периоде изменение постоянных затрат не оказывает влияния на объем выпуска или цену, максимизирующую прибыль. ^[6] Фирма просто рассматривает краткосрочные постоянные затраты как невозвратные издержки и продолжает работать в прежнем режиме. ^[7] Это можно подтвердить графически. Используя диаграмму, иллюстрирующую соотношение общих затрат и общего дохода, фирма максимизирует прибыль в точке, где наклоны линии общих затрат и линии общего дохода равны. ^[4] Увеличение постоянных издержек приведет к тому, что кривая общих издержек резко сдвинется вверх на величину изменения. ^[4] Это не повлияет на кривую общего дохода или форму кривой общих затрат. Следовательно, выпуск, максимизирующий прибыль, останется прежним. Этот момент также можно проиллюстрировать с помощью диаграммы с точки зрения предельного дохода и предельных затрат. Изменение постоянных затрат не окажет никакого влияния на положение или форму этих кривых. ^[4] Проще говоря, хотя прибыль связана с общими затратами, ${\text{Profit}}={\text{TR}}-{\text{TC}}$ , предприятие может максимизировать прибыль, производя максимальную прибыль (максимальное значение ${\text{TR}}-{\text{TC}}$ ) для максимизации прибыли. Но когда общие затраты увеличиваются, это не означает, что максимизация прибыли изменится, поскольку увеличение общих затрат не обязательно приводит к изменению предельных издержек. Если предельные издержки остаются прежними, предприятие все равно может производить единицу ( ${\text{MR}}={\text{MC}}={\text{Price}}$ ) для максимизации прибыли. В долгосрочном периоде фирма теоретически будет иметь нулевую ожидаемую прибыль при конкурентном равновесии. Рынок должен приспособиться к получению любой прибыли при наличии совершенной конкуренции. В ситуациях, когда прибыль не равна нулю, мы должны ожидать увидеть либо некоторую форму долгосрочного неравновесия, либо неконкурентные условия, такие как барьеры для входа, когда между фирмами нет совершенной конкуренции. ^[5]^{[ нужна полная цитата ]}

Наценка

В дополнение к использованию методов определения оптимального уровня выпуска фирмы, фирма, которая не является совершенно конкурентной, может эквивалентно устанавливать цену, чтобы максимизировать прибыль (поскольку установление цены вдоль заданной кривой спроса предполагает выбор предпочтительной точки на этой кривой, что эквивалентно выбор предпочтительного количества для производства и продажи). Условия максимизации прибыли могут быть выражены в «более легко применимой» форме или эмпирическом правиле, чем используется в приведенных выше точках зрения. ^[8]^{[ нужна полная цитата ]} Первый шаг — переписать выражение для предельного дохода как

${\begin{aligned}{\text{MR}}=&{\frac {\Delta {\text{TR}}}{\Delta Q}}\\=&{\frac {P\Delta Q+Q\Delta P}{\Delta Q}}\\=&P+{\frac {Q\Delta P}{\Delta Q}}\\\end{aligned}}$

, где $P$ и $Q$ относятся к средним точкам между старым и новым значениями цены и количества соответственно. ^[8] Предельный доход от дополнительной единицы продукции состоит из двух частей: во-первых, это доход, который фирма получает от продажи дополнительных единиц продукции или, при условии, что срок $P\Delta Q$ . Дополнительные единицы называются маргинальными единицами. ^[9]^{[ нужна полная цитата ]} Производство одной дополнительной единицы и продажа ее по цене $P$ приносит доход в размере $P$ . Более того, необходимо учитывать «доход, который фирма теряет от единиц, которые она могла бы продать по более высокой цене». ^[9]— то есть, если бы цена всех единиц не упала из-за попыток продать больше единиц. Эти единицы, потерявшие доход, называются инфрамаржинальными единицами. ^[9] То есть продажа дополнительной единицы приводит к небольшому падению цены, что снижает доход от всех проданных единиц на сумму $Q\cdot \left({\frac {\Delta P}{\Delta Q}}\right)$ . Таким образом, ${\text{MR}}=P+Q\cdot {\frac {\Delta P}{\Delta Q}}=P+P\cdot {\frac {Q}{P}}\cdot {\frac {\Delta P}{\Delta Q}}=P+{\frac {P}{\text{PED}}}$ , где ${\text{PED}}$ – ценовая эластичность спроса, характеризующая кривую спроса клиентов фирмы, имеющая отрицательное значение. Затем установка ${\text{MC}}={\text{MR}}$ дает ${\text{MC}}=P+{\frac {P}{\text{PED}}}$ так ${\frac {P-{\text{MC}}}{P}}={\frac {-1}{\text{PED}}}$ и $P={\frac {MC}{1+\left({\frac {1}{\text{PED}}}\right)}}$ . Таким образом, оптимальное правило разметки таково:

