Догадки Капланского
Математик Ирвинг Каплански известен тем, что выдвинул многочисленные гипотезы в нескольких разделах математики, включая список из десяти гипотез об алгебрах Хопфа . Их обычно называют гипотезами Капланского .
Групповые кольца [ править ]
Пусть K — поле, а G — группа без кручения . Гипотеза Капланского о делителе нуля гласит:
- Групповое кольцо K [ G ] не содержит нетривиальных делителей нуля , т. е. является областью определения .
Капланского Две связанные гипотезы известны как идемпотентная гипотеза :
- K [ G ] не содержит нетривиальных идемпотентов , т. е. если a 2 = a , тогда a = 1 или a = 0 .
Капланского и гипотеза единицы (которая первоначально была выдвинута Грэмом Хигманом и популяризирована Каплански):
- K [ G ] не содержит нетривиальных единиц , т.е. если ab = 1 в K [ G ] , то = кг для некоторых k из K и g в G. a
Гипотеза о делителе нуля влечет за собой гипотезу об идемпотенте и вытекает из гипотезы о единице. По состоянию на 2021 год гипотезы о делителе нуля и идемпотентах открыты. Гипотеза о единице, однако, была опровергнута в характеристике 2 Джайлсом Гардамом путем демонстрации явного контрпримера в кристаллографической группе , а именно в фундаментальной группе многообразия Ханцше-Вендта ; см. также группу Фибоначчи . [1] [2] [3] В более позднем препринте Гардама утверждается, что, по сути, тот же элемент также дает противоположный пример в характеристике 0 (в этой настройке поиск обратного значения требует гораздо больше вычислительных усилий, отсюда и задержка между первым результатом и вторым). [4]
Существуют доказательства как гипотезы об идемпотенте, так и гипотезы о делителях нуля для больших классов групп. Например, гипотеза о делителе нуля известна для всех элементарных аменабельных групп без кручения (класса, включающего все практически разрешимые группы), поскольку их групповые алгебры, как известно, являются областями Оре . [5] Отсюда следует, что в более общем плане гипотеза справедлива для всех элементарных аменабельных групп без аппроксимируемого кручения. Обратите внимание, что когда является полем нулевой характеристики, то гипотеза о делителях нуля вытекает из гипотезы Атьи , которая также была установлена для больших классов групп.
Идемпотентная гипотеза имеет обобщение — идемпотентную гипотезу Кадисона , также известную как гипотеза Кадисона-Капланского, для элементов в приведенной групповой C*-алгебре . В этой ситуации известно, что если гипотеза Фаррелла-Джонса верна для K [ G ] , то и гипотеза идемпотента верна. Последнее было положительно решено для чрезвычайно большого класса групп, включая, например, все гиперболические группы .
Известно также, что гипотеза о единице верна во многих группах, но ее частичные решения гораздо менее устойчивы, чем две другие (о чем свидетельствует упомянутый ранее контрпример). Известно, что эта гипотеза не следует из какого-либо аналитического утверждения, подобного двум другим, и поэтому все случаи, когда известно, что она верна, были установлены с помощью прямого комбинаторного подхода, включающего так называемое свойство уникальных произведений. Благодаря упомянутой выше работе Гардама теперь известно, что это в целом неверно.
Банаховые алгебры [ править ]
Эта гипотеза утверждает, что любой гомоморфизм алгебр из банаховой алгебры C ( X ) (непрерывных комплекснозначных функций на X , где X — компактное хаусдорфово пространство ) в любую другую банахову алгебру обязательно непрерывен . Гипотеза эквивалентна утверждению, что каждая норма алгебры на C ( X ) эквивалентна обычной равномерной норме . (Сам Капланский ранее показал, что каждая полная алгебраическая норма на C ( X ) эквивалентна равномерной норме.)
