Естественная трансформация

«Естественная операция» перенаправляется сюда. О натуральной сумме и натуральном произведении порядковых чисел см. Порядковая арифметика § Натуральные операции .

Эта статья о естественных преобразованиях в теории категорий. Чтобы узнать о естественной способности бактерий поглощать чужеродную ДНК, см. Генетическая трансформация . Чтобы узнать о других значениях, см. Трансформация (математика) (значения) .

В теории категорий , разделе математики , естественное преобразование обеспечивает способ преобразования одного функтора в другой, сохраняя при этом внутреннюю структуру (т. е. состав морфизмов ) задействованных категорий . Следовательно, естественное преобразование можно рассматривать как «морфизм функторов». Неформально, понятие естественного преобразования утверждает, что определенное отображение между функторами может быть выполнено последовательно для всей категории.

Действительно, эту интуицию можно формализовать, чтобы определить так называемые категории функторов . Естественные преобразования являются после категорий и функторов одним из наиболее фундаментальных понятий теории категорий и, следовательно, появляются в большинстве ее приложений.

Определение

Если $F$ и $G$ являются функторами между категориями $C$ и $D$ (оба из $C$ к $D$), то естественное преобразование $\eta$ от $F$ к $G$ — семейство морфизмов, удовлетворяющее двум требованиям.

1. Естественная трансформация должна ассоциироваться с каждым объектом $X$ в $C$, морфизм $\eta _{X}:F(X)\to G(X)$ между объектами $D$. Морфизм $\eta _{X}$ называется компонентом ​ $\eta$ в $X$.
2. Компоненты должны быть такими, что для любого морфизма $f:X\to Y$ в $C$ у нас есть:

$\eta _{Y}\circ F(f)=G(f)\circ \eta _{X}$

Последнее уравнение удобно выразить коммутативной диаграммой

This is the commutative diagram which is part of the definition of a natural transformation between two functors.

Если оба $F$ и $G$ контравариантны . , вертикальные стрелки на правой диаграмме перевернуты Если $\eta$ является естественным преобразованием из $F$ к $G$, мы тоже пишем $\eta :F\to G$ или $\eta :F\Rightarrow G$. Это также выражается, говоря, что семейство морфизмов $\eta _{X}:F(X)\to G(X)$ естественно ​ в $X$.

Если для каждого объекта $X$ в $C$, морфизм $\eta _{X}$ является изоморфизмом в $D$, затем $\eta$ Говорят, что это естественный изоморфизм (или иногда естественная эквивалентность или изоморфизм функторов ). Два функтора $F$ и $G$ называются естественно изоморфными или просто изоморфными , если существует естественный изоморфизм из $F$ к $G$.

Инфраестественная трансформация $\eta$ от $F$ к $G$ это просто семейство морфизмов $\eta _{X}:F(X)\to G(X)$, для всех $X$ в $C$. Таким образом, естественная трансформация — это сверхъестественная трансформация, для которой $\eta _{Y}\circ F(f)=G(f)\circ \eta _{X}$ для каждого морфизма $f:X\to Y$. Натурализатор ​ ​ $\eta$, нет $(\eta )$, является самой подкатегорией крупной $C$ содержащий все объекты $C$ на котором $\eta$ ограничивается естественным преобразованием.

Примеры

Противоположная группа

Дополнительная информация: Противоположная группа.

Такие заявления, как

«Каждая группа естественно изоморфна своей противоположной группе »

изобилуют современной математикой. Сейчас мы дадим точный смысл этого утверждения, а также его доказательство. Рассмотрим категорию ${\textbf {Grp}}$ всех групп с групповыми гомоморфизмами как морфизмами. Если $(G,*)$ является группой, мы определяем его противоположная группа $(G^{\text{op}},{*}^{\text{op}})$ следующее: $G^{\text{op}}$ тот же набор, что и $G$, и операция $*^{\text{op}}$ определяется к $a*^{\text{op}}b=b*a$. Все умножения в $G^{\text{op}}$ таким образом, «переворачиваются». Формирование противоположной группы становится (ковариантный) функтор из ${\textbf {Grp}}$ к ${\textbf {Grp}}$ если мы определим $f^{\text{op}}=f$ для любого группового гомоморфизма $f:G\to H$. Обратите внимание, что $f^{\text{op}}$ действительно является групповым гомоморфизмом из $G^{\text{op}}$ к $H^{\text{op}}$:

