Сорт чау

В математике , особенно в области алгебраической геометрии , многообразие Чоу — алгебраическое многообразие , точки которого соответствуют эффективным алгебраическим циклам фиксированной размерности и степени в данном проективном пространстве . Точнее сорт Чау ^[1] $\operatorname {Gr} (k,d,n)$ — тонкое многообразие модулей, параметризующее все эффективные алгебраические циклы размерности $k-1$ и степень $d$ в $\mathbb {P} ^{n-1}$ .

Сорт Чау $\operatorname {Gr} (k,d,n)$ может быть построено посредством вложения Чжоу в достаточно большое проективное пространство. Это прямое обобщение конструкции грассманова многообразия посредством вложения Плюкера , поскольку грассманианами являются $d=1$ случай сортов Чау.

Многообразия Чжоу отличаются от групп Чжоу , которые являются абелевой группой всех алгебраических циклов на многообразии (не обязательно проективном пространстве) с точностью до рациональной эквивалентности. Оба названы в честь Вэй-Лян Чоу (周煒良), пионера в изучении алгебраических циклов.

Общие сведения об алгебраических циклах

Если X — подмногообразие замкнутое $\mathbb {P} ^{n-1}$ размера $k-1$ , степень X — это количество точек пересечения X с общим ^[2] $(n-k)$ -мерное проективное подпространство $\mathbb {P} ^{n-1}$ . ^[3]

Степень постоянна в семьях ^[4] подразновидностей, за исключением некоторых вырожденных пределов. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим следующее семейство, параметризованное t.

X_{t}:=V(x^{2}-tyz)\subset \mathbb {P} ^{2}

.

В любое время $t\neq 0$ , $X_{t}$ является коникой (неприводимым подмногообразием степени 2), но $X_{0}$ вырождается в линию $x=0$ (имеющий степень 1). Существует несколько подходов к решению этого вопроса, но самый простой — объявить $X_{0}$ быть линией кратности 2 (и, в более общем смысле, присоединять кратности к подмногообразиям), используя язык алгебраических циклов .

А $(k-1)$ -мерный алгебраический цикл — это конечная формальная линейная комбинация

X=\sum _{i}m_{i}X_{i}

.

в котором $X_{i}$ это $(k-1)$ -мерные неприводимые замкнутые подмногообразия в $\mathbb {P} ^{n-1}$ , и $m_{i}$ s — целые числа. Алгебраический цикл эффективен , если каждый $m_{i}\geq 0$ . Степень как алгебраического цикла определяется

\deg(X):=\sum _{i}m_{i}\deg(X_{i})

.

Однородный полином или однородный идеал от n-многих переменных определяет эффективный алгебраический цикл в $\mathbb {P} ^{n-1}$ , в котором кратность каждого неприводимого компонента равна порядку исчезновения в этом компоненте. В семействе алгебраических циклов, определяемом формулой $x^{2}-tyz$ , $t=0$ цикл в 2 раза превышает линию $x=0$ , который имеет степень 2. В более общем смысле, степень алгебраического цикла постоянна в семействах, поэтому имеет смысл рассмотреть проблему модулей эффективных алгебраических циклов фиксированной размерности и степени.

Примеры сортов чау-чау

Существует три особых класса разновидностей чау-чау с особенно простой конструкцией.

Степень 1: Подпространства

Эффективный алгебраический цикл в $\mathbb {P} ^{n-1}$ размерности k-1 и степени 1 является проективизацией k-мерного подпространства n-мерного аффинного пространства. Это дает изоморфизм грассманову многообразию:

\operatorname {Gr} (k,1,n)\simeq \operatorname {Gr} (k,n)

Последнее пространство имеет выделенную систему однородных координат , заданную координатами Плюккера .

Размер 0: очки

Эффективный алгебраический цикл в $\mathbb {P} ^{n-1}$ размерности 0 и степени d представляет собой (неупорядоченный) d-кортеж точек из $\mathbb {P} ^{n-1}$ , возможно с повторением. Это дает изоморфизм симметричной степени $\mathbb {P} ^{n-1}$ :

\operatorname {Gr} (1,d,n)\simeq \operatorname {Sym} _{d}\mathbb {P} ^{n-1}

.