В середине 1970-х годов Х. Гарт Дейлс и Дж. Эстерл независимо друг от друга доказали, что, если, кроме того, предположить справедливость гипотезы континуума , существуют компакты Хаусдорфа X и разрывные гомоморфизмы из C ( X ) в некоторую банахову алгебру, дав контрпримеры к предположению.
В 1976 году Р. М. Соловей (основываясь на работе Х. Вудина) представил модель ZFC ( теория множеств Цермело – Френкеля + аксиома выбора ), в которой гипотеза Капланского верна. Таким образом, гипотеза Капланского является примером утверждения, неразрешимого в ZFC .
Квадратичные формы [ править ]
В 1953 году Капланский выдвинул гипотезу о том, что конечные значения u -инвариантов могут быть только степенями 2 . [6] [7]
В 1989 году гипотезу опроверг Александр Меркурьев , продемонстрировавший поля с u -инвариантами любого четного m . [6] В 1999 году Олег Ижболдин построил поле с u -инвариантом m = 9, которое стало первым примером нечетного u -инварианта. [8] В 2006 году Александр Вишик продемонстрировал поля с u -инвариантом. для любого целого числа k, начиная с 3. [9]
Ссылки [ править ]
- ^ Гардам, Джайлз (23 февраля 2021 г.). «Контрпример к гипотезе единицы для групповых колец». Анналы математики . 194 (3): 967–979. arXiv : 2102.11818 . дои : 10.4007/анналы.2021.194.3.9 . S2CID 232013430 .
- ^ «Интервью с Джайлсом Гардамом» . Математика Мюнстер, Мюнстерский университет . Проверено 10 марта 2021 г.
- ^ Эрика Кларрайх (12 апреля 2021 г.). «Математик опровергает алгебраическую гипотезу 80-летней давности» . Журнал Кванта . Проверено 13 апреля 2021 г.
- ^ Гардам, Джайлз (11 декабря 2023 г.). «Нетривиальные единицы комплексных групповых колец». arXiv : 2312.05240 [ math.GR ].
- ^ Крофоллер, PH; Линнелл, Пенсильвания; Муди, Дж. А. (1988). «Применение новой $K$-теоретической теоремы к разрешимым групповым кольцам» . Труды Американского математического общества . 104 (3): 675–684. дои : 10.2307/2046771 . ISSN 0002-9939 .
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Меркурьев А.С. (1991). «Гипотеза Капланского в теории квадратичных форм». J Math Sci . 57 (6): 3489. doi : 10.1007/BF01100118 . S2CID 122865942 .
- ^ Капланский И. (1951). «Квадратичные формы» . Дж. Математика. Соц. Япония . 5 (2): 200–207. дои : 10.2969/jmsj/00520200 .
- ^ Ижболдин, Олег Т. (2001). «Поля u-инварианта 9». Анналы математики . Вторая серия. 154 (3): 529–587. дои : 10.2307/3062141 . JSTOR 3062141 . Збл 0998.11015 .
- ^ Вишик, Александр (2009). «Поля u-инварианта 2^r + 1». Алгебра, арифметика и геометрия. Прогресс в математике . 270 : 661. дои : 10.1007/978-0-8176-4747-6_22 . ISBN 978-0-8176-4746-9 .
- Х. Г. Дейлс, Автоматическая непрерывность: обзор . Бык. Лондонская математика. Соц. 10 (1978), вып. 2, 129–183.
- В. Люк, Л. 2 -Инварианты: теория и приложения к геометрии и K-теории . Берлин: Весна 2002 г. ISBN 3-540-43566-2
- Д.С. Пассман, Алгебраическая структура групповых колец , Чистая и прикладная математика, Wiley-Interscience, Нью-Йорк, 1977. ISBN 0-471-02272-1
- М. Пушнигг, Гипотеза Кадисона–Капланского для словесно-гиперболических групп . Изобретать. Математика. 149 (2002), вып. 1, 153–194.
- Х. Д. Дейлс и В. Х. Вудин, Введение в независимость для аналитиков , Кембридж, 1987 г.