$f^{\text{op}}(a*^{\text{op}}b)=f(b*a)=f(b)*f(a)=f^{\text{op}}(a)*^{\text{op}}f^{\text{op}}(b).$

Содержание вышеуказанного заявления следующее:

«Тождественный функтор ${\text{Id}}_{\textbf {Grp}}:{\textbf {Grp}}\to {\textbf {Grp}}$ естественно изоморфен противоположному функтору ${\text{op}}:{\textbf {Grp}}\to {\textbf {Grp}}$"

Чтобы доказать это, нам нужно доказать изоморфизмы $\eta _{G}:G\to G^{\text{op}}$ для каждой группы $G$, такой, что приведенная выше диаграмма коммутирует. Набор $\eta _{G}(a)=a^{-1}$. Формулы $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}=a^{-1}*^{\text{op}}b^{-1}$ и $(a^{-1})^{-1}=a$ покажи это $\eta _{G}$ является групповым гомоморфизмом с обратным $\eta _{G^{\text{op}}}$. Чтобы доказать естественность, начнем с группового гомоморфизма $f:G\to H$ и покажи $\eta _{H}\circ f=f^{\text{op}}\circ \eta _{G}$, то есть $(f(a))^{-1}=f^{\text{op}}(a^{-1})$ для всех $a$ в $G$. Это верно, поскольку $f^{\text{op}}=f$ и каждый гомоморфизм группы обладает свойством $(f(a))^{-1}=f(a^{-1})$.

Модули

Позволять $\varphi :M\longrightarrow M^{\prime }$ быть $R$-модульный гомоморфизм правых модулей. Для каждого левого модуля $N$ есть естественная карта $\varphi \otimes N:M\otimes _{R}N\longrightarrow M^{\prime }\otimes _{R}N$, образуют естественное преобразование $\eta :M\otimes _{R}-\implies M'\otimes _{R}-$. Для каждого правильного модуля $N$ есть естественная карта $\eta _{N}:{\text{Hom}}_{R}(M',N)\longrightarrow {\text{Hom}}_{R}(M,N)$ определяется $\eta _{N}(f)=f\varphi$, образуют естественное преобразование $\eta :{\text{Hom}}_{R}(M',-)\implies {\text{Hom}}_{R}(M,-)$.

Абелианизация

Учитывая группу $G$, мы можем определить его абелианизацию $G^{\text{ab}}=G/$ $[G,G]$. Позволять $\pi _{G}:G\to G^{\text{ab}}$ обозначим карту проекции на смежные классы $[G,G]$. Этот гомоморфизм «естественен в $G$", т. е. определяет естественное преобразование, которое мы сейчас и проверим. Пусть $H$ быть группой. Для любого гомоморфизма $f:G\to H$, у нас это есть $[G,G]$ содержится в ядре $\pi _{H}\circ f$, потому что любой гомоморфизм в абелеву группу убивает коммутант. Затем $\pi _{H}\circ f$ факторы через $G^{\text{ab}}$ как $f^{\text{ab}}\circ \pi _{G}=\pi _{H}\circ f$ для единственного гомоморфизма $f^{\text{ab}}:G^{\text{ab}}\to H^{\text{ab}}$. Это делает ${\text{ab}}:{\textbf {Grp}}\to {\textbf {Grp}}$ функтор и $\pi$ естественное преобразование, но не естественный изоморфизм, от тождественного функтора к ${\text{ab}}$.

