Уравнение Рэлея (гидродинамика)

Пример параллельного сдвигового потока.

В гидродинамике уравнение Рэлея или уравнение устойчивости Рэлея представляет собой линейное обыкновенное дифференциальное уравнение для изучения гидродинамической устойчивости параллельного, несжимаемого и невязкого сдвигового потока . Уравнение:

$(U-c)(\varphi ''-k^{2}\varphi )-U''\varphi =0,$

с $U(z)$ скорость потока стационарного основного потока , устойчивость которого необходимо изучить, и $z$ – направление поперечного потока (т.е. перпендикулярно направлению потока). Дальше $\varphi (z)$ – комплексная амплитуда возмущений функции бесконечно малых тока, приложенных к основному потоку, $k$ возмущений волновое число и $c$ – фазовая скорость , с которой возмущения распространяются в направлении потока. Штрих означает дифференцирование по $z.$

Фон

Уравнение названо в честь лорда Рэлея , который представил его в 1880 году. Уравнение Орра -Зоммерфельда , введенное позже для изучения устойчивости параллельного вязкого течения, сводится к уравнению Рэлея, когда вязкость равна нулю.

Уравнение Рэлея вместе с соответствующими граничными условиями чаще всего представляет собой проблему собственных значений . Для данного (действительного) волнового числа $k$ и средняя скорость потока $U(z),$ собственные значения - это фазовые скорости $c,$ а собственные функции представляют собой соответствующие амплитуды функции тока. $\varphi (z).$ В общем случае собственные значения образуют непрерывный спектр . В некоторых случаях может существовать дискретный спектр комплексно -сопряженных пар. $c.$ Поскольку волновое число $k$ встречается только как квадрат $k^{2}$ в уравнении Рэлея решение (т.е. $\varphi (z)$ и $c$) для волнового числа $+k$ также является решением волнового числа $-k.$

Уравнение Рэлея касается только двумерных возмущений потока. Из теоремы Сквайра следует, что двумерные возмущения менее устойчивы, чем трехмерные.

Кельвина Схема линий тока «кошачий глаз» вблизи критического слоя.

Если действительная фазовая скорость $c$ находится между минимумом и максимумом $U(z),$ проблема имеет так называемые критические слои вблизи $z=z_{\mathrm {crit} }$ где $U(z_{\mathrm {crit} })=c.$ В критических слоях уравнение Рэлея становится сингулярным . Впервые их изучал лорд Кельвин также в 1880 году. Его решение порождает так называемую «кошачий глаз» картину линий тока вблизи критического слоя, если наблюдать в системе отсчета, движущейся с фазовой скоростью. $c.$

Вывод

Рассмотрим параллельный сдвиговый поток $U(z)$ в $x$ направление, которое меняется только в направлении поперечного потока $z.$ Устойчивость потока изучается путем добавления малых возмущений к скорости потока. $u(x,z,t)$ и $w(x,z,t)$ в $x$ и $z$ направления соответственно. Течение описывается с помощью уравнений Эйлера несжимаемой жидкости , которые становятся после линеаризации – с помощью компонент скорости $U(z)+u(x,z,t)$ и $w(x,z,t):$

${\begin{aligned}&\partial _{t}u+U\,\partial _{x}u+w\,U'=-{\frac {1}{\rho }}\partial _{x}p,\\&\partial _{t}w+U\,\partial _{x}w=-{\frac {1}{\rho }}\partial _{z}p\qquad {\text{and}}\\&\partial _{x}u+\partial _{z}w=0,\end{aligned}}$

с $\partial _{t}$ оператор частной производной по времени и аналогично $\partial _{x}$ и $\partial _{z}$ относительно $x$ и $z.$ Колебания давления $p(x,z,t)$ убедиться, что уравнение неразрывности $\partial _{x}u+\partial _{z}w=0$ выполняется. Плотность жидкости обозначается как $\rho$ и является константой в настоящем анализе. Премьер $U'$ обозначает дифференциацию $U(z)$ что касается его аргумента $z.$

Колебания потока $u$ и $w$ описываются с помощью функции потока $\psi (x,z,t),$ обеспечение выполнения уравнения неразрывности:

$u=+\partial _{z}\psi \quad {\text{ and }}\quad w=-\partial _{x}\psi .$

Принимая $z$- и $x$-производные $x$- и $z$-уравнение импульса, а затем, вычитая два уравнения, получаем давление $p$ можно устранить:

$\partial _{t}\left(\partial _{x}^{2}\psi +\partial _{z}^{2}\psi \right)+U\,\partial _{x}\left(\partial _{x}^{2}\psi +\partial _{z}^{2}\psi \right)-U''\,\partial _{x}\psi =0,$

которое по сути представляет собой уравнение переноса завихренности , $\partial _{x}^{2}\psi +\partial _{z}^{2}\psi$ это (минус) завихренность.

Далее рассматриваются синусоидальные колебания:

$\psi (x,z,t)=\Re \left\{\varphi (z)\,\exp(ik(x-ct))\right\},$

с $\varphi (z)$ комплексная амплитуда колебаний функции тока, при этом $i$ – мнимая единица ( $i^{2}=-1$) и $\Re \left\{\cdot \right\}$ обозначает действительную часть выражения в скобках. Используя это в уравнении переноса завихренности, получается уравнение Рэлея.

Граничные условия для плоских непроницаемых стенок следуют из того, что функция тока на них постоянна. Таким образом, у непроницаемых стенок колебания функции тока равны нулю, т.е. $\varphi =0.$ Для неограниченных потоков общие граничные условия таковы: $\lim _{z\to \pm \infty }\varphi (z)=0.$

Ссылки

• Крейк, ADD (1988), Волновые взаимодействия и потоки жидкости , Cambridge University Press, ISBN  0-521-36829-4
• Криминале, штат Вашингтон; Джексон, ТЛ; Джослин, Р.Д. (2003), Теория и расчет гидродинамической устойчивости , Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-63200-3
• Дразин, П.Г. (2002), Введение в гидродинамическую устойчивость , Cambridge University Press, ISBN  0-521-00965-0
• Хирота, М.; Моррисон, Пи Джей ; Хаттори, Ю. (2014), «Вариационные необходимые и достаточные условия устойчивости для невязкого сдвигового течения», Proceedings of the Royal Society , A, 470 (20140322): 23 стр., arXiv : 1402.0719 , Bibcode : 2014RSPSA.47040322H , doi : 10.1098/rspa.2014.0322 , PMC   4241005 , PMID   25484600
• Кельвин, Лорд (У. Томсон) (1880), «О тревожной бесконечности в решении лорда Рэлея для волн в плоском вихревом слое», Nature , 23 (576): 45–6, Бибкод : 1880Natur..23... 45. , дои : 10.1038/023045a0
• Рэлей, Лорд (Дж. В. Стратт) (1880), «Об устойчивости или нестабильности некоторых движений жидкости», Труды Лондонского математического общества , 11 : 57–70.