Квантовый предел

Квантовый предел в физике — это предел точности измерений в квантовых масштабах. ^[1] В зависимости от контекста предел может быть абсолютным (например, предел Гейзенберга ) или может применяться только тогда, когда эксперимент проводится с естественными квантовыми состояниями (например, стандартный квантовый предел в интерферометрии), и его можно обойти с помощью расширенной подготовки состояний. и схемы измерений.

Однако использование термина «стандартный квантовый предел » или SQL шире, чем просто интерферометрия. В принципе, к таким ограничениям приводит любое линейное измерение квантовомеханической наблюдаемой изучаемой системы, которая не коммутирует сама с собой в разные моменты времени. Короче говоря, принцип неопределенности Гейзенберга причиной является .

Более подробное объяснение заключалось бы в том, что любое измерение в квантовой механике включает в себя как минимум две стороны: объект и измеритель. Первая — это система, наблюдаемая, скажем, ${\hat {x}}$ , мы хотим измерить. Последняя представляет собой систему, которую мы связываем с Объектом, чтобы определить значение ${\hat {x}}$ Объекта путем записи некоторой выбранной наблюдаемой, ${\hat {\mathcal {O}}}$ , этой системы, например, положение указателя на шкале измерителя. Вкратце, это модель большинства измерений, происходящих в физике, известных как косвенные измерения (см. стр. 38–42 книги). ^[1]). Таким образом, любое измерение является результатом взаимодействия, и оно действует в обоих направлениях. Таким образом, Прибор воздействует на Объект во время каждого измерения, обычно через величину, ${\hat {\mathcal {F}}}$ , сопряженное с наблюдаемым отсчетом ${\hat {\mathcal {O}}}$ , тем самым искажая значение измеренной наблюдаемой ${\hat {x}}$ и модификацию результатов последующих измерений. Это известно как обратное действие (квант) измерителя на измеряемую систему.

В то же время квантовая механика предписывает, что показания, наблюдаемые измерителем, должны иметь присущую им неопределенность. $\delta {\hat {\mathcal {O}}}$ , добавка к значению измеряемой величины и не зависит от него ${\hat {x}}$ . Это явление известно как погрешность измерения или шум измерения . Из-за принципа неопределенности Гейзенберга эта неточность не может быть произвольной и связана с возмущением обратного действия соотношением неопределенности :

\Delta {\mathcal {O}}\Delta {\mathcal {F}}\geqslant \hbar /2\,,

где $\Delta a={\sqrt {\langle {\hat {a}}^{2}\rangle -\langle {\hat {a}}\rangle ^{2}}}$ представляет собой стандартное отклонение наблюдаемой $a$ и $\langle {\hat {a}}\rangle$ означает ожидание математическое $a$ в каком бы квантовом состоянии ни находилась система. Равенство достигается, если система находится в состоянии минимальной неопределенности . Следствием для нашего случая является то, что чем точнее наше измерение, т.е. тем меньше $\Delta {\mathcal {\delta O}}$ , тем большее возмущение оказывает измеритель на измеряемую наблюдаемую величину. ${\hat {x}}$ . Поэтому показания счетчика будут, как правило, состоять из трех слагаемых:

{\hat {\mathcal {O}}}={\hat {x}}_{\mathrm {free} }+\delta {\hat {\mathcal {O}}}+\delta {\hat {x}}_{BA}[{\hat {\mathcal {F}}}]\,,

где ${\hat {x}}_{\mathrm {free} }$ представляет собой ценность ${\hat {x}}$ что имел бы Объект, если бы он не был соединен с Измерителем и $\delta {\hat {x_{BA}}}[{\hat {\mathcal {F}}}]$ является возмущением значения ${\hat {x}}$ вызванное силой обратного действия, ${\hat {\mathcal {F}}}$ . Неопределенность последнего пропорциональна $\Delta {\mathcal {F}}\propto \Delta {\mathcal {O}}^{-1}$ . Таким образом, существует минимальное значение или предел точности, которую можно получить при таком измерении, при условии, что $\delta {\hat {\mathcal {O}}}$ и ${\hat {\mathcal {F}}}$ некоррелированы. ^[2]^[3]

Термины «квантовый предел» и «стандартный квантовый предел» иногда используются как синонимы. Обычно «квантовый предел» — это общий термин, который относится к любому ограничению измерения из-за квантовых эффектов, тогда как «стандартный квантовый предел» в любом данном контексте относится к квантовому пределу, который встречается повсеместно в этом контексте.