Гомоморфизм Гуревича

изобилуют функторы и естественные преобразования В алгебраической топологии , гомоморфизмы Гуревича примерами которых служат . Для любого точечного топологического пространства $(X,x)$ и положительное целое число $n$ существует групповой гомоморфизм

$h_{n}\colon \pi _{n}(X,x)\to H_{n}(X)$

из $n$-я гомотопическая группа $(X,x)$ к $n$-я гомологии группа $X$. Оба $\pi _{n}$ и $H_{n}$ являются функторами из категории Top ^* точечных топологических пространств к категории Grp и групп $h_{n}$ является естественным преобразованием из $\pi _{n}$ к $H_{n}$.

Определитель

Смотрите также: Определитель § Квадратные матрицы над коммутативными кольцами

Даны коммутативные кольца $R$ и $S$ с кольцевым гомоморфизмом $f:R\to S$, соответствующие группы обратимых $n\times n$ матрицы ${\text{GL}}_{n}(R)$ и ${\text{GL}}_{n}(S)$ наследуют гомоморфизм, который мы обозначаем через ${\text{GL}}_{n}(f)$, полученный применением $f$ к каждой записи матрицы. Сходным образом, $f$ ограничивается групповым гомоморфизмом $f^{*}:R^{*}\to S^{*}$, где $R^{*}$ обозначает единиц группу $R$. Фактически, ${\text{GL}}_{n}$ и $*$ являются функторами из категории коммутативных колец ${\textbf {CRing}}$ к ${\textbf {Grp}}$. Определитель ​ группы ${\text{GL}}_{n}(R)$, обозначенный ${\text{det}}_{R}$, является групповым гомоморфизмом

${\mbox{det}}_{R}\colon {\mbox{GL}}_{n}(R)\to R^{*}$

что естественно в $R$: поскольку определитель определяется по одной и той же формуле для каждого кольца, $f^{*}\circ {\text{det}}_{R}={\text{det}}_{S}\circ {\text{GL}}_{n}(f)$ держит. Это делает определитель естественным преобразованием из ${\text{GL}}_{n}$ к $*$.

Двойной двойник векторного пространства

Например, если $K$ является полем , то для любого векторного пространства $V$ над $K$ у нас есть «естественное» инъективное линейное отображение $V\to V^{**}$ из векторного пространства в его двойной двойник . Эти отображения «естественны» в следующем смысле: двойная двойственная операция является функтором, а отображения — компонентами естественного преобразования от тождественного функтора к двойному двойственному функтору.

Конечное исчисление

Для каждой абелевой группы $G$, набор ${\text{Hom}}_{\textbf {Set}}(\mathbb {Z} ,U(G))$ функций от целых чисел до основного набора $G$ образует абелеву группу $V_{\mathbb {Z} }(G)$ при поточечном сложении. (Здесь $U$ стандартный функтор забывчивости $U:{\textbf {Ab}}\to {\textbf {Set}}$.) Учитывая ${\textbf {Ab}}$ морфизм $\varphi :G\to G'$, карта $V_{\mathbb {Z} }(\varphi ):V_{\mathbb {Z} }(G)\to V_{\mathbb {Z} }(G')$ предоставлено левым составителем $\varphi$ с элементами первого сам является гомоморфизмом абелевых групп; таким образом мы получить функтор $V_{\mathbb {Z} }:{\textbf {Ab}}\to {\textbf {Ab}}$. Конечно-разностный оператор $\Delta _{G}$ беря каждую функцию $f:\mathbb {Z} \to U(G)$ к $\Delta (f):n\mapsto f(n+1)-f(n)$ это карта из $V_{\mathbb {Z} }(G)$ себе и коллекции $\Delta$ таких карт дает естественное преобразование $\Delta :V_{\mathbb {Z} }\to V_{\mathbb {Z} }$.

Присоединение Тензор-хом

Дополнительная информация: присоединение Tensor-hom и сопряженные функторы.

Рассмотрим категорию ${\textbf {Ab}}$ абелевых групп и групповых гомоморфизмов. Для всех абелевых групп $X$, $Y$ и $Z$ у нас есть групповой изоморфизм

${\text{Hom}}(X\otimes Y,Z)\to {\text{Hom}}(X,{\text{Hom}}(Y,Z))$.

