Тетраэдр Рело
Тетраэдр Рело — это пересечение четырех шаров радиуса s s центрами в вершинах правильного тетраэдра с длиной стороны с . [1] Сферическая поверхность шара с центром в каждой вершине проходит через три другие вершины, которые также образуют вершины тетраэдра Рело. Таким образом, центр каждого шара находится на поверхностях трех других шаров. Тетраэдр Рело имеет ту же структуру граней, что и правильный тетраэдр, но с изогнутыми гранями: четырьмя вершинами и четырьмя изогнутыми гранями, соединенными шестью дугами окружности.
Эта форма определена и названа по аналогии с треугольником Рело , двумерной кривой постоянной ширины ; Обе формы названы в честь Франца Рёло , немецкого инженера XIX века, который провел новаторскую работу над способами, с помощью которых машины преобразуют один тип движения в другой. В математической литературе можно встретить неоднократные утверждения о том, что тетраэдр Рело аналогично представляет собой поверхность постоянной ширины , но это не так: две средние точки противоположных реберных дуг разделены большим расстоянием,
Объем и площадь поверхности
[ редактировать ]Объем равен тетраэдра Рело [1]
![{\displaystyle \left[8\pi -18\cos ^{-1}\left({\tfrac {1}{3}}\right)\right]s^{2}\около 2,975 с^{2} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46062ad7321c3bf8063e4920afe3542db3dd6e72)
Мейснеровские тела
[ редактировать ]Эрнст Мейснер и Фридрих Шиллинг [2] показал, как модифицировать тетраэдр Рело, чтобы сформировать поверхность постоянной ширины , заменив три его реберные дуги изогнутыми участками, образованными как поверхности вращения дуги окружности. В соответствии с заменой трех реберных дуг (три, имеющих общую вершину, или трех, образующих треугольник), получаются две неконгруэнтные фигуры, которые иногда называют телами Мейснера или тетраэдрами Мейснера . [3]
Боннесен и Фенхель [4] выдвинул гипотезу, что тетраэдры Мейсснера представляют собой трехмерные формы минимального объема и постоянной ширины, и эта гипотеза до сих пор остается открытой. [5] В связи с этой проблемой Кампи, Колесанти и Гронки [6] показал, что минимальная объемная поверхность вращения постоянной ширины является поверхностью вращения треугольника Рело через одну из его осей симметрии.
Одна из Ман Рэя картин , «Гамлет» , была основана на фотографии тетраэдра Мейснера, сделанной им. [7] который, по его мнению, напоминал череп Йорика и грудь Офелии из шекспировского « Гамлета » . [8]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Вайсштейн, Эрик В. (2008), Reuleaux Tetrahedron , MathWorld – веб-ресурс Wolfram
- ^ Мейснер, Эрнст; Шиллинг, Фридрих (1912), «Три гипсовые модели поверхностей постоянной ширины», Z. Math. , 60 : 92–94
- ^ Вебер, Кристоф (2009). «Какое отношение это твердое тело имеет к шару?» (PDF) .
- ^ Боннесен, Томми; Фенхель, Вернер (1934), Теория выпуклых тел , Springer-Verlag, стр. 127–139.
- ^ Каволь, Бернд; Вебер, Кристоф (2011), «Таинственные тела Мейснера» (PDF) , Mathematical Intelligencer , 33 (3): 94–101, doi : 10.1007/s00283-011-9239-y , S2CID 120570093
- ^ Кампи, Стефано; Колезанти, Андреа; Гронки, Паоло (1996), «Задачи о минимуме для объемов выпуклых тел» , Уравнения в частных производных и их приложения: Сборник статей в честь Карло Пуччи , Конспекты лекций по чистой и прикладной математике, вып. 177, Марсель Деккер, стр. 43–55, номер документа : 10.1201/9780203744369-7.
- ^ Свифт, Сара (20 апреля 2015 г.), Ман Рэя «Смысл в Гамлете » , Экспериментальная станция , Коллекция Филлипса .
- ^ Дорфман, Джон (март 2015 г.), «Секретные формулы: Шекспир и высшая математика встречаются в поздней великой серии картин Ман Рэя, Шекспировские уравнения » , Искусство и антиквариат ,
А что касается Гамлета , то сам Ман Рэй нарушил свое правило и предложил немного комментарий: «Белая треугольная выпуклая форма, которую вы видите в «Гамлете», напомнила мне белый череп» — несомненно, имея в виду череп Йорика, которого Гамлет допрашивает в игре, — «геометрический череп, который также был похож на грудь Офелии. Поэтому я добавил маленькую розовую точку в одном из трех углов — небольшой эротический штрих, если хотите!»
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Лашан-Роберт, Томас; Уде, Эдуард. «Сфероформы» . Архивировано из оригинала 2 октября 2006 г. Проверено 12 сентября 2006 г.
- Вебер, Кристоф. «Тела постоянной ширины» . Есть также фильмы и даже интерактивные изображения обоих тел Мейснера.
- Робертс, Патрик. «Сфероформа с тетраэдрической симметрией» . Включает трехмерные изображения и ссылку на математическую статью, показывающую доказательство постоянной ширины.