Примеры

Измерение смещения

Рассмотрим очень простую схему измерения, которая, тем не менее, воплощает в себе все основные особенности измерения общего положения. В схеме, представленной на рисунке, для контроля перемещения тела зонда используется последовательность очень коротких световых импульсов. $M$ . Позиция $x$ из $M$ проверяется периодически с интервалом времени $\vartheta$ . Мы предполагаем массу $M$ достаточно велика, чтобы пренебречь смещением, вызываемым импульсами регулярного (классического) радиационного давления в процессе измерения.

Затем каждый $j$ -й импульс при отражении несет фазовый сдвиг, пропорциональный значению положения пробной массы $x(t_{j})$ в момент размышления:

{\hat {\phi }}_{j}^{\mathrm {refl} }={\hat {\phi }}_{j}-2k_{p}{\hat {x}}(t_{j})\,,

( 1 )

где $k_{p}=\omega _{p}/c$ , $\omega _{p}$ частота света, $j=\dots ,-1,0,1,\dots$ это число импульсов и ${\hat {\phi }}_{j}$ – это начальная (случайная) фаза $j$ -й пульс. Предположим, что среднее значение всех этих фаз равно нулю, $\langle {\hat {\phi }}_{j}\rangle =0$ и их среднеквадратическая неопределенность (RMS) $(\langle {\hat {\phi ^{2}}}\rangle -\langle {\hat {\phi }}\rangle ^{2})^{1/2}$ равно $\Delta \phi$ .

Отраженные импульсы детектируются фазочувствительным устройством (фазовым детектором). Реализация оптического фазового детектора может быть осуществлена с использованием, например, гомодинных или гетеродинных схем детектирования (см. раздел 2.3 в разделе 2.3). ^[2] и ссылки в них) или другие подобные методы считывания.

В этом примере фаза светового импульса ${\hat {\phi }}_{j}$ служит наблюдаемым считыванием ${\mathcal {O}}$ метра. Тогда мы предполагаем, что фаза ${\hat {\phi }}_{j}^{\mathrm {refl} }$ погрешность измерения, вносимая детектором, значительно меньше начальной неопределенности фаз $\Delta \phi$ . В этом случае единственным источником погрешности измерения положения будет первоначальная неопределенность:

\Delta x_{\mathrm {meas} }={\frac {\Delta \phi }{2k_{p}}}\,.

( 2 )

Для удобства перенормируем уравнение. ( 1 ) как эквивалентное перемещение пробной массы:

{\tilde {x}}_{j}\equiv -{\frac {{\hat {\phi }}_{j}^{\mathrm {refl} }}{2k_{p}}}={\hat {x}}(t_{j})+{\hat {x}}_{\mathrm {fl} }(t_{j})\,,

( 3 )

где

{\hat {x}}_{\mathrm {fl} }(t_{j})=-{\frac {{\hat {\phi }}_{j}}{2k_{p}}}

являются независимыми случайными величинами со среднеквадратичными неопределенностями, определяемыми уравнением. ( 2 ).

Каждый световой импульс при отражении толкает пробную массу, передавая ей импульс обратного действия, равный

{\hat {p}}_{j}^{\mathrm {after} }-{\hat {p}}_{j}^{\mathrm {before} }={\hat {p}}_{j}^{\mathrm {b.a.} }={\frac {2}{c}}{\hat {\mathcal {W}}}_{j}\,,

( 4 )

где ${\hat {p}}_{j}^{\mathrm {before} }$ и ${\hat {p}}_{j}^{\mathrm {after} }$ — значения импульса пробной массы непосредственно перед и сразу после отражения светового импульса, и ${\mathcal {W}}_{j}$ это энергия $j$ -й импульс, играющий роль наблюдаемого обратного действия ${\hat {\mathcal {F}}}$ метра. Большую часть этого возмущения вносит классическое лучевое давление:

\langle {\hat {p}}_{j}^{\mathrm {b.a.} }\rangle ={\frac {2}{c}}{\mathcal {W}}\,,

с ${\mathcal {W}}$ средняя энергия импульсов. Поэтому ее влиянием можно было пренебречь, поскольку оно могло быть либо вычтено из результата измерения, либо компенсировано исполнительным механизмом. Случайная часть, не поддающаяся компенсации, пропорциональна отклонению энергии импульса:

{\hat {p}}^{\mathrm {b.a.} }(t_{j})={\hat {p}}_{j}^{\mathrm {b.a.} }-\langle {\hat {p}}_{j}^{\mathrm {b.a.} }\rangle ={\frac {2}{c}}{\bigl (}{\hat {\mathcal {W}}}_{j}-{\mathcal {W}}{\bigr )}\,,

и его среднеквадратичное значение неопределенности равно

\Delta p_{\mathrm {b.a.} }={\frac {2\Delta {\mathcal {W}}}{c}}\,,

( 5 )

с $\Delta {\mathcal {W}}$ среднеквадратическая неопределенность энергии импульса.