Эти изоморфизмы «естественны» в том смысле, что они определяют естественное преобразование между двумя задействованными функторами. ${\textbf {Ab}}^{\text{op}}\times {\textbf {Ab}}^{\text{op}}\times {\textbf {Ab}}\to {\textbf {Ab}}$. (Здесь «оп» — противоположная категория ${\textbf {Ab}}$, не путать с тривиальным функтором противоположной группы на ${\textbf {Ab}}$ !)

Формально это соединение тензор-хом и является архетипическим примером пары сопряженных функторов . Естественные преобразования часто возникают в сочетании с присоединенными функторами, и действительно, присоединенные функторы определяются некоторым естественным изоморфизмом. Кроме того, каждая пара сопряженных функторов снабжена двумя естественными преобразованиями (обычно не изоморфизмами), называемыми единицей и коюнитом .

Неестественный изоморфизм

См. также: Каноническая карта.

Понятие естественного преобразования является категориальным и утверждает (неформально), что конкретное отображение между функторами может быть выполнено последовательно во всей категории. Неформально, конкретное отображение (особенно изоморфизм) между отдельными объектами (не целыми категориями) называется «естественным изоморфизмом», что неявно означает, что оно фактически определено для всей категории и определяет естественное преобразование функторов; формализация этой интуиции была мотивирующим фактором в развитии теории категорий.

И наоборот, конкретное отображение между конкретными объектами можно назвать неестественным изоморфизмом (или «изоморфизмом, который не является естественным»), если отображение не может быть расширено до естественного преобразования во всей категории. Учитывая объект $X,$ функционер $G$ (считая для простоты первый функтор тождественным) и изоморфизм $\eta \colon X\to G(X),$ доказательство неестественности легче всего показать, задав автоморфизм $A\colon X\to X$ который не коммутирует с этим изоморфизмом (поэтому $\eta \circ A\neq G(A)\circ \eta$). Более сильно, если кто-то хочет доказать, что $X$ и $G(X)$ не являются естественно изоморфными, без ссылки на конкретный изоморфизм, для этого необходимо показать, что для любого изоморфизма $\eta$, есть некоторые $A$ с которым он не коммутирует; в некоторых случаях один автоморфизм $A$ работает для всех изоморфизмов-кандидатов $\eta$ в то время как в других случаях нужно показать, как построить другой $A_{\eta }$ для каждого изоморфизма. Карты категорий играют решающую роль: любое инфраестественное преобразование является естественным, если, например, единственными картами являются карта идентичности.

Это похоже (но более категорично) на концепции теории групп или теории модулей, где данное разложение объекта в прямую сумму «не естественно» или, скорее, «не уникально», поскольку существуют автоморфизмы, которые не сохраняют прямую сумму. разложение суммы - см. Структурную теорему для конечно порожденных модулей в области главных идеалов § Уникальность , например, .

Некоторые авторы различают обозначения, используя $\cong$ для естественного изоморфизма и $\approx$ для неестественного изоморфизма, оставляя $=$ на равенство (обычно равенство карт).

Пример: фундаментальная группа тора

В качестве примера различия между функториальным утверждением и отдельными объектами рассмотрим гомотопические группы пространства произведений, в частности фундаментальную группу тора.

Гомотопические группы пространства произведений естественным образом являются произведением гомотопических групп компонентов: $\pi _{n}((X,x_{0})\times (Y,y_{0}))\cong \pi _{n}((X,x_{0}))\times \pi _{n}((Y,y_{0})),$ с изоморфизмом, заданным проекцией на два фактора, по сути потому, что отображения в пространство произведений являются в точности произведениями отображений на компоненты – это функториальное утверждение.

