Chern–Gauss–Bonnet theorem

В математике теорема Черна (или теорема Черна–Гаусса–Бонне после Шиинг-Шен Черн , Карла Фридриха Гаусса и Пьера Оссиана Бонне ) утверждает, что характеристика Эйлера–Пуанкаре ( топологический инвариант, определяемый как знакопеременная сумма чисел Бетти топологического пространства ) замкнутого четномерного риманова многообразия равна к интегралу от некоторого многочлена ( класса Эйлера ) его формы кривизны ( аналитического инварианта ).

Это весьма нетривиальное обобщение классической теоремы Гаусса–Бонне (для двумерных многообразий/ поверхностей ) на высшие четномерные римановы многообразия. В 1943 году Карл Б. Аллендорфер и Андре Вейль доказали особый случай внешних многообразий. В классической статье, опубликованной в 1944 году, Шиинг-Шен Чёрн доказал в полной общности теорему, связывающую глобальную топологию с локальной геометрией .

Теорема Римана–Роха и теорема об индексе Атьи–Зингера являются другими обобщениями теоремы Гаусса–Бонне.

Заявление

Одна полезная форма теоремы Черна состоит в том, что

$\chi (M)=\int _{M}e(\Omega )$

где $\chi (M)$ обозначает характеристику эйлерову $M$. Класс Эйлера определяется как

$e(\Omega )={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\operatorname {Pf} (\Omega ).$

где у нас есть пфаффиан $\operatorname {Pf} (\Omega )$. Здесь $M$ — компактное ориентируемое 2n - мерное риманово многообразие без края и $\Omega$ — ассоциированная форма кривизны соединения Леви-Чивита . Фактически, это утверждение справедливо для $\Omega$ форма кривизны любой метрической связности на касательном расслоении, а также для других векторных расслоений над $M$.

Поскольку размерность равна 2 n , мы имеем, что $\Omega$ это ${\mathfrak {s}}{\mathfrak {o}}(2n)$-значная 2-дифференциальная форма на $M$ (см. специальную ортогональную группу ). Так $\Omega$ можно рассматривать как кососимметричную матрицу размером 2 n × 2 n, элементы которой являются 2-формами, поэтому это матрица над коммутативным кольцом ${\textstyle {\bigwedge }^{\text{even}}\,T^{*}M}$. Следовательно, пфаффиан является 2 n -формой. Это также инвариантный многочлен .

Однако теорема Черна в общем случае состоит в том, что для любого замкнутого $C^{\infty }$ ориентируемый n -мерный $M$,

$\chi (M)=(e(TM),[M])$

где указанное выше спаривание (,) обозначает шапочное произведение с классом Эйлера касательного расслоения $TM$.

Доказательства

В 1944 г. общая теорема была впервые доказана С. С. Черном в классической статье, опубликованной математическим факультетом Принстонского университета .

В 2013 году также было найдено доказательство теоремы с помощью суперсимметричных евклидовых теорий поля .

Приложения

Теорему Черна-Гаусса-Бонне можно рассматривать как частный случай в теории характеристических классов . Подынтегральная функция Черна — это класс Эйлера . Поскольку это дифференциальная форма верхней размерности, она замкнута. Естественность римановой класса Эйлера означает, что при изменении метрики остаешься в том же классе когомологий . Это означает, что интеграл класса Эйлера остается постоянным при изменении метрики и, таким образом, является глобальным инвариантом гладкой структуры.

Теорема также нашла многочисленные применения в физике , в том числе:

• адиабатическая фаза или фаза Берри ,
• теория струн ,
• физика конденсированного состояния ,
• топологическая квантовая теория поля ,
• топологические фазы материи (см. Нобелевскую премию по физике 2016 года Дункана Холдейна и др.).

Особые случаи

Четырехмерные многообразия

В измерении $2n=4$, для компактного ориентированного многообразия получаем

$\chi (M)={\frac {1}{32\pi ^{2}}}\int _{M}\left(|{\text{Riem}}|^{2}-4|{\text{Ric}}|^{2}+R^{2}\right)\,d\mu$

где ${\text{Riem}}$ – полный тензор кривизны Римана , ${\text{Ric}}$ – тензор кривизны Риччи , $R$ скалярная кривизна . Это особенно важно в общей теории относительности , где пространство-время рассматривается как 4-мерное многообразие.

В терминах ортогонального разложения Риччи тензора кривизны Римана эту формулу можно также записать как

$\chi (M)={\frac {1}{8\pi ^{2}}}\int _{M}\left({\frac {1}{4}}|W|^{2}-{\frac {1}{2}}|Z|^{2}+{\frac {1}{24}}R^{2}\right)\,d\mu$

где $W$ – тензор Вейля и $Z$ – бесследовый тензор Риччи.

