Jump to content

Инвариант Кассона

(Перенаправлено из инварианта Кассона-Уокера )

В 3-мерной топологии , части математической области геометрической топологии , инвариант Кэссона — это целочисленный инвариант ориентированных интегральных гомологических 3-сфер , введенный Эндрю Кассоном .

Кевин Уокер (1992) нашел расширение трехмерных сфер рациональной гомологии , названное инвариантом Кассона-Уокера , а Кристин Лескоп (1995) распространила этот инвариант на все замкнутые ориентированные трехмерные многообразия .

Определение

[ редактировать ]

Инвариант Кассона — это сюръективное отображение.λ из ориентированных целочисленных гомологических 3-сфер в Z, удовлетворяющих следующим свойствам:

  • λ( S 3 ) = 0.
  • Пусть Σ — целочисленная 3-сфера гомологии. Тогда для любого узла K и любого целого числа n разность
не зависит от n . Здесь обозначает Операция Дена по К. на Σ
  • Для любого граничного звена K L в Σ следующее выражение равно нулю:

Инвариант Кассона уникален (по отношению к указанным выше свойствам) с точностью до общей мультипликативной константы.

Характеристики

[ редактировать ]
  • Если К — трилистник, то
.
где коэффициент в полиноме Александера – Конвея , и конгруэнтен (по модулю 2) инварианту Arf K .
где

Инвариант Кассона как количество представлений

[ редактировать ]

Неформально говоря, инвариант Кассона насчитывает половину числа классов сопряженности представлений фундаментальной группы 3-сферы гомологии M в группу SU(2) . Это можно уточнить следующим образом.

Пространство представления компактного ориентированного 3-многообразия M определяется как где обозначает пространство неприводимых SU(2)-представлений . Для разделения Хигора из , инвариант Кэссона равен раз алгебраическое пересечение с .

Обобщения

[ редактировать ]

Рациональные гомологии 3-сфер

[ редактировать ]

Кевин Уокер нашел расширение инварианта Кассона на трехмерные сферы рациональной гомологии . Инвариант Кассона-Уокера — это сюръективное отображение λ CW из ориентированных 3-сфер рациональных гомологий в Q, удовлетворяющее следующим свойствам:

1. л( С 3 ) = 0.

2. Для любого 1-компонентного операции Дена представления ( K , µ) ориентированной сферы рациональных гомологий M ′ в ориентированной сфере рациональных гомологий M :

где:

  • m — ориентированный меридиан узла K , а µ — характеристическая кривая операции.
  • ν — образующее ядро ​​естественного отображения H 1 (∂ N ( K ), Z ) → H 1 ( M K , Z ).
  • — форма пересечения трубчатой ​​окрестности узла N ( K ).
  • ∆ — полином Александера, нормированный так, что действие t соответствует действию генератора в бесконечном циклическом накрытии M K , симметричен и принимает значение 1 в точке 1.
где x , y — генераторы H 1 (∂ N ( K ), Z ) такие, что , v = δ y для целого числа δ и s ( p , q ) — сумма Дедекинда .

Обратите внимание, что для сфер целочисленной гомологии нормализация Уокера в два раза больше, чем нормализация Кассона: .

Компактные ориентированные 3-многообразия

[ редактировать ]

Кристина Лескоп определила расширение λ CWL инварианта Кассона-Уокера для ориентированных компактных 3-многообразий . Он уникально характеризуется следующими свойствами:

.
  • Если первое число Бетти M равно единице,
где Δ — полином Александера, нормированный так, чтобы быть симметричным и принимать положительное значение при 1.
  • Если первое число Бетти числа M равно двум,
где γ — ориентированная кривая, заданная пересечением двух образующих из и — кривая, параллельная γ, индуцированная тривиализацией трубчатой ​​окрестности γ, определяемой формулой .
  • Если первое число Бетти M равно трем, то для a , b , c основа для , затем
.
  • Если первое число Бетти M больше трех, .

Инвариант Кассона – Уокера – Лескопа обладает следующими свойствами:

  • Когда ориентация M меняет поведение зависит от первого числа Бетти из М : если есть M с противоположной ориентацией, то
То есть, если первое число Бетти M нечетно, инвариант Кассона-Уокера-Лескопа не изменяется, а если оно четное, то он меняет знак.

В 1990 году К. Таубс показал, что SU(2)-инвариант Кассона сферы 3-гомологий M имеет теоретико-калибровочную интерпретацию как эйлерову характеристику , где — пространство связностей SU(2) на M и – группа калибровочных преобразований. Он рассматривал инвариант Черна–Саймонса как -значная функция Морса на и использовал инвариантность относительно возмущений, чтобы определить инвариант, который он приравнял к инварианту Кассона SU (2). ( Таубес (1990) )

Х. Боден и К. Геральд (1998) использовали аналогичный подход для определения SU (3) -инварианта Кассона для целочисленных гомологических 3-сфер.

  • Селман Акбулут и Джон Маккарти, инвариант Кассона для ориентированных гомологических 3-сфер - объяснение. Математические заметки, 36. Издательство Принстонского университета, Принстон, Нью-Джерси, 1990. ISBN   0-691-08563-3
  • Майкл Атья , Новые инварианты 3- и 4-мерных многообразий. Математическое наследие Германа Вейля (Дарем, Северная Каролина, 1987), 285–299, Proc. Симпозиумы. Чистая математика, 48 лет, амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, 1988.
  • Ханс Боден и Кристофер Геральд, Инвариант Кассона SU (3) для целочисленных гомологических 3-сфер. Журнал дифференциальной геометрии 50 (1998), 147–206.
  • Кристин Лескоп, Глобальная хирургическая формула для инварианта Кассона-Уокера. 1995, ISBN   0-691-02132-5
  • Николай Савельев, Лекции по топологии 3-многообразий: введение в инвариант Кэссона. де Грюйтер, Берлин, 1999. ISBN   3-11-016271-7 ISBN   3-11-016272-5
  • Таубс, Клиффорд Генри (1990), «Инвариантная и калибровочная теория Кассона», Журнал дифференциальной геометрии , 31 : 547–599.
  • Кевин Уокер, расширение инварианта Кассона. Анналы математических исследований, 126. Издательство Принстонского университета, Принстон, Нью-Джерси, 1992. ISBN   0-691-08766-0 ISBN   0-691-02532-0
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 3d53991a3d4cf74c0c5dbb4ded5a2096__1650646860
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/3d/96/3d53991a3d4cf74c0c5dbb4ded5a2096.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Casson invariant - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)