Однако тор (который абстрактно является произведением двух окружностей) имеет фундаментальную группу , изоморфную $Z^{2}$, но расщепление $\pi _{1}(T,t_{0})\approx \mathbf {Z} \times \mathbf {Z}$ не является естественным. Обратите внимание на использование $\approx$, $\cong$, и $=$:

$\pi _{1}(T,t_{0})\approx \pi _{1}(S^{1},x_{0})\times \pi _{1}(S^{1},y_{0})\cong \mathbf {Z} \times \mathbf {Z} =\mathbf {Z} ^{2}.$

Этот абстрактный изоморфизм с произведением не является естественным, так как некоторые изоморфизмы $T$ не сохраняют произведение: самогомеоморфизм $T$ (думается как фактор-пространство $R^{2}/\mathbb {Z} ^{2}$) предоставлено $\left({\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}\right)$ (геометрически поворот Дена вокруг одной из порождающих кривых) действует как эта матрица на $\mathbb {Z} ^{2}$ (это в общей линейной группе ${\text{GL}}(\mathbb {Z} ,2)$ обратимых целочисленных матриц), которая не сохраняет разложение в произведение, поскольку оно не диагонально. Однако если дать тор как произведение $(T,t_{0})=(S^{1},x_{0})\times (S^{1},y_{0})$ – то же самое, учитывая разложение пространства – тогда расщепление группы следует из общего утверждения, сделанного ранее. В категориальном плане соответствующей категорией (сохраняющей структуру пространства продукта) являются «карты пространств продукта, а именно пара карт между соответствующими компонентами».

Естественность является категоричным понятием и требует очень точного определения того, какие именно данные даны: тор как пространство, которое оказывается продуктом (в категории пространств и непрерывных отображений), отличается от тора, представленного как продукт (в категории пространств и непрерывных отображений). категория произведений двух пространств и непрерывные отображения между соответствующими компонентами).

Пример: двойственное конечномерному векторному пространству.

Каждое конечномерное векторное пространство изоморфно своему двойственному пространству, но между этими двумя пространствами может быть много разных изоморфизмов. В общем случае не существует естественного изоморфизма между конечномерным векторным пространством и двойственным к нему пространством. Однако родственные категории (с дополнительной структурой и ограничениями на отображения) имеют естественный изоморфизм, как описано ниже.

Двойственное пространство конечномерного векторного пространства снова является конечномерным векторным пространством той же размерности, и, таким образом, они изоморфны, поскольку размерность является единственным инвариантом конечномерных векторных пространств над данным полем. Однако в отсутствие дополнительных ограничений (например, требования, чтобы карты сохраняли выбранный базис) отображение пространства в двойственное ему не является уникальным, и, следовательно, такой изоморфизм требует выбора и не является «естественным». В категории конечномерных векторных пространств и линейных отображений можно определить инфраестественный изоморфизм векторных пространств к их двойственным, выбрав изоморфизм для каждого пространства (скажем, выбрав базис для каждого векторного пространства и взяв соответствующий изоморфизм), но это не будет определять естественную трансформацию. Интуитивно это происходит потому, что это требует выбора, строго потому, что любой такой выбор изоморфизмов не будет коммутировать, скажем, с нулевым отображением; см. ( Mac Lane & Birkhoff 1999 подробное обсуждение , §VI.4).

Начиная с конечномерных векторных пространств (как объектов), а также тождественных и двойственных функторов, можно определить естественный изоморфизм, но для этого необходимо сначала добавить дополнительную структуру, а затем ограничить карты от «всех линейных карт» до «линейных карт, которые соблюдают это». структура». Явно, для каждого векторного пространства требуется, чтобы оно содержало данные изоморфизма его двойственного, $\eta _{V}\colon V\to V^{*}$. Другими словами, в качестве объектов возьмем векторные пространства невырожденной билинейной формы $b_{V}\colon V\times V\to K$. Это определяет инфраестественный изоморфизм (изоморфизм для каждого объекта). Затем можно ограничить карты только теми картами. $T\colon V\to U$ которые коммутируют с изоморфизмами: $T^{*}(\eta _{U}(T(v)))=\eta _{V}(v)$ или, другими словами, сохранить билинейную форму: $b_{U}(T(v),T(w))=b_{V}(v,w)$. (Эти карты определяют натурализатор изоморфизмов.) Полученная категория с объектами, конечномерными векторными пространствами с невырожденной билинейной формой, и линейными преобразованиями отображений, соблюдающими билинейную форму, по построению имеет естественный изоморфизм от единицы к двойственной форме. (каждое пространство имеет изоморфизм своему двойственному пространству, и отображения в категории должны коммутировать). С этой точки зрения эта конструкция (добавление преобразований для каждого объекта, ограничение коммутации карт с ними) является совершенно общей и не зависит от каких-либо конкретных свойств векторных пространств.

