Серия Арктангенс

В математике ряд арктангенса , традиционно называемый рядом Грегори , представляет собой разложение в ряд Тейлора в начале функции арктангенса :

$\arctan x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{2k+1}}.$

Этот ряд сходится в комплексном круге $|x|\leq 1,$ за исключением $x=\pm i$ (где $\arctan \pm i=\infty$).

Впервые он был открыт в 14 веке индийским математиком Мадхавой Сангамаграмой ( ок. 1340 — ок. 1425), основателем керальской школы , и описан в дошедших до нас работах Нилакантхи Сомаяджи (ок. 1500) и Джьештхадевы (ок. 1530). Работа Мадхавы была неизвестна в Европе, а арктангенсный ряд был независимо заново открыт Джеймсом Грегори в 1671 году и Готфридом Лейбницем в 1673 году. В современной литературе арктангенсный ряд иногда называют рядом Мадхавы-Грегори, Мадхавы чтобы признать приоритет (см. также ряд Мадхавы ).

Частный случай арктангенса ⁠ $1$⁠ традиционно называют формулой Лейбница для π , а в последнее время иногда иногда формулой Мадхавы-Лейбница :

${\frac {\pi }{4}}=\arctan 1=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots .$

Чрезвычайно медленная сходимость ряда арктангенсов для $|x|\approx 1$ делает эту формулу непрактичной как таковой. Математики из школы Кералы использовали дополнительные корректирующие члены для ускорения сходимости. Джон Мачин (1706 г.) выразил ⁠ ${\tfrac {1}{4}}\pi$⁠ как сумма арктангенсов меньших значений, что в конечном итоге приводит к множеству формул, подобных Машину, для ⁠ $\pi$⁠ . Исаак Ньютон (1684) и другие математики ускорили сходимость ряда посредством различных преобразований.

Доказательство

Производная арктанга x равна 1/(1 + x ² ) ; и наоборот, интеграл от 1/(1 + x ² ) является арктансом x .

Если $y=\arctan x$ затем $\tan y=x.$ Производная

${\frac {dx}{dy}}=\sec ^{2}y=1+\tan ^{2}y.$

Принимая взаимность,

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{1+\tan ^{2}y}}={\frac {1}{1+x^{2}}}.$

Иногда это используется как определение арктангенса:

$\arctan x=\int _{0}^{x}{\frac {du}{1+u^{2}}}.$

Серия Маклорен для ${\textstyle x\mapsto \arctan 'x=1{\big /}\left(1+x^{2}\right)}$ представляет собой геометрический ряд :

${\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\bigl (}{-x^{2}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{k}.$

Можно найти серию Маклорена для $\arctan$ путем наивной интеграции почленно:

${\begin{aligned}\int _{0}^{x}{\frac {du}{1+u^{2}}}&=\int _{0}^{x}\left(1-u^{2}+u^{4}-u^{6}+\cdots \right)du\\[5mu]&=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{7}}x^{7}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{2k+1}}.\end{aligned}}$

Хотя это оказывается правильным, интегралы и бесконечные суммы не всегда можно поменять местами таким образом. Чтобы доказать, что интеграл слева сходится к сумме справа для вещественных $|x|\leq 1,$ $\arctan '$ вместо этого можно записать как конечную сумму,

${\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-\cdots +{\bigl (}{-x^{2}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{N}+{\frac {{\bigl (}{-x^{2}}{\bigr )}{}^{N+1}}{1+x^{2}}}.$

Снова объединяя обе стороны,

$\int _{0}^{x}{\frac {du}{1+u^{2}}}=\sum _{k=0}^{N}{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{2k+1}}+\int _{0}^{x}{\frac {{\bigl (}{-u^{2}}{\bigr )}{}^{N+1}}{1+u^{2}}}\,du.$

В пределе как $N\to \infty ,$ интеграл справа выше стремится к нулю, когда $|x|\leq 1,$ потому что

${\begin{aligned}{\Biggl |}\int _{0}^{x}{\frac {{\bigl (}{-u^{2}}{\bigr )}{}^{N+1}}{1+u^{2}}}\,du\,{\Biggr |}\,&\leq \int _{0}^{1}{\frac {u^{2N+2}}{1+u^{2}}}\,du\\[5mu]&<\int _{0}^{1}u^{2N+2}du\,=\,{\frac {1}{2N+3}}\,\to \,0.\end{aligned}}$

Поэтому,

${\begin{aligned}\arctan x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{2k+1}}.\end{aligned}}$

Конвергенция

Серия для ${\textstyle \arctan '}$ и $\arctan$ сходятся в сложном диске $|x|<1$, где обе функции голоморфны . Они расходятся по $|x|>1$ потому что когда $x=\pm i$, есть столб :

${\frac {1}{1+i^{2}}}={\frac {1}{1-1}}={\frac {1}{0}}=\infty .$

Когда $x=\pm 1,$ частичные суммы ${\textstyle \sum _{k=0}^{n}(-x^{2})^{k}}$ чередовать значения $0$ и $1,$ никогда не сходится к значению ${\textstyle \arctan '(\pm 1)={\tfrac {1}{2}}.}$

