Теория совместных измерений

Теория совместного измерения (также известная как совместное измерение или аддитивное совместное измерение ) представляет собой общую формальную теорию непрерывной величины . Он был независимо открыт французским экономистом Жераром Дебре (1960), а также американским математическим психологом Р. Дунканом Люсом и статистиком Джоном Тьюки ( Luce & Tukey 1964 ).

Теория касается ситуации, когда по крайней мере два естественных атрибута, A и X неинтерактивно связаны с третьим атрибутом, P. , Не требуется, чтобы A , X или P были известными величинами. Через конкретные отношения между уровнями P можно установить, что P , A и X являются непрерывными величинами. Следовательно, теорию совместного измерения можно использовать для количественной оценки атрибутов в эмпирических обстоятельствах, когда невозможно объединить уровни атрибутов с помощью параллельной операции или конкатенации . Таким образом, количественная оценка психологических атрибутов, таких как установки, когнитивные способности и полезность, логически правдоподобна. Это означает, что возможно научное измерение психологических качеств. То есть, как и физические величины, величина психологической величины может быть выражена как произведение действительного числа и единичной величины.

Однако применение теории совместного измерения в психологии было ограничено. Утверждалось, что это происходит из-за высокого уровня формальной математики (например, Клифф, 1992 ) и что теория не может объяснить «зашумленные» данные, обычно обнаруживаемые в психологических исследованиях (например, Перлин, Райт и Вайнер, 1979 ). Утверждалось, что модель Раша является стохастическим вариантом теории совместного измерения (например, Brogden 1977 ; Embretson & Reise 2000 ; Fischer 1995 ; Keats 1967 ; Kline 1998 ; Scheiblechner 1999 ), однако это оспаривается (например, , Карабацос, 2001 г.; Кингдон, 2008 г.). Ограниченные по порядку методы проведения вероятностных проверок аксиом отмены совместного измерения были разработаны в последнее десятилетие (например, Karabatsos, 2001; Davis-Stober, 2009).

Теория совместного измерения (отличается, но) связана с конджойнт-анализом , который представляет собой методологию статистических экспериментов, используемую в маркетинге для оценки параметров аддитивных функций полезности. Респондентам предъявляются различные многоатрибутные стимулы, и для измерения их предпочтений в отношении представленных стимулов используются разные методы. Коэффициенты функции полезности оцениваются с использованием альтернативных инструментов, основанных на регрессии.

Исторический обзор

В 1930-х годах Британская ассоциация содействия развитию науки учредила Комитет Фергюсона для исследования возможности научного измерения психологических характеристик. Британский физик и теоретик измерений Норман Роберт Кэмпбелл был влиятельным членом комитета. В своем итоговом отчете (Фергюсон и др. , 1940) Кэмпбелл и Комитет пришли к выводу, что, поскольку психологические атрибуты не способны поддерживать операции конкатенации, такие атрибуты не могут быть непрерывными величинами. Поэтому их невозможно измерить научно. Это имело важные последствия для психологии, наиболее значительным из которых стало создание в 1946 году операционной теории измерения гарвардским психологом Стэнли Смитом Стивенсом . Ненаучная теория измерения Стивенса широко считается окончательной в психологии и поведенческих науках в целом , ) 1999 Мичелл ( .

Хотя немецкий математик Отто Гёльдер (1901) предвосхитил особенности теории совместного измерения, только после публикации основополагающей статьи Люса и Тьюки в 1964 году теория получила свое первое полное изложение. Представление Люса и Тьюки было алгебраическим и поэтому считается более общим, чем топологическая работа Дебре (1960), причем последняя является частным случаем первой ( Luce & Suppes 2002 ). В первой статье первого номера «Журнала математической психологии » Люс и Тьюки (1964) доказали, что с помощью теории совместного измерения можно количественно оценить атрибуты, не поддающиеся конкатенации. Таким образом, Н. Р. Кэмпбелл и комитет Фергюсона оказались неправы. То, что данный психологический атрибут является непрерывной величиной, представляет собой логически последовательную и эмпирически проверяемую гипотезу.

В следующем номере того же журнала появились важные статьи Даны Скотт (1964), которая предложила иерархию условий отмены для косвенной проверки разрешимости и аксиом Архимеда , и Дэвида Кранца (1964), который связал работу Люса и Тьюки к мнению Гёльдера (1901).

Вскоре работа сосредоточилась на расширении теории совместного измерения, включив в нее более двух атрибутов. Кранц 1968 и Амос Тверски (1967) разработали то, что стало известно как полиномиальное совместное измерение , причем Кранц 1968 предоставил схему, с помощью которой можно построить структуры совместного измерения трех или более атрибутов. Позже теория совместного измерения (в ее двух переменных, полиномиальной и n -компонентной формах) получила тщательное и высокотехнологичное рассмотрение с публикацией первого тома « Основы измерения» с Кранцем, Люсе, Тверски и философом Патриком Суппесом , написанного в соавторстве . ( Кранц и др., 1971 ).