В этой категории (конечномерные векторные пространства с невырожденной билинейной формой, линейные преобразования карт, соблюдающие билинейную форму) двойственное отображение между векторными пространствами можно идентифицировать как транспонирование . Часто по причинам геометрического интереса это специализировано на подкатегорию, требуя, чтобы невырожденные билинейные формы имели дополнительные свойства, такие как симметричность ( ортогональные матрицы ), симметричность и положительно определенная ( пространство внутреннего продукта ), симметричная полуторалинейность ( эрмитово пространство ), кососимметричное и полностью изотропное ( симплектическое векторное пространство ) и т. д. – во всех этих категориях векторное пространство естественным образом отождествляется со своим двойственным, по невырожденной билинейной форме.

Операции с естественными преобразованиями

Горизонтальная и вертикальная композиция природных преобразований

Вертикальная композиция

Если $\eta :F\Rightarrow G$ и $\epsilon :G\Rightarrow H$ являются естественными преобразованиями между функторами $F,G,H:C\to D$, то мы можем скомпоновать их, чтобы получить естественное преобразование $\epsilon \circ \eta :F\Rightarrow H$. Это делается покомпонентно:

$(\epsilon \circ \eta )_{X}=\epsilon _{X}\circ \eta _{X}$.

Эта вертикальная композиция естественных преобразований ассоциативна , имеет тождество и позволяет рассматривать совокупность всех функторов. $C\to D$ себя как категорию (см. ниже в разделе «Категории функторов» ). Естественная трансформация личности $\mathrm {id} _{F}$ на функторе $F$ имеет компоненты $(\mathrm {id} _{F})_{X}=\mathrm {id} _{F(X)}$.

Для $\eta :F\Rightarrow G$, $\mathrm {id} _{G}\circ \eta =\eta =\eta \circ \mathrm {id} _{F}$.

Горизонтальная композиция

Если $\eta :F\Rightarrow G$ является естественным преобразованием между функторами $F,G:C\to D$ и $\epsilon :J\Rightarrow K$ является естественным преобразованием между функторами $J,K:D\to E$, то композиция функторов допускает композицию естественных преобразований $\epsilon *\eta :J\circ F\Rightarrow K\circ G$ с компонентами

$(\epsilon *\eta )_{X}=\epsilon _{G(X)}\circ J(\eta _{X})=K(\eta _{X})\circ \epsilon _{F(X)}$.

Используя усы (см. ниже), мы можем написать

$(\epsilon *\eta )_{X}=(\epsilon G)_{X}\circ (J\eta )_{X}=(K\eta )_{X}\circ (\epsilon F)_{X}$,

следовательно

$\epsilon *\eta =\epsilon G\circ J\eta =K\eta \circ \epsilon F$.

Эта горизонтальная композиция естественных преобразований также ассоциативна с идентичностью. Это тождество является тождественным естественным преобразованием тождественного функтора , т. е. естественным преобразованием, которое связывает с каждым объектом его тождественный морфизм : для объекта $X$ в категории $C$, $(\mathrm {id} _{\mathrm {id} _{C}})_{X}=\mathrm {id} _{\mathrm {id} _{C}(X)}=\mathrm {id} _{X}$.

Для $\eta :F\Rightarrow G$ с $F,G:C\to D$, $\mathrm {id} _{\mathrm {id} _{D}}*\eta =\eta =\eta *\mathrm {id} _{\mathrm {id} _{C}}$.