{\frac {\left(P-{\text{MC}}\right)}{P}}={\frac {1}{\left(-{\text{PED}}\right)}}

или эквивалентно

P={\frac {\text{PED}}{1+{\text{PED}}}}\cdot {\text{MC}}

. ^[10]^[11]^{[ нужна полная цитата ]}

Другими словами, правило состоит в том, что размер надбавки цены к предельным издержкам обратно пропорционален абсолютному значению ценовой эластичности спроса на товар. ^[10]

Правило оптимальной наценки также подразумевает, что неконкурентная фирма будет производить продукцию в эластичной области своей кривой рыночного спроса. Предельные издержки положительны. Термин ${\frac {PED}{1+{\text{PED}}}}$ было бы положительно, так что $P>0$ только если ${\text{PED}}$ находится между $-1$ и $-\infty$ (то есть, если спрос эластичен при этом уровне выпуска). ^[12]^{[ нужна полная цитата ]} Интуиция, лежащая в основе этого результата, заключается в том, что, если спрос неэластичен при некотором значении $Q_{1}$ затем снижение $Q$ увеличится $P$ более чем пропорционально, тем самым увеличивая доход $P\cdot Q$ ; поскольку ниже $Q$ также приведет к снижению общих затрат, прибыль увеличится из-за сочетания увеличения доходов и снижения затрат. Таким образом, $Q_{1}$ не дает максимально возможной прибыли.

Предельный продукт труда, предельный продукт труда и максимизация прибыли.

Общее правило состоит в том, что фирма максимизирует прибыль, производя такой объем продукции, при котором предельный доход равен предельным издержкам . К вопросу максимизации прибыли можно подойти и со стороны затрат. То есть, какова максимизация прибыли от использования переменных ресурсов? ^[13] Чтобы максимизировать прибыль, фирма должна увеличить использование ресурсов «до такой степени, что предельный доход от продукта, полученного от ресурсов, станет равен его предельным издержкам». ^[14] Математически правило максимизации прибыли выглядит так: ${\text{MRP}}_{L}={\text{MC}}_{L}$ , где индекс $_{L}$ относится к обычно предполагаемому переменному ресурсу - труду.

Продукт предельного дохода — это изменение общего дохода на единицу изменения переменных ресурсов, то есть ${\text{MRP}}_{L}={\frac {\Delta {\text{TR}}}{\Delta L}}$ .

${\text{MRP}}_{L}$ является продуктом предельного дохода и предельного продукта труда или ${\text{MRP}}_{L}={\text{MR}}\cdot {\text{MP}}_{L}$ .

Неоптимальная максимизация прибыли

Часто предприятия пытаются максимизировать свою прибыль, хотя их стратегия оптимизации обычно приводит к неоптимальному количеству товаров, производимых для потребителей. Принимая решение о конкретном объеме производства, фирма часто пытается максимизировать собственный излишек производителя за счет уменьшения общего общественного излишка. В результате этого уменьшения социального излишка излишек потребителя также минимизируется по сравнению с тем, если бы фирма не решила максимизировать свой собственный излишек производителя.