Предполагая, что зеркало свободно (что является хорошим приближением, если интервал времени между импульсами намного короче периода колебаний подвешенного зеркала, $\vartheta \ll T$ ), можно оценить дополнительное смещение, вызванное обратным действием $j$ -й импульс, который будет способствовать неопределенности последующего измерения $j+1$ время пульса $\vartheta$ позже:

{\hat {x}}_{\mathrm {b.a.} }(t_{j})={\frac {{\hat {p}}^{\mathrm {b.a.} }(t_{j})\vartheta }{M}}\,.

Его неопределенность будет просто

\Delta x_{\mathrm {b.a.} }(t_{j})={\frac {\Delta {p}_{\mathrm {b.a.} }(t_{j})\vartheta }{M}}\,.

Если мы теперь хотим оценить, насколько зеркало переместилось между $j$ и $j+1$ импульсы, т.е. его смещение $\delta {\tilde {x}}_{j+1,j}={\tilde {x}}(t_{j+1})-{\tilde {x}}(t_{j})$ нам придется иметь дело с тремя дополнительными неопределенностями, которые ограничивают точность нашей оценки:

\Delta {\tilde {x}}_{j+1,j}={\Bigl [}(\Delta x_{\rm {meas}}(t_{j+1}))^{2}+(\Delta x_{\rm {meas}}(t_{j}))^{2}+(\Delta x_{\rm {b.a.}}(t_{j}))^{2}{\Bigr ]}^{1/2}\,,

где мы предположили, что все вклады в нашу неопределенность измерений статистически независимы и, таким образом, получили суммарную неопределенность путем суммирования стандартных отклонений. Если далее предположить, что все световые импульсы одинаковы и имеют одинаковую неопределенность фазы, то $\Delta x_{\rm {meas}}(t_{j+1})=\Delta x_{\rm {meas}}(t_{j})\equiv \Delta x_{\rm {meas}}=\Delta \phi /(2k_{p})$ .

Теперь, какова минимальная эта сумма и какова минимальная ошибка, которую можно получить в этой простой оценке? Ответ следует из квантовой механики, если вспомнить, что энергия и фаза каждого импульса являются канонически сопряженными наблюдаемыми и, следовательно, подчиняются следующему соотношению неопределенности:

\Delta {\mathcal {W}}\Delta \phi \geq {\frac {\hbar \omega _{p}}{2}}\,.

Следовательно, из уравнений ( 2 и 5 ) ошибка измерения положения $\Delta x_{\mathrm {meas} }$ и возмущение импульса $\Delta p_{\mathrm {b.a.} }$ за счет обратного действия также удовлетворяют соотношению неопределенностей:

\Delta x_{\mathrm {meas} }\Delta p_{\mathrm {b.a.} }\geq {\frac {\hbar }{2}}\,.

Учитывая это соотношение, минимальная неопределенность $\Delta x_{\mathrm {meas} }$ , световой импульс должен иметь, чтобы не сильно возмущать зеркало, должен быть равен $\Delta x_{\mathrm {b.a.} }$ уступая обоим $\Delta x_{\mathrm {min} }={\sqrt {\frac {\hbar \vartheta }{2M}}}$ . Таким образом, минимальная ошибка измерения смещения, предписанная квантовой механикой, равна:

\Delta {\tilde {x}}_{j+1,j}\geqslant {\Bigl [}2(\Delta x_{\rm {meas}})^{2}+{\Bigl (}{\frac {\hbar \vartheta }{2M\Delta x_{\rm {meas}}}}{\Bigr )}^{2}{\Bigr ]}^{1/2}\geqslant {\sqrt {\frac {3\hbar \vartheta }{2M}}}\,.

Это стандартный квантовый предел для такой двухимпульсной процедуры. В принципе, если мы ограничим наше измерение только двумя импульсами и не будем беспокоиться о дальнейшем изменении положения зеркала, погрешность измерения второго импульса $\Delta x_{\rm {meas}}(t_{j+1})$ , теоретически можно свести к 0 (это, конечно, даст $\Delta p_{\rm {b.a.}}(t_{j+1})\to \infty$ ) и предел погрешности измерения перемещения снизится до:

\Delta {\tilde {x}}_{SQL}={\sqrt {\frac {\hbar \vartheta }{M}}}\,,

который известен как стандартный квантовый предел для измерения смещения свободной массы.