Как функторы тождества $\mathrm {id} _{C}$ и $\mathrm {id} _{D}$ являются функторами, то тождество горизонтальной композиции является также тождеством вертикальной композиции, но не наоборот.

бакенбарды

Усы — это внешняя бинарная операция между функтором и естественным преобразованием.

Если $\eta :F\Rightarrow G$ является естественным преобразованием между функторами $F,G:C\to D$, и $H:D\to E$ — еще один функтор, то мы можем сформировать естественное преобразование $H\eta :H\circ F\Rightarrow H\circ G$ определяя

$(H\eta )_{X}=H(\eta _{X})$.

Если с другой стороны $K:B\to C$ является функтором, естественным преобразованием $\eta K:F\circ K\Rightarrow G\circ K$ определяется

$(\eta K)_{X}=\eta _{K(X)}$.

Это также горизонтальная композиция, в которой одним из естественных преобразований является естественная трансформация идентичности:

$H\eta =\mathrm {id} _{H}*\eta$ и $\eta K=\eta *\mathrm {id} _{K}$.

Обратите внимание, что $\mathrm {id} _{H}$ (соответственно $\mathrm {id} _{K}$), как правило, не является левой (соответственно правой) идентичностью горизонтальной композиции. $*$ ( $H\eta \neq \eta$ и $\eta K\neq \eta$ вообще), за исключением случаев, когда $H$ (соответственно $K$) — тождественный функтор категории $D$ (соответственно $C$).

Закон об обмене

Эти две операции связаны тождеством, которое заменяет вертикальную композицию горизонтальной композицией: если у нас есть четыре естественных преобразования $\alpha ,\alpha ',\beta ,\beta '$ как показано на изображении справа, то имеет место следующее тождество:

$(\beta '\circ \alpha ')*(\beta \circ \alpha )=(\beta '*\beta )\circ (\alpha '*\alpha )$.

Вертикальные и горизонтальные композиции также связаны естественными трансформациями идентичности:

для $F:C\to D$ и $G:D\to E$, $\mathrm {id} _{G}*\mathrm {id} _{F}=\mathrm {id} _{G\circ F}$.

Поскольку усики представляют собой горизонтальную композицию с идентичностью, закон обмена немедленно дает компактные формулы горизонтальной композиции $\eta :F\Rightarrow G$ и $\epsilon :J\Rightarrow K$ без необходимости анализа компонентов и коммутативной диаграммы:

${\begin{aligned}\epsilon *\eta &=(\epsilon \circ \mathrm {id} _{J})*(\mathrm {id} _{G}\circ \eta )=(\epsilon *\mathrm {id} _{G})\circ (\mathrm {id} _{J}*\eta )=\epsilon G\circ J\eta \\&=(\mathrm {id} _{K}\circ \epsilon )*(\eta \circ \mathrm {id} _{F})=(\mathrm {id} _{K}*\eta )\circ (\epsilon *\mathrm {id} _{F})=K\eta \circ \epsilon F\end{aligned}}$.

Категории функторов

Основная статья: Категория функтора

Если $C$ любая категория и $I$ — небольшая категория , мы можем сформировать категорию функтора $C^{I}$ имея в качестве объектов все функторы из $I$ к $C$ и как морфизмы — естественные преобразования между этими функторами. Это образует категорию, поскольку для любого функтора $F$ происходит естественная трансформация личности $1_{F}:F\to F$ (который присваивает каждому объекту $X$ тождественный морфизм на $F(X)$) и композиция двух естественных преобразований («вертикальная композиция» выше) снова является естественным преобразованием.

Изоморфизмы ​ в $C^{I}$ являются в точности естественными изоморфизмами. То есть естественная трансформация $\eta :F\to G$ является естественным изоморфизмом тогда и только тогда, когда существует естественное преобразование $\epsilon :G\to F$ такой, что $\eta \epsilon =1_{G}$ и $\epsilon \eta =1_{F}$.