Вскоре после публикации Кранца и др. (1971) работа была сосредоточена на разработке «теории ошибок» для теории совместных измерений. Были проведены исследования количества объединенных массивов, которые поддерживали только одинарную отмену, а также как одинарную, так и двойную отмену ( Arbuckle & Larimer 1976 ; McClelland 1977 ). Более поздние исследования по подсчету были сосредоточены на полиномиальном совместном измерении ( Карабацос и Ульрих 2002 ; Ульрих и Уилсон 1993 ). Эти исследования показали, что крайне маловероятно, чтобы аксиомы теории совместного измерения выполнялись случайным образом, при условии, что было идентифицировано более трех уровней хотя бы одного из атрибутов компонента.

Джоэл Мичелл (1988) позже определил, что класс тестов аксиомы двойного сокращения «без тестов» пуст. Таким образом, любой случай двойной отмены является либо принятием, либо отказом от аксиомы. В это время Мичелл также написал нетехническое введение в теорию совместных измерений ( Мичелл, 1990 ), которое также содержало схему для вывода условий сокращения более высокого порядка, основанную на работе Скотта (1964). Используя схему Мичелла, Бен Ричардс (Kyngdon & Richards, 2007) обнаружил, что некоторые случаи аксиомы тройного сокращения являются «бессвязными», поскольку они противоречат аксиоме одинарного сокращения. Более того, он выявил множество случаев тройной отмены, которые тривиально верны, если поддерживается двойная отмена.

Аксиомы теории совместного измерения не являются стохастическими; и, учитывая порядковые ограничения, налагаемые на данные аксиомами отмены, необходимо использовать методологию вывода с ограничением порядка ( Iverson & Falmagne 1985 ). Джордж Карабацос и его коллеги (Karabatsos, 2001; Karabatsos & Sheu 2004 ) разработали методологию Байесовской цепи Маркова Монте-Карло для психометрических приложений. Карабацос и Ульрих 2002 продемонстрировали, как эту структуру можно расширить до полиномиальных объединенных структур. Карабацос (2005) обобщил эту работу своей полиномиальной структурой Дирихле, которая позволила вероятностную проверку многих нестохастических теорий математической психологии . Совсем недавно Клинтин Дэвис-Стобер (2009) разработал частотную структуру для вывода с ограниченным порядком, которую также можно использовать для проверки аксиом отмены.

Возможно, наиболее заметное (Kyngdon, 2011) использование теории совместного измерения было в теории перспектив, предложенной израильско-американскими психологами Дэниелом Канеманом и Амосом Тверски (Kahneman & Tversky, 1979). Теория перспектив была теорией принятия решений в условиях риска и неопределенности, которая объясняла поведение выбора, такое как парадокс Алле . Дэвид Кранц написал формальное доказательство теории перспектив, используя теорию совместного измерения. В 2002 году Канеман получил Нобелевскую премию по экономике за теорию перспектив (Бирнбаум, 2008).

Измерение и количественная оценка

Классическое/стандартное определение измерения

В физике и метрологии стандартным определением измерения является оценка отношения между величиной непрерывной величины и единичной величиной того же вида (де Бур, 1994/95; Эмерсон, 2008). Например, утверждение «длина прихожей Петра составляет 4 м» выражает измерение доселе неизвестной величины длины (длины прихожей) как отношение единицы измерения (в данном случае метра) к длине прихожей. Число 4 — действительное число в строгом математическом смысле этого термина.

Для некоторых других величин инвариантами являются отношения между разностями атрибутов . Возьмем, к примеру, температуру. В привычных повседневных случаях температура измеряется с помощью приборов, откалиброванных по шкале Фаренгейта или Цельсия. Что на самом деле измеряется такими приборами, так это величины разницы температур. Например, Андерс Цельсий определил единицу шкалы Цельсия как 1/100 разницы температур между точками замерзания и кипения воды на уровне моря. Измерение полуденной температуры в 20 градусов по Цельсию — это просто разница полуденной температуры и температуры замерзающей воды, деленная на разницу единиц Цельсия и температуры замерзающей воды.

Формально говоря, научное измерение – это:

Q=r\times [Q]

где Q — величина величины, r — действительное число, а [ Q ] — единица величины того же вида.

Экстенсивное и интенсивное количество

Длина — это величина, для которой существуют естественные операции конкатенации. То есть мы можем, например, комбинировать рядом друг с другом отрезки жестких стальных стержней так, чтобы легко наблюдать аддитивные отношения между длинами. Если у нас есть четыре таких стержня длиной по 1 м, мы можем сложить их встык, чтобы получить длину 4 м. Величины, способные к конкатенации, известны как экстенсивные величины и включают массу, время, электрическое сопротивление и угол плоскости. Они известны как основные величины в физике и метрологии.

Температура – это величина, для которой отсутствуют операции конкатенации. Мы не можем перелить объем воды с температурой 40 °С в другое ведро с водой с температурой 20 °С и ожидать, что получим объем воды с температурой 60 °С. Таким образом, температура является интенсивной величиной.