Государственное регулирование

Рыночные квоты отражают власть фирмы на рынке, фирма, доминирующая на рынке, очень распространена, и слишком большая власть часто становится мотивом нехунского поведения. Хищническое ценообразование , связывание , взвинчивание цен и другие виды поведения отражают кризис чрезмерной власти монополистов на рынке. В попытке помешать предприятиям злоупотреблять своей властью для максимизации собственных прибылей, правительства часто вмешиваются, чтобы остановить их. Ярким примером этого является антимонопольное регулирование , которое фактически объявляет вне закона большинство отраслевых монополий . Благодаря этому регулированию потребители улучшают отношения с компаниями, которые их обслуживают, хотя сама компания может пострадать в финансовом отношении.

См. также

Примечания

^ Карл Э. Кейс; Рэй К. Фэйр; Шэрон М. Остер (2012), Принципы экономики (10-е изд.), Prentice Hall, стр. 180–181.
^ предприниматель.com
^ Jump up to: ^а ^б ^с Липси (1975). стр. 245–47.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Самуэльсон В. и Маркс С. (2003). п. 47.
^ Jump up to: ^а ^б Десаи, М (2017).
^ Самуэльсон, В. и Маркс, С. (2003). п. 52.
^ Ландсбург, С. (2002).
^ Jump up to: ^а ^б Пиндик Р. и Рубинфельд Д. (2001), с. 333.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Безанко Д. и Ботигам Р. (2001), с. 408.
^ Jump up to: ^а ^б Самуэльсон В. и Маркс С. (2003). п. 103–05.
^ Пиндик, Р. и Рубинфельд, Д. (2001), с. 341.
^ Безанко и Бреутигам (2005), с. 419.
^ Самуэльсон, В. и Маркс, С. (2003). п. 230.
^ Самуэльсон, В. и Маркс, С. (2003). п. 23.

Ссылки

Ландсбург, С. (2002). Теория цен и ее приложения (пятое изд.). Юго-Западный.
- Ландсбург, С. (2013). Теория цен и ее приложения (PDF) (девятое изд.). Юго-Западный. ISBN 978-1-285-42352-4 .
Липси, Ричард Г. (1975). Введение в позитивную экономику (четвертое изд.). Вайденфельд и Николсон. стр. 214–7. ISBN 0-297-76899-9 .
Самуэльсон, В.; Маркс, С. (2003). Экономика управления (Четвертое изд.). Уайли. ISBN 0470000449 .

Внешние ссылки

Максимизация прибыли в условиях совершенной конкуренции , Фиона Маклахлан, Демонстрационный проект Wolfram .
Максимизация прибыли: Комплексное руководство , Ричард Галле, Techfunnel Project .
Максимизация прибыли , Тейван Петтингер.
Три шага к освоению предписанной максимизации прибыли от Riverlogic.

[1] Карл Э. Кейс; Рэй К. Фэйр; Шэрон М. Остер (2012), Принципы экономики (10-е изд.), Prentice Hall, стр. 180–181.

[2] предприниматель.com

[lipsey-3] Jump up to: ^а ^б ^с Липси (1975). стр. 245–47.

[samuelson-4] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Самуэльсон В. и Маркс С. (2003). п. 47.

[Desai,_M_2017-5] Jump up to: ^а ^б Десаи, М (2017).

[6] Самуэльсон, В. и Маркс, С. (2003). п. 52.

[7] Ландсбург, С. (2002).

[pindyck-8] Jump up to: ^а ^б Пиндик Р. и Рубинфельд Д. (2001), с. 333.

[besanko-9] Jump up to: ^а ^б ^с Безанко Д. и Ботигам Р. (2001), с. 408.

[samuelson103-10] Jump up to: ^а ^б Самуэльсон В. и Маркс С. (2003). п. 103–05.

[11] Пиндик, Р. и Рубинфельд, Д. (2001), с. 341.

[12] Безанко и Бреутигам (2005), с. 419.

[samuelson230-13] Самуэльсон, В. и Маркс, С. (2003). п. 230.

[14] Самуэльсон, В. и Маркс, С. (2003). п. 23.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]