Теорема о сжатии

В исчислении теорема сжатия (также известная как сэндвич-теорема , среди других названий) ^[а]) — это теорема о пределе функции , ограниченной между двумя другими функциями.

Теорема о сжатии используется в исчислении и математическом анализе , как правило, для подтверждения предела функции путем сравнения с двумя другими функциями, пределы которых известны. Впервые оно было использовано в геометрической форме математиками Архимедом и Евдоксом в попытке вычислить $число π$ , а в современных терминах оно было сформулировано Карлом Фридрихом Гауссом .

Заявление

Теорема о сжатии формально формулируется следующим образом. ^[1]

Теорема — Пусть $I$ содержащий — интервал, точку $a$ . Пусть $g$ , $f$ и $h$ — функции, определенные на $I$ , за исключением, возможно, $самого a$ . Предположим, что для каждого $x$ в $I,$ не равного $a$ , мы имеем $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ а также предположим, что $\lim _{x\to a}g(x)=\lim _{x\to a}h(x)=L.$ Затем $\lim _{x\to a}f(x)=L.$

Функции $g$ и $h$ называются нижней и верхней границей (соответственно) $f$ .
Здесь $a$ не лежит внутри I $.$ обязательно Действительно, если $a$ — конечная точка $I$ , то указанные выше пределы являются левыми или правыми пределами.
Аналогичное утверждение справедливо и для бесконечных интервалов: например, если $I = (0, \infty)$ , то вывод верен, переходя к пределам при $x \to \infty$ .

Эта теорема справедлива и для последовательностей. Пусть $(an две последовательности, сходящиеся), (cn) —$ к $ℓ$ , и $(bn) —$ последовательность. Если $\forall n\geq N,N\in \mathbb {N}$ у нас есть $a n \leq b n \leq c n$ , тогда $(b n)$ также сходится к $ℓ$ .

Доказательство

Согласно приведенным выше гипотезам мы имеем, принимая предел нижний и верхний: $L=\lim _{x\to a}g(x)\leq \liminf _{x\to a}f(x)\leq \limsup _{x\to a}f(x)\leq \lim _{x\to a}h(x)=L,$ таким образом, все неравенства действительно являются равенствами, и отсюда сразу следует этот тезис.

Прямым доказательством с использованием $(ε, δ)$ -определения предела было бы доказать, что для всех вещественных $ε > 0$ существует такое вещественное число $δ > 0$ , что для всех $x$ с $|x-a|<\delta ,$ у нас есть $|f(x)-L|<\varepsilon .$ Символически,

$\forall \varepsilon >0,\exists \delta >0:\forall x,(|x-a|<\delta \ \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon ).$

Как

$\lim _{x\to a}g(x)=L$

означает, что

\forall \varepsilon >0,\exists \ \delta _{1}>0:\forall x\ (|x-a|<\delta _{1}\ \Rightarrow \ |g(x)-L|<\varepsilon ).

( 1 )

и $\lim _{x\to a}h(x)=L$

означает, что

\forall \varepsilon >0,\exists \ \delta _{2}>0:\forall x\ (|x-a|<\delta _{2}\ \Rightarrow \ |h(x)-L|<\varepsilon ),

( 2 )

тогда у нас есть

$g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ $g(x)-L\leq f(x)-L\leq h(x)-L$

Мы можем выбрать $\delta :=\min \left\{\delta _{1},\delta _{2}\right\}$ . Тогда, если $|x-a|<\delta$ , объединяя ( 1 ) и ( 2 ), имеем

$-\varepsilon <g(x)-L\leq f(x)-L\leq h(x)-L\ <\varepsilon ,$ $-\varepsilon <f(x)-L<\varepsilon ,$

что завершает доказательство. КЭД

Доказательство для последовательностей очень похоже, с использованием $\varepsilon$ -определение предела последовательности.

Примеры

Первый пример

Предел

$\lim _{x\to 0}x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)$

не может быть определен с помощью предельного закона

$\lim _{x\to a}(f(x)\cdot g(x))=\lim _{x\to a}f(x)\cdot \lim _{x\to a}g(x),$

потому что

$\lim _{x\to 0}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)$

не существует.

Однако по определению синуса функции

$-1\leq \sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\leq 1.$

Отсюда следует, что

$-x^{2}\leq x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\leq x^{2}$

С $\lim _{x\to 0}-x^{2}=\lim _{x\to 0}x^{2}=0$ , по теореме о сжатии, $\lim _{x\to 0}x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)$ также должно быть 0.

Второй пример

Вероятно, наиболее известным примером нахождения предела сжатием являются доказательства равенств ${\begin{aligned}&\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1,\\[10pt]&\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0.\end{aligned}}$

Первый предел следует с помощью теоремы о сжатии из того факта, что ^[2]

$\cos x\leq {\frac {\sin x}{x}}\leq 1$

для $x,$ достаточно близкого к 0. Правильность этого для положительного $x$ можно увидеть с помощью простых геометрических рассуждений (см. Рисунок), которые можно распространить $на отрицательный x$ и . Второй предел следует из теоремы о сжатии и того факта, что

$0\leq {\frac {1-\cos x}{x}}\leq x$ для $x,$ достаточно близкого к 0. Это можно получить, заменив $sin x$ в предыдущем факте на ${\textstyle {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}}$ и возводим полученное неравенство в квадрат.