Однако его почленный интеграл, ряд для ${\textstyle \arctan ,}$ (едва) сходится, когда $x=\pm 1,$ потому что $\arctan '$ не согласен со своей серией только в одном пункте $\pm 1,$ поэтому разницу в интегралах можно сделать сколь угодно малой, взяв достаточно много слагаемых:

$\lim _{N\to \infty }\int _{0}^{1}{\biggl (}{\frac {1}{1+u^{2}}}-\sum _{k=0}^{N}(-u^{2})^{k}{\biggr )}du=0$

Из-за чрезвычайно медленной сходимости (для получения 10 правильных десятичных цифр требуется пять миллиардов членов) формула Лейбница не является очень эффективным практическим методом вычисления. ${\textstyle {\tfrac {1}{4}}\pi .}$ Поиск способов обойти эту медленную конвергенцию был предметом большого математического интереса.

Ускоренная серия

Исаак Ньютон ускорил сходимость ряда арктангенсов в 1684 году (в неопубликованной работе; другие независимо обнаружили результат, который позже был популяризирован учебником Леонарда Эйлера 1755 года; Эйлер написал два доказательства в 1779 году), получив ряд, сходящийся для ${\textstyle |x|<\infty ,}$

${\begin{aligned}\arctan x&={\frac {x}{1+x^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {2k}{2k+1}}\,{\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}\\[10mu]&={\frac {x}{1+x^{2}}}+{\frac {2}{3}}{\frac {x^{3}}{(1+x^{2}){\vphantom {l}}^{2}}}+{\frac {2\cdot 4}{3\cdot 5}}{\frac {x^{5}}{(1+x^{2}){\vphantom {l}}^{3}}}+{\frac {2\cdot 4\cdot 6}{3\cdot 5\cdot 7}}{\frac {x^{7}}{(1+x^{2}){\vphantom {l}}^{4}}}+\cdots \\[10mu]&=C(x)\left(S(x)+{\frac {2}{3}}S(x)^{3}+{\frac {2\cdot 4}{3\cdot 5}}S(x)^{5}+{\frac {2\cdot 4\cdot 6}{3\cdot 5\cdot 7}}S(x)^{7}+\cdots \right),\end{aligned}}$

где ${\textstyle {\vphantom {\Big |}}C(x)=1{\big /}\!{\sqrt {1+x^{2}}}={}}$$\cos(\arctan x)$ и ${\textstyle {\vphantom {\Big |}}S(x)=x{\big /}\!{\sqrt {1+x^{2}}}={}}$${\textstyle \sin(\arctan x).}$

Каждый член этого модифицированного ряда представляет собой рациональную функцию с полюсами в точках $x=\pm i$ в комплексной плоскости — в том же месте, где функция арктангенса имеет свои полюса. Напротив, полином, такой как ряд Тейлора для арктангенса, устремляет все свои полюса к бесконечности.

История

Самым ранним человеком, которому можно с уверенностью отнести эту серию, является Мадхава из Сангамаграмы (ок. 1340 – ок. 1425). Оригинальная ссылка (как и большая часть работ Мадхавы) утеряна, но ему приписывают открытие несколько его преемников в школе астрономии и математики Кералы основанной им . Конкретные ссылки на серию для $\arctan$ включают Нилакантхи Сомаяджи » « Тантрасанграху (ок. 1500 г.), ( Юктибхаша Джьештхадевы , ок. 1530 г.) и «Юкти-дипика» комментарий Шанкары Варьяра , где он дан в стихах 2.206–2.209.

См. также

• Список математических рядов
• Серия Мадхава

Ссылки

• Берггрен, Леннарт; Борвейн, Джонатан ; Борвейн, Питер , ред. (2004). Пи: Справочник (3-е изд.). Спрингер. дои : 10.1007/978-1-4757-4217-6 . ISBN  978-1-4419-1915-1 .
• Гупта, Радха Чаран (1973). «Серия Мадхавы – Грегори». Математическое образование . 7 : В67–В70.
• Гупта, Радха Чаран (1987). «Южноиндийские достижения в средневековой математике». Ганта Бхарати . 9 (1–4): 15–40. Продолжение доклада, прочитанного в Университете Джодхпура. Перепечатано в Рамасубраманиан, К., изд. (2019). Ганитананда: Избранные труды Радхи Чарана Гупты по истории математики . Спрингер. стр. 417–442. дои : 10.1007/978-981-13-1229-8_40 .
• Хорват, Миклош (1983). «О лейбницевой квадратуре круга» (PDF) . Анналы Будапештского университета наук (компьютерный раздел) . 4 : 75–83.
• Рой, Ранджан (1990). «Открытие формулы ряда для числа π Лейбницем, Грегори и Нилакантой » (PDF) . Журнал «Математика» . 63 (5): 291–306. дои : 10.1080/0025570X.1990.11977541 .