Психологические атрибуты, такие как температура, считаются интенсивными, поскольку не найдено способа объединения таких атрибутов. Но это не означает, что такие атрибуты не поддаются количественному измерению. Теория совместных измерений предоставляет теоретические средства для этого.

Теория

Рассмотрим два естественных A и X. атрибута Неизвестно, является ли A или X непрерывной величиной или обе они являются непрерывными. Пусть a , b и c представляют три независимых, идентифицируемых уровня A ; и пусть x , y и z , идентифицируемых уровня X. представляют собой три независимых Третий атрибут, , состоит из девяти упорядоченных пар уровней A и X. P То есть ( a , x ), ( b , y ),..., ( c , z ) (см. рисунок 1). Количественная оценка A , X и P зависит от поведения отношений, сохраняющихся на P. уровнях Эти отношения представлены как аксиомы теории совместного измерения.

Аксиома одинарной отмены или независимости

Аксиома одинарного сокращения состоит в следующем. Отношение к P удовлетворяет однократному сокращению тогда и только тогда, когда для всех a и b в A и x в X ( a , x ) > ( b , x подразумевается ) для каждого w в X такого, что ( a , w ) > ( б , ш ). Аналогично, для всех x и y в X и a в A ( a , x ) > ( a , y подразумевается ) для каждого d в A такого, что ( d , x ) > ( d , y ). Это означает, что если любые два уровня , b упорядочены , то этот порядок сохраняется независимо от каждого уровня X. a То же самое справедливо для любых двух уровней x и y из X относительно каждого уровня A .

Одиночное сокращение называется так потому, что один общий фактор двух уровней P сокращается, оставляя одно и то же порядковое отношение, сохраняющееся для остальных элементов. Например, a исключает неравенство ( a , x ) > ( a , y ), поскольку оно является общим для обеих сторон, оставляя x > y . Кранц и др. (1971) первоначально назвали эту аксиому независимостью , поскольку порядковое отношение между двумя уровнями атрибута не зависит от любого и всех уровней другого атрибута. Однако, учитывая, что термин «независимость» вызывает путаницу со статистическими концепциями независимости, предпочтительным является термин «однократное аннулирование». Рисунок 1 представляет собой графическое представление одного случая однократной отмены.

Удовлетворение аксиомы единственного сокращения необходимо, но недостаточно для количественной оценки A и X. атрибутов Это лишь демонстрирует, что уровни A , X и P упорядочены. Неформально, однократное сокращение недостаточно ограничивает порядок на уровнях P для количественной A и X. оценки Например, рассмотрим упорядоченные пары ( a , x ), ( b , x ) и ( b , y ). Если имеет место одиночное сокращение, то ( a , x ) > ( b , x ) и ( b , x ) > ( b , y ). Следовательно, через транзитивность ( a , x ) > ( b , y ). Отношение между этими двумя последними упорядоченными парами, неформально диагональное влево , определяется удовлетворением аксиомы единственного сокращения, как и все отношения «диагонали с левым наклоном» на P .

Аксиома двойной отмены

Одиночное сокращение не определяет порядок отношений «правой диагонали» на P . Несмотря на то, что путем транзитивности и однократного сокращения было установлено, что ( a , x ) > ( b , y ), связь между ( a , y ) и ( b , x ) остается неопределенной. Может случиться так, что либо ( b , x ) > ( a , y ), либо ( a , y ) > ( b , x ), и такая двусмысленность не может оставаться неразрешенной.

Аксиома двойного сокращения касается класса таких отношений на P, в которых общие члены двух предшествующих неравенств сокращаются, образуя третье неравенство. Рассмотрим пример двойной отмены, графически представленный на рисунке 2. Антецедентные неравенства для этого конкретного случая двойного сокращения таковы:

(a,y)>(b,x)

и

(b,z)>(c,y).

При условии:

(a,y)>(b,x)

верно тогда и только тогда, когда $a+y>b+x;$ и

(b,z)>(c,y)

верно тогда и только тогда, когда $b+z>c+y$ , отсюда следует, что:

a+y+b+z>b+x+c+y.

Отмена общих условий приводит к:

(a,z)>(c,x).

Следовательно, двойное сокращение возможно только тогда, когда A и X являются величинами.

Двойное сокращение выполняется тогда и только тогда, когда последующее неравенство не противоречит предшествующим неравенствам. Например, если полученное выше неравенство было:

(a,z)<(c,x),

или альтернативно,

(a,z)=(c,x),

тогда двойное сокращение будет нарушено ( Мичелл, 1988 ), и нельзя будет сделать вывод, что A и X являются величинами.

Двойная отмена касается поведения отношений «правой диагонали» на P, поскольку они логически не влекут за собой одинарную отмену. ( Мичелл 2009 что когда уровни A и X приближаются к бесконечности, количество правонаправленных диагональных отношений составляет половину от общего количества отношений на P. ) обнаружил , Следовательно, если A и X являются количествами, половина числа отношений на P обусловлена порядковыми отношениями на A и X , а половина — аддитивными отношениями на A и X ( Micell 2009 ).

