Верхняя и нижняя границы

В математике, особенно в теории порядка , верхняя граница или мажоранта ^[1] подмножества , $S$ некоторого предупорядоченного множества $(K, \leq)$ — это элемент $K$ который больше или равен каждому элементу $S$ . ^[2]^[3]Двойственно , нижняя граница или миноранта S $K$ определяется как элемент $,$ который меньше или равен каждому $S.$ элементу Множество, имеющее верхнюю (соответственно нижнюю) границу, называется ограниченным сверху или мажорируемым. ^[1] (соответственно ограниченный снизу или миноризированный ) этой границей. Термины «ограниченный сверху» ( ограниченный снизу ) также используются в математической литературе для множеств, имеющих верхние (соответственно нижние) границы. ^[4]

Примеры

Например, $5$ — это нижняя граница набора $S = {5, 8, 42, 34, 13934}$ (как подмножества целых или действительных чисел и т. д.), как и $4$ . С другой стороны, $6$ не является нижней границей для $S$ поскольку оно не меньше любого элемента в $S.$ , $13934$ и другие числа x такие, что $\geq 13934$ будут верхней границей для S. x

Набор $S = {42}$ имеет $42$ как верхнюю, так и нижнюю границу; все остальные числа являются либо верхней, либо нижней границей для этого $S$ .

Каждое подмножество натуральных чисел имеет нижнюю границу, поскольку натуральные числа имеют наименьший элемент (0 или 1, в зависимости от соглашения). Бесконечное подмножество натуральных чисел не может быть ограничено сверху. Бесконечное подмножество целых чисел может быть ограничено снизу или ограничено сверху, но не то и другое. Бесконечное подмножество рациональных чисел может быть ограничено или не ограничено снизу, а также может быть ограничено или не ограничено сверху.

Каждое конечное подмножество непустого вполне упорядоченного множества имеет как верхнюю, так и нижнюю границы.

Границы функций

Определения можно обобщить на функции и даже на множества функций.

Учитывая функцию $f$ с областью определения $D$ и предварительно упорядоченный набор $(K, \leq)$ в качестве кодомена , элемент $y$ из $K$ является верхней границей $f,$ если $y \geq f (x)$ для каждого $x$ в $D$ . Верхняя граница называется точной , если равенство выполняется хотя бы для одного значения $x$ . Это указывает на то, что ограничение является оптимальным и, следовательно, не может быть уменьшено без аннулирования неравенства.

Аналогично, функция $g,$ определенная в области $D$ и имеющая ту же кодовую область $(K, \leq),$ является верхней границей $f$ , если $g (x) \geq f (x)$ для каждого $x$ в $D$ . Далее говорят, что функция $g$ является верхней границей набора функций, если она является верхней границей каждой функции в этом наборе.

Понятие нижней границы для (наборов) функций определяется аналогично, заменой ≥ на ≤.

Жесткие границы

Верхняя граница называется жесткой верхней границей , наименьшей верхней границей или супремумом , если ни одно меньшее значение не является верхней границей. Точно так же нижняя граница называется жесткой нижней границей , максимальной нижней границей или нижней границей , если никакое большее значение не является нижней границей.

Точные верхние границы

Верхняя граница $u$ подмножества $S$ предупорядоченного множества $(K, \leq)$ называется точной верхней границей для $S,$ каждый элемент $K$ , который строго мажорируется $u,$ также мажорируется некоторым элементом $S.$ если Точные верхние оценки произведений приведенных линейных порядков играют важную роль в теории ПКФ . ^[5]

См. также

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. п. 3. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
^ Мак Лейн, Сондерс ; Биркгоф, Гаррет (1991). Алгебра . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . п. 145 . ISBN 0-8218-1646-2 .
^ «Определение верхней границы (Иллюстрированный математический словарь)» . Математика — это весело . Проверено 3 декабря 2019 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Верхняя граница» . mathworld.wolfram.com . Проверено 3 декабря 2019 г.
^ Койман, Менахем. «Точные верхние границы и их использование в теории множеств» .

[schaefer-1] Перейти обратно: ^а ^б Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. п. 3. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .

[MacLane-Birkhoff-2] Мак Лейн, Сондерс ; Биркгоф, Гаррет (1991). Алгебра . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . п. 145 . ISBN 0-8218-1646-2 .

[3] «Определение верхней границы (Иллюстрированный математический словарь)» . Математика — это весело . Проверено 3 декабря 2019 г.

[4] Вайсштейн, Эрик В. «Верхняя граница» . mathworld.wolfram.com . Проверено 3 декабря 2019 г.

[5] Койман, Менахем. «Точные верхние границы и их использование в теории множеств» .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]