Эти два предела используются в доказательстве того, что производная функции синуса является функцией косинуса. На этот факт опираются и другие доказательства производных тригонометрических функций.

Третий пример

Можно показать, что ${\frac {d}{d\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta$ сжимая следующим образом.

На рисунке справа площадь меньшего из двух заштрихованных секторов круга равна

${\frac {\sec ^{2}\theta \,\Delta \theta }{2}},$

поскольку радиус равен $sec θ$ , а дуга единичной окружности имеет длину $Δ θ$ . Аналогично, площадь большего из двух заштрихованных секторов равна

${\frac {\sec ^{2}(\theta +\Delta \theta )\,\Delta \theta }{2}}.$

Между ними зажат треугольник, основанием которого является вертикальный сегмент, конечными точками которого являются две точки. Длина основания треугольника равна $tan(θ + Δ θ) - tan θ$ , а высота равна 1. Следовательно, площадь треугольника равна

${\frac {\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan \theta }{2}}.$

Из неравенств

${\frac {\sec ^{2}\theta \,\Delta \theta }{2}}\leq {\frac {\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan \theta }{2}}\leq {\frac {\sec ^{2}(\theta +\Delta \theta )\,\Delta \theta }{2}}$

мы делаем вывод, что

$\sec ^{2}\theta \leq {\frac {\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan \theta }{\Delta \theta }}\leq \sec ^{2}(\theta +\Delta \theta ),$

при условии, что $Δ θ > 0$ , и неравенства меняются местами, если $Δ θ < 0$ . Поскольку первое и третье выражения приближаются $к сек 2 θ$ при $Δ θ \to 0$ , а среднее выражение приближается к ${\tfrac {d}{d\theta }}\tan \theta ,$ желаемый результат следует.

Четвертый пример

Теорему о сжатии все еще можно использовать в исчислении с множеством переменных, но нижняя (и верхняя функции) должны находиться ниже (и выше) целевой функции не только вдоль пути, но и вокруг всей окрестности интересующей точки, и это работает только в том случае, если функция там действительно есть предел. Следовательно, его можно использовать для доказательства того, что функция имеет предел в точке, но его никогда нельзя использовать для доказательства того, что функция не имеет предела в точке. ^[3]

$\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}$

нельзя найти, взяв любое количество пределов вдоль путей, проходящих через точку, но поскольку

${\begin{array}{rccccc}&0&\leq &\displaystyle {\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}&\leq &1\\[4pt]-|y|\leq y\leq |y|\implies &-|y|&\leq &\displaystyle {\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}&\leq &|y|\\[4pt]{{\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}-|y|=0} \atop {\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}\ \ \ |y|=0}}\implies &0&\leq &\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}&\leq &0\end{array}}$

следовательно, по теореме о сжатии

$\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}=0.$

Ссылки

Примечания

^ Также известна как теорема о сжатии , правило сэндвича , полицейская теорема , теорема между , а иногда и лемма о сжатии . В Италии эта теорема также известна как теорема карабинеров .

Ссылки

^ Сохраб, Хоушанг Х. (2003). Базовый реальный анализ (2-е изд.). Биркхойзер . п. 104. ИСБН 978-1-4939-1840-9 .
^ Селим Г. Крейн, В. Н. Ушакова: Предварительный этап к высшей математике . Спрингер, 2013 г., ISBN 9783322986283 , стр. 80–81 (немецкий). См. также Сал Хан : Доказательство: предел (sin x)/x при x=0 (видео, Академия Хана )
^ Стюарт, Джеймс (2008). «Глава 15.2 Ограничения и непрерывность». Многомерное исчисление (6-е изд.). стр. 909–910. ISBN 978-0495011637 .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Теорема о сжатии» . Математический мир .
Теорема о сжатии Брюса Этвуда (Колледж Белойт) после работы Селвина Холлиса (Атлантический государственный университет Армстронга) в рамках Демонстрационного проекта Вольфрама .
Теорема о сжатии на ProofWiki.

[1] Также известна как теорема о сжатии , правило сэндвича , полицейская теорема , теорема между , а иногда и лемма о сжатии . В Италии эта теорема также известна как теорема карабинеров .

[2] Сохраб, Хоушанг Х. (2003). Базовый реальный анализ (2-е изд.). Биркхойзер . п. 104. ИСБН 978-1-4939-1840-9 .

[3] Селим Г. Крейн, В. Н. Ушакова: Предварительный этап к высшей математике . Спрингер, 2013 г., ISBN 9783322986283 , стр. 80–81 (немецкий). См. также Сал Хан : Доказательство: предел (sin x)/x при x=0 (видео, Академия Хана )

[4] Стюарт, Джеймс (2008). «Глава 15.2 Ограничения и непрерывность». Многомерное исчисление (6-е изд.). стр. 909–910. ISBN 978-0495011637 .

[а]

[1]

[2]

[3]