Количество случаев двойной отмены зависит от количества уровней, определенных как для A , так и X. для имеется n уровней A и m X Если , то количество случаев двойной отмены равно n ! × м !. Следовательно, если n = m = 3, то 3! × 3! = 6 × 6 = всего 36 случаев двойной отмены. Однако все эти случаи, кроме шести, тривиально истинны, если истинно однократное сокращение, а если хотя бы один из этих шести случаев истинен, то все они истинны. Один из таких примеров показан на рисунке 2. ( Мичелл 1988 ) называет это Люса-Тьюки случаем двойного аннулирования .

Если однократная отмена была сначала протестирована на наборе данных и установлена, то необходимо протестировать только случаи двойной отмены Люса – Тьюки. Для n уровней A и m X равно количество экземпляров двойной отмены Люса – Тьюки ${\tbinom {n}{3}}$ ${\tbinom {m}{3}}$ . Например, если n = m = 4, то таких экземпляров 16. Если n = m = 5, то их 100. Чем больше уровней в A и X , тем менее вероятно, что аксиомы сокращения выполняются случайным образом ( Arbuckle & Larimer 1976 ; McClelland 1977 ) и тем более строгий критерий количества становится применение совместного измерения.

Разрешимость и аксиомы Архимеда

Аксиом одинарного и двойного сокращения самих по себе недостаточно для установления непрерывного количества. Для обеспечения преемственности необходимо ввести и другие условия. Это разрешимость и условия Архимеда .

Разрешимость означает, что для любых трех элементов a , b , x и y существует четвертый такой, что уравнение a x = by y решено, отсюда и название условия. по сути, — это требование, чтобы каждый уровень P имел элемент из A и элемент из X. Разрешимость , Разрешимость кое-что говорит об уровнях A и X : они либо плотны, как действительные числа, либо расположены на одинаковом расстоянии друг от друга, как целые числа ( Кранц и др., 1971 ).

Условие Архимеда состоит в следующем. Пусть I — набор последовательных целых чисел, конечных или бесконечных, положительных или отрицательных. Уровни A образуют стандартную последовательность тогда и только тогда, когда существуют x и y в X, где x ≠ y и для всех целых чисел i и i + 1 в I :

(a_{i},x)=(a_{i+1},y).

По сути, это означает, что если x больше, чем y , например, существуют уровни A , которые можно найти, что делает две соответствующие упорядоченные пары, уровни P , равными.

Условие Архимеда утверждает, что не существует бесконечно наибольшего уровня P следовательно, не существует наибольшего уровня ни для A , ни для X. и , Это условие представляет собой определение непрерывности, данное древнегреческим математиком Архимедом , который писал: «Кроме того, из неравных линий, неравных поверхностей и неравных тел большее превосходит меньшее на такую величину, которую, при сложении с самим собой, можно получить превосходить любую установленную величину среди сравнимых друг с другом» ( «О сфере и цилиндре» , книга I, предположение 5). Архимед признал, что для любых двух величин непрерывной величины, одна из которых меньше другой, меньшую можно умножить на целое число так, чтобы оно равнялось большей величине. Евклид сформулировал архимедово условие как аксиому в пятой книге «Начал» , в которой Евклид представил свою теорию непрерывного количества и измерения.

Поскольку они включают в себя бесконечные концепции, разрешимость и аксиомы Архимеда не поддаются прямой проверке в любой конечной эмпирической ситуации. Но это не означает, что эти аксиомы вообще не могут быть проверены эмпирически. Конечный набор условий отмены Скотта (1964) можно использовать для косвенной проверки этих аксиом; степень такого тестирования определяется эмпирически. Например, если и A , и X обладают тремя уровнями, аксиомой сокращения высшего порядка в иерархии Скотта (1964), которая косвенно проверяет разрешимость и архимедовость, является двойное сокращение. При четырех уровнях это тройная отмена (рис. 3). построение стандартных последовательностей по разностям A и X. Если такие критерии выполняются, возможно Следовательно, эти атрибуты могут быть плотными в соответствии с действительными числами или равномерно распределенными в соответствии с целыми числами ( Кранц и др., 1971 ). Другими словами, A и X — непрерывные величины.

Связь с научным определением измерения

Удовлетворение условий совместного измерения означает, что измерения уровней A и X могут быть выражены либо как отношения между величинами, либо как отношения между разностями величин. Чаще всего его интерпретируют как последнее, учитывая, что большинство ученых-бихевиористов считают, что их тесты и опросы «измеряют» атрибуты по так называемым «интервальным шкалам» ( Kline 1998 ). То есть они считают, что тесты не выявляют абсолютный нулевой уровень психологических качеств.

Формально, если P , A и X образуют аддитивную совместную структуру , то существуют функции из A и X в действительные числа такие, что для a и b в A и x и y в X :

(a,x)\succsim (b,y)\iff \varphi _{A}(a)+\varphi _{X}(x)\geqslant \varphi _{A}(b)+\varphi _{X}(y).

