Минимальный объем

В математике , в частности в дифференциальной геометрии , минимальный объём — это число, которое описывает один аспект гладкого многообразия топологии . Этот инвариант диффеоморфизма был введен Михаилом Громовым .

Учитывая гладкое риманово многообразие $(M, g)$ , можно рассмотреть его объем $vol(M, g)$ и секционную кривизну $K g$ . Минимальный объем гладкого многообразия $M$ определяется как:

\operatorname {MinVol} (M):=\inf\{\operatorname {vol} (M,g):g{\text{ a complete Riemannian metric with }}|K_{g}|\leq 1\}.

Любому замкнутому многообразию можно придать сколь угодно малый объем путем масштабирования любого выбора римановой метрики. Минимальный объем исключает возможность такого масштабирования из-за ограничения на кривизну сечения. Итак, если минимальный объем $M$ определенный вид нетривиальных явлений сжатия могут демонстрировать $равен нулю, то римановы метрики на M$ . Тривиальный пример, единственный, в котором присутствует возможность масштабирования, — замкнутое плоское многообразие . Сферы Бергера показывают, что минимальный объем трехмерной сферы также равен нулю. Громов выдвинул гипотезу, что всякое замкнутое односвязное нечётномерное многообразие имеет нулевой минимальный объём.

Напротив, положительная нижняя оценка минимального объема $M$ представляет собой некоторое (обычно нетривиальное) геометрическое неравенство для объема произвольной полной римановой метрики на $M$ в терминах размера ее кривизны. Согласно теореме Гаусса-Бонне , если $M$ — замкнутое связное двумерное многообразие, то $MinVol(M) = 2π|χ(M)|$ . Нижняя грань в определении минимального объема реализуется метрикой, вытекающей из теоремы униформизации . В более общем смысле, согласно формуле Черна-Гаусса-Бонне , если $M$ — замкнутое и связное многообразие, то:

\operatorname {MinVol} (M)\geq c(n){\big |}\chi (M){\big |}.

Громов в 1982 году показал, что объем полной римановой метрики на гладком многообразии всегда можно оценить по размеру ее кривизны и симплициальному объему многообразия с помощью неравенства:

\operatorname {MinVol} (M)\geq {\frac {\|M\|}{(n-1)^{n}n!}}.

Ссылки [ править ]

Миша Громов. Метрические структуры для римановых и неримановых пространств . На основе французского оригинала 1981 года. С приложениями М. Каца, П. Пансу и С. Семмеса. Перевод с французского Шона Майкла Бейтса. Progress in Mathematics, 152. Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс, 1999. xx+585 стр. ISBN 0-8176-3898-9 . дои : 10.1007/978-0-8176-4583-0
Михаил Громов. Объемные и ограниченные когомологии. Инст. Высшие исследования Sci. Опубл. Математика. 56 (1982), 5–99.