Чётномерные гиперповерхности

Для компактной четномерной гиперповерхности $M$ в $\mathbb {R} ^{n+1}$ мы получаем

$\int _{M}K\,dV={\frac {1}{2}}\gamma _{n}\,\chi (M)$

где $dV$ – элемент объема гиперповерхности, $K$ — якобиан определитель отображения Гаусса , и $\gamma _{n}$ — площадь поверхности единичной n-сферы .

Теорема Гаусса – Бонне

Основная статья: теорема Гаусса – Бонне

Теорема Гаусса –Бонне представляет собой частный случай, когда $M$ является двумерным многообразием. Он возникает как частный случай, когда топологический индекс определяется в терминах чисел Бетти , а аналитический индекс определяется в терминах подынтегрального выражения Гаусса – Бонне.

Как и в случае с двумерной теоремой Гаусса – Бонне, существуют обобщения, когда $M$ является многообразием с краем .

Дальнейшие обобщения

Атья - певица

Основная статья: Теорема Атьи – Зингера об индексе

Далеко идущим обобщением теоремы Гаусса–Бонне является теорема об индексе Атьи–Зингера .

Позволять $D$ — слабо эллиптический дифференциальный оператор между векторными расслоениями. Это означает, что главный символ является изоморфизмом . Кроме того, сильная эллиптичность потребует, чтобы символ был положительно определённым .

Позволять $D^{*}$ быть его сопряженным оператором . Тогда аналитический индекс определяется как

$\dim(\ker(D))-\dim(\ker(D^{*}))$

По эллиптичности это всегда конечно. Теорема об индексе утверждает, что он постоянен при плавном изменении эллиптического оператора. Он равен топологическому индексу , который можно выразить через характеристические классы, такие как класс Эйлера .

Теорема Черна–Гаусса–Бонне выводится путем рассмотрения оператора Дирака

$D=d+d^{*}$

Нечетные размеры

Формула Черна определена только для четных размерностей, поскольку эйлерова характеристика исчезает для нечетных размерностей. Проводятся некоторые исследования по «искажению» теоремы об индексе в K-теории для получения нетривиальных результатов для нечетных измерений.

Существует также вариант формулы Черна для орбифолдов .

История

Шиинг-Шен Черн опубликовал свое доказательство теоремы в 1944 году, когда работал в Институте перспективных исследований . Исторически это был первый случай, когда формула была доказана без предположения, что многообразие включено в евклидово пространство, что подразумевается под «внутренним». Особый случай гиперповерхности ( (n-1)-мерного подмногообразия в n-мерном евклидовом пространстве) был доказан Х. Хопфом , в котором подынтегральным выражением является кривизна Гаусса – Кронекера (произведение всех главных кривизн в точке гиперповерхности). Это было независимо обобщено Аллендорфером в 1939 году и Фенхелем в 1940 году на риманово подмногообразие евклидова пространства любой коразмерности, для чего они использовали кривизну Липшица-Киллинга (среднее значение кривизны Гаусса-Кронекера вдоль каждого единичного нормального вектора по единичному вектору). сфера в нормальном пространстве для четномерного подмногообразия — это инвариант, зависящий только от Риманова метрика подмногообразия). Их результат был бы справедлив для общего случая, если бы теорему вложения Нэша Можно принять . Однако эта теорема тогда не была доступна, поскольку Джон Нэш опубликовал свою знаменитую теорему вложения для римановых многообразий в 1956 году. В 1943 году Аллендорфер и Вейль опубликовали свое доказательство для общего случая, в котором они впервые использовали аппроксимационную теорему Х. Уитни для сведения В случае аналитических римановых многообразий они затем вложили «маленькие» окрестности многообразия изометрически в евклидово пространство с помощью локальной теоремы вложения Картана – Жане, чтобы они могли соединить эти вложенные окрестности вместе и применить приведенную выше теорему Аллендорфера. и Фенчела, чтобы установить глобальный результат. Это, конечно, неудовлетворительно, поскольку теорема касается только внутренних инвариантов многообразия, тогда справедливость теоремы не должна зависеть от ее вложения в евклидово пространство. Вейль встретил Черна в Принстоне после прибытия Черна в августе 1943 года. Он сказал Черну, что, по его мнению, должно быть существенное доказательство, которое Черн смог получить в течение двух недель. Результатом стала классическая статья Черна «Простое внутреннее доказательство формулы Гаусса – Бонне для замкнутых римановых многообразий», опубликованная в «Анналах математики» в следующем году. Черн цитировал в этой статье более ранние работы Аллендорфера, Фенхеля, Аллендорфера и Вейля. Работу Аллендорфера и Вейля также цитировал Черн в своей второй статье на ту же тему.

См. также

• Гомоморфизм Черна – Вейля
• Класс Черна
• Chern–Simons form
• Теория Черна – Саймонса
• Гипотеза Черна (аффинная геометрия)
• Число Понтрягина
• класс Понтрягина
• Когомологии Де Рама
• Фаза Берри
• Теорема Атьи – Зингера об индексе
• Теорема Римана – Роха