Если $\varphi '_{A}\,$ и $\varphi '_{X}\,$ есть две другие действительные функции, удовлетворяющие приведенному выше выражению, существуют $\alpha >0,\beta _{A}\,$ и $\beta _{X}\,$ действительные константы, удовлетворяющие:

\varphi '_{A}=\alpha \varphi _{A}+\beta _{A}{\text{ and }}\varphi '_{X}=\alpha \varphi _{X}+\beta _{X}.\,

То есть, $\varphi '_{A},\varphi _{A},\varphi '_{X}\,$ и $\varphi _{X}\,$ являются измерениями A и X, уникальными с точностью до аффинного преобразования (т.е. каждое из них представляет собой интервальную шкалу на языке Стивенса (1946). Математическое доказательство этого результата дано в ( Кранц и др., 1971 , стр. 261–6).

Это означает, что уровни A и X представляют собой разницу величин, измеренную относительно какой-то единичной разницы. Каждый уровень P разницу между уровнями A и X. представляет собой Однако из литературы неясно, как можно определить единицу в аддитивном объединенном контексте. Ван дер Вен 1980 предложил метод масштабирования для совместных структур, но также не обсуждал эту единицу измерения.

Однако теория совместного измерения не ограничивается количественной оценкой различий. Если каждый уровень P является произведением уровня A и уровня X , то P измерение которой выражается как величина A на единицу величины X. — это другая величина , Например, A состоит из масс, а X состоит из объемов, тогда P состоит из плотностей, измеряемых как масса на единицу объема. В таких случаях может оказаться, что один уровень A и один уровень X должны быть определены как ориентировочная единица до применения совместного измерения.

Если каждый уровень P представляет собой сумму уровня A и уровня X , то P — это та же самая величина, что A и X. и Например, A и X являются длинами, поэтому должно быть P . Поэтому все три должны быть выражены в одной и той же единице. В таких случаях может показаться, что уровень A или X должен быть предварительно идентифицирован как единица. Следовательно, может показаться, что применение совместного измерения требует некоторой предварительной описательной теории соответствующей природной системы.

Применение совместных измерений

Эмпирические применения теории совместного измерения были редкими ( Клифф 1992 ; Мичелл 2009 ).

Было проведено несколько эмпирических оценок двойного аннулирования. Среди них Левельт, Римерсма и Бунт (1972) аксиому оценили психофизическую бинауральной громкости. Они обнаружили, что аксиома двойной отмены была отвергнута. Гигеренцер и Штрубе (1983) провели аналогичное исследование и повторили работу Levelt и др.' (1972) выводы. Гигеренцер и Штрубе, 1983, заметили, что оценка двойногоотмена предполагает значительную избыточность, что усложняет ее эмпирическую проверку. Поэтому Steingrimsson & Luce 2005 вместо этого оценили эквивалентную аксиому условия Томсена , которая позволяет избежать этой избыточности, и обнаружили, что это свойство подтверждается бинауральной громкостью. Luce & Steingrimsson 2011 обобщили литературу на тот момент, включая наблюдение о том, что оценка условия Томсена также включает в себя эмпирическую задачу, которую, по их мнению, можно решить с помощью аксиомы совместной коммутативности , которая, как они показывают, эквивалентна условию Томсена. Люс и Стейнгримссон в 2011 году обнаружили, что совместная коммутативность поддерживает бинауральную громкость и яркость.

Мичелл 1990 применил эту теорию к Л. Л. Терстона теории парных сравнений, многомерного масштабирования (1927) и теории одномерного развертывания Кумбса (1964). Он нашел поддержку аксиом отмены только в теории Кумбса (1964). Однако статистические методы, использованные Мичеллом (1990) при проверке теории Терстоуна и многомерного масштабирования, не учитывали порядковые ограничения, налагаемые аксиомами сокращения ( ван дер Линден, 1994 ).

( Джонсон 2001 ), Кингдон (2006), Мичелл (1994) и ( Шерман 1993 ) проверили аксиомы отмены межстимульных порядков средних точек, полученных с использованием теории Кумбса (1964). одномерного развертывания. Теория Кумбса во всех трех исследованиях применялась к набору из шести утверждений. Эти авторы обнаружили, что аксиомы были выполнены, однако это были приложения, ориентированные на положительный результат. При шести стимулах вероятность того, что порядок средних точек между стимулами будет удовлетворять аксиомам двойного сокращения в случайном порядке, равна 0,5874 (Michell, 1994). Это не такое уж маловероятное событие. Кингдон и Ричардс (2007) использовали восемь утверждений и обнаружили, что межстимульные приказы в средней точке отвергают условие двойной отмены.

Перлайн, Райт и Уэйнер 1979 применили совместное измерение к данным ответов на вопросы анкеты для условно-досрочного освобождения осужденного и к данным тестов интеллекта, собранным у датских военнослужащих. Они обнаружили значительное нарушение аксиом отмены в данных анкеты для условно-досрочного освобождения, но не в данных теста интеллекта. Более того, они зафиксировали предполагаемые случаи двойной отмены «без тестирования». Если правильно интерпретировать их как примеры в поддержку двойного сокращения (Michell, 1988), результаты Perline, Wright & Wainer 1979 оказываются лучше, чем они предполагали.