Этот пример представляет собой простой частный случай линейного измерения . Этот класс схем измерений может быть полностью описан двумя линейными уравнениями вида ~( 3 ) и ( 4 ) при условии, что и неопределенность измерения, и возмущение обратного действия объекта ( ${\hat {x}}_{\mathrm {fl} }(t_{j})$ и ${\hat {p}}^{\mathrm {b.a.} }(t_{j})$ в данном случае) статистически независимы от начального квантового состояния тестового объекта и удовлетворяют тому же соотношению неопределенности, что и измеренная наблюдаемая и ее канонически сопряженный аналог (в данном случае положение и импульс объекта).

Использование в квантовой оптике

В контексте интерферометрии или других оптических измерений стандартный квантовый предел обычно относится к минимальному уровню квантового шума , который достижим без сжатых состояний . ^[4]

Кроме того, существует квантовый предел фазового шума , достижимый только для лазера на высоких частотах шума.

В спектроскопии самая короткая длина волны рентгеновского спектра называется квантовым пределом. ^[5]

Вводящее в заблуждение отношение к классическому пределу

Обратите внимание, что из-за перегрузки слова «предел» классический предел является не противоположностью квантового предела. В «квантовом пределе» «предел» используется в смысле физического ограничения (например, предел Армстронга ). В «классическом пределе» «предел» употребляется в смысле предельного процесса . (Обратите внимание, что не существует простого строгого математического предела, который полностью восстанавливает классическую механику из квантовой механики, несмотря на теорему Эренфеста . Тем не менее, в формулировке квантовой механики в фазовом пространстве такие пределы более систематичны и практичны.)

См. также

Ссылки и примечания

^ Jump up to: ^а ^б Брагинский В.Б.; Халили, Ф.Я. (1992). Квантовые измерения . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0521484138 .
^ Jump up to: ^а ^б Данилишин, С.Л.; Халили Ф. Я. (2012). «Квантовая теория измерений в детекторах гравитационных волн» . Живые обзоры в теории относительности . 15 (5): 60. arXiv : 1203.1706 . Бибкод : 2012LRR....15....5D . дои : 10.12942/lrr-2012-5 . ПМК 5256003 . ПМИД 28179836 .
^ Чен, Яньбэй (2013). «Макроскопическая квантовая механика: теория и экспериментальные концепции оптомеханики». Дж. Физ. Б: В. Мол. Опция Физ . 46 (10): 104001. arXiv : 1302.1924 . Бибкод : 2013JPhB...46j4001C . дои : 10.1088/0953-4075/46/10/104001 . S2CID 118570800 .
^ Джаекель, Монтана; Рейно, С. (1990). «Квантовые пределы в интерферометрических измерениях». Письма по еврофизике . 13 (4): 301–306. arXiv : Quant-ph/0101104 . Бибкод : 1990EL.....13..301J . дои : 10.1209/0295-5075/13/4/003 . S2CID 250851585 .
^ Поршень, Д.С. (1936). «Поляризация рентгеновских лучей от тонких мишеней». Физический обзор . 49 (4): 275–279. Бибкод : 1936PhRv...49..275P . дои : 10.1103/PhysRev.49.275 .

Эта квантовой механике статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[QMeas_Br_Kh-1] Jump up to: ^а ^б Брагинский В.Б.; Халили, Ф.Я. (1992). Квантовые измерения . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0521484138 .

[LRR_Da_Kh-2] Jump up to: ^а ^б Данилишин, С.Л.; Халили Ф. Я. (2012). «Квантовая теория измерений в детекторах гравитационных волн» . Живые обзоры в теории относительности . 15 (5): 60. arXiv : 1203.1706 . Бибкод : 2012LRR....15....5D . дои : 10.12942/lrr-2012-5 . ПМК 5256003 . ПМИД 28179836 .

[3] Чен, Яньбэй (2013). «Макроскопическая квантовая механика: теория и экспериментальные концепции оптомеханики». Дж. Физ. Б: В. Мол. Опция Физ . 46 (10): 104001. arXiv : 1302.1924 . Бибкод : 2013JPhB...46j4001C . дои : 10.1088/0953-4075/46/10/104001 . S2CID 118570800 .

[4] Джаекель, Монтана; Рейно, С. (1990). «Квантовые пределы в интерферометрических измерениях». Письма по еврофизике . 13 (4): 301–306. arXiv : Quant-ph/0101104 . Бибкод : 1990EL.....13..301J . дои : 10.1209/0295-5075/13/4/003 . S2CID 250851585 .

[5] Поршень, Д.С. (1936). «Поляризация рентгеновских лучей от тонких мишеней». Физический обзор . 49 (4): 275–279. Бибкод : 1936PhRv...49..275P . дои : 10.1103/PhysRev.49.275 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]