Категория функтора $C^{I}$ особенно полезно, если $I$ возникает из ориентированного графа . Например, если $I$ — категория ориентированного графа • → • , то $C^{I}$ имеет в качестве объектов морфизмы $C$и морфизм между $\phi :U\to V$ и $\psi :X\to Y$ в $C^{I}$ представляет собой пару морфизмов $f:U\to X$ и $g:V\to Y$ в $C$ такой, что «квадрат коммутирует», т.е. $\psi \circ f=g\circ \phi$.

В более общем смысле можно построить 2-категории ${\textbf {Cat}}$ чей

• 0-ячейки (объекты) — это небольшие категории,
• 1-клетки (стрелки) между двумя объектами $C$ и $D$ являются функторами из $C$ к $D$,
• 2-ячейки между двумя 1-ячейками (функторами) $F:C\to D$ и $G:C\to D$ являются естественными преобразованиями из $F$ к $G$.

Горизонтальные и вертикальные композиции представляют собой композиции между естественными преобразованиями, описанными ранее. Категория функтора $C^{I}$ тогда это просто hom-категория в этой категории (оставляя в стороне вопросы малости).

Больше примеров

Каждый предел и копредел служат примером простого естественного преобразования, поскольку конус представляет собой естественное преобразование с диагональным функтором в качестве области определения. Действительно, если пределы и копределы определяются непосредственно в терминах их универсального свойства , они являются универсальными морфизмами в категории функтора.

Лемма Йонеды

Основная статья: лемма Йонеды

Если $X$ является объектом локально малой категории $C$, то задание $Y\mapsto {\text{Hom}}_{C}(X,Y)$ вы определяете ковариантный оператор $F_{X}:C\to {\textbf {Set}}$. Этот функтор называется представимым (в более общем смысле представимый функтор — это любой функтор, естественно изоморфный этому функтору при соответствующем выборе $X$). Естественные преобразования представимого функтора в произвольный функтор. $F:C\to {\textbf {Set}}$ полностью известны и легко описываются; таково содержание леммы Йонеды .

Исторические заметки

Говорят, что Сондерс Маклейн , один из основателей теории категорий, заметил: «Я изобрел категории не для изучения функторов; я изобрел их для изучения естественных преобразований». Как изучение групп не является полным без изучения гомоморфизмов , так и изучение категорий не является полным без изучения функторов . Причина комментария Мак Лейна в том, что изучение функторов само по себе не является полным без изучения естественных преобразований.

Контекстом замечания Мак Лейна была аксиоматическая теория гомологии . Можно показать, что различные способы построения гомологии совпадают: например, в случае симплициального комплекса группы, определенные непосредственно, будут изоморфны группам сингулярной теории. Что невозможно легко выразить без языка естественных преобразований, так это то, как группы гомологии совместимы с морфизмами между объектами и как две эквивалентные теории гомологии не только имеют одни и те же группы гомологии, но также и одни и те же морфизмы между этими группами.

См. также

• Сверхъестественная трансформация
• Универсальная собственность
• Теория высших категорий

Ссылки

• Мак Лейн, Сондерс (1998), Категории для работающего математика , Тексты для выпускников по математике 5 (2-е изд.), Springer-Verlag, стр. 16, ISBN  0-387-98403-8
• Мак Лейн, Сондерс ; Биркгоф, Гарретт (1999), Алгебра (3-е изд.), AMS Chelsea Publishing, ISBN  0-8218-1646-2 .
• Аводи, Стив (2010). Теория категорий . Оксфорд, Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. п. 156 . ISBN  978-0199237180 .
• Лейн, Сондерс (1992). Пучки в геометрии и логике: первое введение в теорию топоса . Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 13 . ISBN  0387977104 .

Внешние ссылки

• nLab — вики-проект по математике, физике и философии с упором на n -категориальную точку зрения.
• Дж. Адамек, Х. Херрлих, Г. Стрекер, Абстрактные и конкретные категории – радость кошек
• Стэнфордская энциклопедия философии : « Теория категорий » Жан-Пьера Маркиза. Обширная библиография.
• Баэз, Джон, 1996, « Повесть о n -категориях». Неофициальное введение в высшие категории.