Станков и Креган, 1993, применили совместное измерение для оценки эффективности выполнения задач по завершению последовательности. Столбцы их объединенных массивов ( X ) определялись требованиями, предъявляемыми к емкости рабочей памяти за счет увеличения количества хранителей рабочей памяти в задачах завершения серии букв. Ряды определялись уровнями мотивации ( А ), которые заключались в разном количестве раз, доступных для прохождения теста. Их данные ( P ) состояли из времени завершения и среднего количества правильных серий. Они нашли поддержку аксиом отмены, однако их исследование было искажено небольшим размером объединенных массивов (размер 3 × 3) и статистическими методами, которые не принимали во внимание порядковые ограничения, налагаемые аксиомами отмены.

Кингдон (2011) использовал структуру вывода с ограниченным порядком Карабацоса (2001) для проверки совместной матрицы пропорций ответов на элементы чтения ( P ), где способность испытуемого к чтению включала строки объединенного массива ( A ) и сложность сформированных элементов чтения. столбцы массива ( X ). Уровни способностей к чтению определялись по общему баллу за тест, а уровни сложности заданий по чтению определялись с помощью Lexile Framework for Reading ( Stenner et al. 2006 ). Кингдон обнаружил, что удовлетворение аксиом отмены было получено только за счет перестановки матрицы способом, несовместимым с предполагаемыми мерами сложности задания Лексила. Кингдон также протестировал смоделированные данные ответов теста способностей, используя полиномиальное совместное измерение. Данные были получены с использованием расширенной системы отсчета модели Раша Хамфри ( Humphry & Andrich 2008 ). Он обнаружил, что поддержка дистрибутивного, одинарного и двойного сокращения согласуется с объединенной структурой дистрибутивного полинома по трем переменным ( Кранц и Тверски 1971 ).

См. также

Теория ответа на задание - парадигма разработки, анализа и оценки тестов.

