Теорема Бернсайда

В математике утверждает теорема Бернсайда в теории групп , что если — конечная группа порядка G $p^{a}q^{b}$ где p и q — простые числа , а и b — целые неотрицательные числа , то G разрешима . a Следовательно, каждая неабелева конечная простая группа имеет порядок, кратный по крайней мере трем различным простым числам.

История

Теорема была доказана Уильямом Бернсайдом ( 1904 ) с использованием теории представлений конечных групп . Несколько частных случаев теоремы ранее были доказаны Бернсайдом в 1897 году, Джорданом в 1898 году и Фробениусом в 1902 году. Джон Г. Томпсон отметил, что доказательство, позволяющее избежать использования теории представлений, можно извлечь из его работ 1960-х и 1970-х годов. по теореме о N-группах , и это было явно сделано Гольдшмидтом (1970) для групп нечетного порядка и Бендером (1972) для групп четного порядка. Мацуяма (1973) упростил доказательства.

Доказательство

Следующее доказательство, использующее больше оснований, чем доказательство Бернсайда, основано на противоречии . Пусть р ^ад ^б — наименьшее произведение двух простых степеней, такое, что существует неразрешимая группа G , порядок которой равен этому числу.

G — простая группа с тривиальным центром и а не равно нулю.

Если бы G имела нетривиальную собственную нормальную подгруппу H , то (из-за минимальности G ) H и G / H были бы разрешимы, а значит, и G , что противоречило бы нашему предположению. Итак, G прост.

Если бы a было равно нулю, G была бы конечной q-группой , следовательно, нильпотентной и, следовательно, разрешимой.

Аналогично, G не может быть абелевой, иначе она была бы разрешима. Поскольку группа G проста, ее центр должен быть тривиален.

Существует элемент g из G, который имеет q ^д сопряженные , для некоторого d > 0.

По первому утверждению теоремы Силова в G существует подгруппа S порядка p ^а. Поскольку S — нетривиальная p -группа, ее центр Z ( S ) нетривиален. Исправьте нетривиальный элемент $g\in Z(S)$ . Число сопряжений группы g равно индексу ее стабилизирующей подгруппы G _g , которая делит индекс q ^б группы S (потому что S — подгруппа группы ) _Gg . Следовательно, это число имеет вид q ^д. Более того, целое число d строго положительно, поскольку g нетривиальна и, следовательно, не центральна в G .

Существует нетривиальное неприводимое представление ρ с характером χ такое, что его размерность n не делится на q и комплексное число χ ( g ) не равно нулю.

Пусть ( χ _i ) _{1 ⩽ i ⩽ h} — семейство неприводимых характеров группы G над $\mathbb {C}$ (здесь х ₁ обозначает тривиальный характер). Поскольку g не принадлежит к тому же классу сопряженности, что и 1, соотношение ортогональности группы для столбцов таблицы символов дает:

0=\sum _{i=1}^{h}\chi _{i}(1)\chi _{i}(g)=1+\sum _{i=2}^{h}\chi _{i}(1)\chi _{i}(g).

Теперь χ _i ( g ) являются целыми алгебраическими числами , поскольку они являются суммами корней из единицы . Если все нетривиальные неприводимые характеры, которые не обращаются в нуль в точке g, принимают значение, кратное q в точке 1, мы заключаем, что

-{\frac {1}{q}}=\sum _{i\geq 2,~\chi _{i}(g)\neq 0}{\frac {\chi _{i}(1)}{q}}\chi _{i}(g)

является целым алгебраическим числом (поскольку оно представляет собой сумму целых кратных целых алгебраических чисел), что абсурдно. Это доказывает утверждение.

Комплексное число q ^дχ ( g )/ n — целое алгебраическое число.

Множество целочисленных функций класса на G , Z ( $\mathbb {Z}$ [ G ]), — коммутативное кольцо , конечно порожденное над $\mathbb {Z}$ . Таким образом, все его элементы целы по отношению к $\mathbb {Z}$ , в частности отображение u , которое принимает значение 1 в классе сопряженности g и 0 в другом месте.

Отображение $A\colon Z(\mathbb {Z} [G])\rightarrow \operatorname {End} (\mathbb {C} ^{n})$ который отправляет функцию класса f в

\sum _{s\in G}f(s)\rho (s)

является кольцевым гомоморфизмом. Потому что $\rho (s)^{-1}A(u)\rho (s)=A(u)$ для всех s из леммы Шура следует, что $A(u)$ является гомотетией $\lambda I_{n}$ . Его след nλ равен

\sum _{s\in G}f(s)\chi (s)=q^{d}\chi (g).

Поскольку гомотетия λI _n является гомоморфным образом целого элемента, это доказывает, что комплексное число λ = q ^дχ ( g )/ n — целое алгебраическое число.

Комплексное число χ ( g )/ n является целым алгебраическим числом.

Поскольку q относительно простое с n , по тождеству Безу существуют два целых числа x и y такие, что:

xq^{d}+yn=1\quad {\text{therefore}}\quad {\frac {\chi (g)}{n}}=x{\frac {q^{d}\chi (g)}{n}}+y\chi (g).

Поскольку линейная комбинация целых алгебраических чисел с целыми коэффициентами снова является целым алгебраическим числом, это доказывает утверждение.

Образ g при представлении ρ является гомотетией.

Пусть ζ — комплексное число χ ( g )/ n . Это целое алгебраическое число, поэтому его норма N ( ζ ) (т. е. произведение его сопряженных чисел , то есть корни его минимального полинома над $\mathbb {Q}$ ) — целое число, отличное от нуля. Теперь ζ является средним значением корней из единицы (собственными значениями ρ ( g )), следовательно, такими же являются и его сопряженные числа, поэтому все они имеют абсолютное значение, меньшее или равное 1. Поскольку абсолютное значение их произведения N ( ζ ) больше или равно 1, все их абсолютные значения должны быть равны 1, в частности ζ , что означает, что все собственные значения ρ ( g ) равны, поэтому ρ ( g ) является гомотетией.

Заключение

Пусть N — ядро ρ . Гомотетия ρ ( g ) центральна в Im( ρ которая канонически изоморфна G / N ), тогда как g не центральна в G. ) ( Следовательно, нормальная подгруппа N простой группы G нетривиальна, а значит, равна G , что противоречит тому, что ρ — нетривиальное представление.

Это противоречие доказывает теорему.

Ссылки

Бендер, Хельмут (1972), "Теоретико-групповое доказательство теории Бернсайда". ^ад ^б-теорема.», Mathematical Journal , 126 (4): 327–338, doi : 10.1007/bf01110337 , MR 0322048 , S2CID 119821947
Бернсайд, В. (1904), «О группах порядка ». ^ад ^б» , Труды Лондонского математического общества (s2-1 (1)): 388–392, doi : 10.1112/plms/s2-1.1.388
Гольдшмидт, Дэвид М. (1970), «Теоретико-групповое доказательство p ^ад ^б теорема для нечетных простых чисел», Mathematical Journal , 113 (5): 373–375, doi : 10.1007/bf01110506 , MR 0276338 , S2CID 123625253
Джеймс, Гордон; и Либек, Мартин (2001). Представления и характеры групп (2-е изд.) Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-00392-X . См. главу 31.
Мацуяма, Хироши (1973), «Разрешимость групп порядка 2». ^ад ^б.», Осакский математический журнал , 10 : 375–378, MR 0323890