Ссылки

Арбакл, Дж.; Лаример, Дж. (1976). «Количество двусторонних таблиц, удовлетворяющих определенным аксиомам аддитивности». Журнал математической психологии . 12 :89–100. дои : 10.1016/0022-2496(76)90036-5 .
Бирнбаум, Миннесота (2008). «Новые парадоксы принятия рискованных решений». Психологический обзор . 115 (2): 463–501. CiteSeerX 10.1.1.144.5661 . дои : 10.1037/0033-295X.115.2.463 . ПМИД 18426300 .
Брогден, HE (декабрь 1977 г.). «Модель Раша, закон сравнительного суждения и аддитивного совместного измерения». Психометрика . 42 (4): 631–4. дои : 10.1007/BF02295985 . S2CID 123583660 .
Клифф, Н. (1992). «Абстрактная теория измерений и революция, которой никогда не было». Психологическая наука . 3 (3): 186–190. дои : 10.1111/j.1467-9280.1992.tb00024.x . S2CID 144507788 .
Кумбс, CH (1964). Теория данных . Нью-Йорк: Уайли. ^{[ нужна страница ]}
Дэвис-Стобер, CP (февраль 2009 г.). «Анализ полиномиальных моделей в условиях неравенства: приложения к теории измерения». Журнал математической психологии . 53 (1): 1–13. дои : 10.1016/j.jmp.2008.08.003 .
Дебре, Г. (1960). «Топологические методы в теории кардинальной полезности». Ин Эрроу, К.Дж.; Карлин, С.; Суппес, П. (ред.). Математические методы в социальных науках . Издательство Стэнфордского университета. стр. 16–26.
Эмбретсон, SE; Рейзе, СП (2000). Теория реагирования на предметы для психологов . Эрльбаум. ^{[ нужна страница ]}
Эмерсон, Вашингтон (2008). «О количественном исчислении и единицах измерения». Метрология . 45 (2): 134–138. Бибкод : 2008Metro..45..134E . дои : 10.1088/0026-1394/45/2/002 . S2CID 121451085 .
Фишер, Г. (1995). «Выводы модели Раша». Фишер, Г.; Моленаар, И.В. (ред.). Модели Раша: основы, последние разработки и приложения . Нью-Йорк: Спрингер. стр. 15–38.
Гигеренцер, Г.; Штрубе, Г. (1983). «Есть ли пределы бинауральной аддитивности громкости?». Журнал экспериментальной психологии: человеческое восприятие и деятельность . 9 (1): 126–136. дои : 10.1037/0096-1523.9.1.126 . hdl : 21.11116/0000-0000-BC9A-F . ПМИД 6220118 .
Грейсон, Д.А. (сентябрь 1988 г.). «Двухгрупповая классификация и теория скрытых черт: оценки с монотонным отношением правдоподобия». Психометрика . 53 (3): 383–392. дои : 10.1007/BF02294219 . S2CID 121684695 .
Гёльдер, О. (1901). «Аксиомы количества и учение о мере». Отчеты о переговорах Королевского саксонского общества наук в Лейпциге, Математик-физический класс . 53 :1-46. (Часть 1 переведена Мичелл, Дж.; Эрнст, К. (сентябрь 1996 г.). «Аксиомы количества и теория измерения». Журнал математической психологии . 40 (3): 235–252. дои : 10.1006/jmps.1996.0023 . ПМИД 8979975 .
Хамфри, С.М.; Андрич, Д. (2008). «Понимание единицы измерения в модели Раша». Журнал прикладных измерений . 9 (3): 249–264. ПМИД 18753694 .
Айверсон, Г.; Фальмань, JC (1985). «Статистические проблемы измерения». Математические социальные науки . 10 (2): 131–153. дои : 10.1016/0165-4896(85)90031-9 .
Джонсон, Т. (2001). «Контроль влияния изменения контекста стимула на утверждения об отношении с помощью процедуры бинарного дерева Мичелла» . Австралийский журнал психологии . 53 : 23–28. дои : 10.1080/00049530108255118 .
Канеман, Д.; Тверский, А. (1979). «Теория перспектив: анализ решений в условиях риска». Эконометрика . 47 (2): 263–291. CiteSeerX 10.1.1.407.1910 . дои : 10.2307/1914185 . JSTOR 1914185 .
Карабацос, Г. (2001). «Модель Раша, аддитивное совместное измерение и новые модели вероятностной теории измерений». Журнал прикладных измерений . 2 (4): 389–423. ПМИД 12011506 .
Карабацос, Г. (февраль 2005 г.). «Заменяемая полиномиальная модель как подход к проверке аксиом выбора и измерения» (PDF) . Журнал математической психологии . 49 (1): 51–69. дои : 10.1016/j.jmp.2004.11.001 . Архивировано из оригинала (PDF) 6 февраля 2006 г.
Карабацос, Г.; Шеу, CF (2004). «Вывод с ограничениями байесовского порядка для дихотомических моделей одномерной непараметрической теории ответа на предмет». Прикладные психологические измерения . 28 (2): 110–125. дои : 10.1177/0146621603260678 . S2CID 122303701 .
Карабацос, Г.; Ульрих, младший (2002). «Перечисление и тестирование совместных моделей измерения». Математические социальные науки . 43 (3): 485–504. дои : 10.1016/S0165-4896(02)00024-0 .
Кранц, Д.Х. (июль 1964 г.). «Совместное измерение: аксиоматизация Люса – Тьюки и некоторые расширения». Журнал математической психологии . 1 (2): 248–277. дои : 10.1016/0022-2496(64)90003-3 .
Кранц, Д.Х. (1968). «Обзор теории измерений». В Данциге, Великобритания; Вейнотт, А.Ф. (ред.). Математика наук о принятии решений: Часть 2 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 314–350.
Китс, Дж. А. (1967). «Теория испытаний». Ежегодный обзор психологии . 18 : 217–238. дои : 10.1146/annurev.ps.18.020167.001245 . ПМИД 5333423 .
Клайн, П. (1998). Новая психометрия: наука, психология и измерения . Лондон: Рутледж. ^{[ нужна страница ]}
Кранц, Д.Х.; Люси, РД; Суппес, П.; Тверский, А. (1971). Основы измерения, Vol. I: Аддитивные и полиномиальные представления . Нью-Йорк: Академическая пресса.
Кранц, Д.Х.; Тверский, А. (1971). «Анализ совместных измерений правил композиции в психологии». Психологический обзор . 78 (2): 151–169. дои : 10.1037/h0030637 .
Кингдон, А. (2006). «Эмпирическое исследование теории одномерного развертывания». Журнал прикладных измерений . 7 (4): 369–393. PMID 17068378 .
Кингдон, А. (2008). «Модель Раша с точки зрения репрезентативной теории измерения». Теория и психология . 18 : 89–109. дои : 10.1177/0959354307086924 . S2CID 143679173 .
Кингдон, А. (2011). «Правдоподобные аналогии измерений с некоторыми психометрическими моделями результатов тестов». Британский журнал математической и статистической психологии . 64 (3): 478–497. дои : 10.1348/2044-8317.002004 . ПМИД 21973097 .
Кингдон, А.; Ричардс, Б. (2007). «Отношения, порядок и количество: детерминированные и прямые вероятностные тесты одномерного развертывания». Журнал прикладных измерений . 8 (1): 1–34. ПМИД 17215563 .
Левелт, WJM; Римерсма, Дж.Б.; Бунт, А.А. (май 1972 г.). «Бинауральная аддитивность громкости» (PDF) . Британский журнал математической и статистической психологии . 25 (1): 51–68. дои : 10.1111/j.2044-8317.1972.tb00477.x . hdl : 11858/00-001M-0000-0013-2CBF-1 . ПМИД 5031649 .
Люси, РД; Стейнгримссон, Р. (2011). «Теория и проверка аксиомы совместной коммутативности для аддитивного совместного измерения» (PDF) . Журнал математической психологии . 55 (5): 379–389. дои : 10.1016/j.jmp.2011.05.004 .
Люси, РД; Суппес, П. (2002). «Репрезентативная теория измерения». В Пашлер, Х.; Викстед, Дж. (ред.). Справочник Стивенса по экспериментальной психологии: Том. 4. Методология экспериментальной психологии (3-е изд.). Нью-Йорк: Уайли. стр. 1–41.
Люси, РД; Тьюки, JW (январь 1964 г.). «Одновременное совместное измерение: новый тип шкалы фундаментальных измерений». Журнал математической психологии . 1 (1): 1–27. CiteSeerX 10.1.1.334.5018 . дои : 10.1016/0022-2496(64)90015-X .
Макклелланд, Г. (июнь 1977 г.). «Заметка об Арбакле и Ларимере: количество двусторонних таблиц, удовлетворяющих определенным аксиомам аддитивности». Журнал математической психологии . 15 (3): 292–5. дои : 10.1016/0022-2496(77)90035-9 .
Мичелл, Дж. (июнь 1994 г.). «Измерение размеров веры путем одномерного развертывания». Журнал математической психологии . 38 (2): 224–273. дои : 10.1006/jmps.1994.1016 .
Мичелл, Дж. (декабрь 1988 г.). «Некоторые проблемы при проверке условия двойной отмены при совместном измерении». Журнал математической психологии . 32 (4): 466–473. дои : 10.1016/0022-2496(88)90024-7 .
Мичелл, Дж. (1990). Введение в логику психологических измерений . Хиллсдейл, Нью-Джерси: Эрлбаум. ^{[ нужна страница ]}
Мичелл, Дж. (февраль 2009 г.). «Заблуждение психометристов: наполовину слишком умны?». Британский журнал математической и статистической психологии . 62 (1): 41–55. дои : 10.1348/000711007X243582 . ПМИД 17908369 .
Перлин, Р.; Райт, Б.Д.; Вайнер, Х. (1979). «Модель Раша как аддитивное совместное измерение» . Прикладные психологические измерения . 3 (2): 237–255. дои : 10.1177/014662167900300213 . S2CID 53706504 .
Шайблехнер, Х. (сентябрь 1999 г.). «Аддитивные совместные изотонические вероятностные модели (ADISOP)». Психометрика . 64 (3): 295–316. дои : 10.1007/BF02294297 . S2CID 120080826 .
Скотт, Д. (июль 1964 г.). «Модели измерения и линейные неравенства». Журнал математической психологии . 1 (2): 233–247. дои : 10.1016/0022-2496(64)90002-1 .
Шерман, К. (апрель 1994 г.). «Эффект изменения контекста в теории развертывания Кумбса». Австралийский журнал психологии . 46 (1): 41–47. дои : 10.1080/00049539408259468 .
Станков Л.; Креган, А. (1993). «Количественные и качественные свойства теста интеллекта: завершение серии». Обучение и индивидуальные различия . 5 (2): 137–169. дои : 10.1016/1041-6080(93)90009-H .
Стейнгримссон, Р; Люси, Р.Д. (2005). «Оценка модели глобальных психофизических суждений I: Поведенческие свойства суммаций и произведений» (PDF) . Журнал математической психологии . 49 (4): 290–306. дои : 10.1016/j.jmp.2005.03.003 .
Стеннер, Эй Джей; Бердик, Х.; Сэнфорд, EE; Бердик, DS (2006). «Насколько точны измерения текста Lexile?». Журнал прикладных измерений . 7 (3): 307–322. ПМИД 16807496 .
Стивенс, СС (1946). «К теории шкал измерения». Наука . 103 (2684): 667–680. Бибкод : 1946Sci...103..677S . дои : 10.1126/science.103.2684.677 . ПМИД 17750512 .
Стобер, КП (2009). Задача Люси: Количественные модели и статистическая методология . ^{[ нужна полная цитата ]}
Терстон, LL (1927). «Закон сравнительного суждения». Психологический обзор . 34 (4): 278–286. дои : 10.1037/h0070288 . S2CID 144782881 .
Тверский, А. (1967). «Общая теория полиномиального совместного измерения» (PDF) . Журнал математической психологии . 4 : 1–20. дои : 10.1016/0022-2496(67)90039-9 . hdl : 2027.42/33362 .
Ульрих-младший; Уилсон, Р.Э. (декабрь 1993 г.). «Примечание о точном количестве двух- и трехпозиционных таблиц, удовлетворяющих аксиомам совместного измерения и аддитивности». Журнал математической психологии . 37 (4): 624–8. дои : 10.1006/jmps.1993.1037 .
ван дер Линден, В. (март 1994 г.). «Обзор Мичелла (1990)» . Психометрика . 59 (1): 139–142. дои : 10.1007/BF02294273 .
ван дер Вен, AHGS (1980). Введение в масштабирование . Нью-Йорк: Уайли. ^{[ нужна страница ]}

Внешние ссылки