Коразмерность 1: Делители

Эффективный алгебраический цикл в $\mathbb {P} ^{n-1}$ коразмерности 1 ^[5] и степень d может быть определена путем обращения в нуль одного полинома степени d от n-многих переменных, и этот многочлен уникален с точностью до масштабирования. Сдача в аренду $V_{d,n}$ обозначают векторное пространство полиномов степени d от n-многих переменных, это дает изоморфизм проективному пространству :

\operatorname {Gr} (n-1,d,n)\simeq \mathbb {P} V_{d,n}

.

Обратите внимание, что последнее пространство имеет выделенную систему однородных координат , которые переводят многочлен в коэффициент фиксированного монома.

Нетривиальный пример

Сорт Чау $\operatorname {Gr} (2,2,4)$ параметризует циклы размерности 1, степени 2 в $\mathbb {P} ^{3}$ . Эта разновидность чау-чау имеет два нередуцируемых компонента.

Модули коник, содержащихся в проективной плоскости (и их вырождения).
Модули пар прямых.

Эти две 8-мерные компоненты пересекаются по модулям компланарных пар прямых, что является особым местом в $\operatorname {Gr} (2,2,4)$ . Это показывает, что, в отличие от частных случаев, описанных выше, многообразия Чоу не обязательно должны быть гладкими или неприводимыми.

Вложение Чоу

Пусть X — неприводимое подмногообразие в $\mathbb {P} ^{n-1}$ размерности k-1 и степени d. По определению степени, большинство $(n-k)$ -мерные проективные подпространства $\mathbb {P} ^{n-1}$ пересекают X в d-многих точках. Напротив, большинство $(n-k-1)$ -мерные проективные подпространства $\mathbb {P} ^{n-1}$ вообще не пересекаются в точке X. Это можно усилить следующим образом.

Лемма. ^[6] Набор $Z(X)\subset \operatorname {Gr} (n-k,n)$ параметризация подпространств $\mathbb {P} ^{n-1}$ которые нетривиально пересекают X, является неприводимой гиперповерхностью степени ^[7] д.

Как следствие, существует форма степени d ^[8] $R_{X}$ на $\operatorname {Gr} (n-k,n)$ который исчезает именно на $Z(X)$ , и эта форма уникальна с точностью до масштабирования. Эту конструкцию можно расширить до алгебраического цикла $X=\sum _{i}m_{i}X_{i}$ заявив, что $R_{X}:=\prod _{i}R_{X_{i}}^{m_{i}}$ . Каждому алгебраическому циклу степени d это соответствует форме степени d. $R_{X}$ на $\operatorname {Gr} (n-k,n)$ , называемая формой Чоу X, которая определена с точностью до масштабирования.

Позволять $V_{k,d,n}$ обозначим векторное пространство форм степени d на $\operatorname {Gr} (n-k,n)$ .

Теорема Чоу-ван-дер-Вардена. ^[9] Карта $\operatorname {Gr} (k,d,n)\hookrightarrow \mathbb {P} V_{k,d,n}$ который отправляет $X\mapsto R_{X}$ является закрытым вложением многообразий.

В частности, эффективный алгебраический цикл X определяется его формой Чоу $R_{X}$ .

Если основой для $V_{k,d,n}$ был выбран, отправка $X$ к коэффициентам $R_{X}$ в этом базисе дает систему однородных координат на многообразии Чоу $\operatorname {Gr} (k,d,n)$ , называемые Чоу координатами $X$ . Однако, поскольку не существует единого мнения относительно «лучшей» основы для $V_{k,d,n}$ , этот термин может быть неоднозначным.

С фундаментальной точки зрения приведенная выше теорема обычно используется в качестве определения $\operatorname {Gr} (k,d,n)$ . То есть сорт Чоу обычно определяют как подразновидность $\mathbb {P} V_{k,d,n}$ , и только тогда показано, что это прекрасное пространство модулей для рассматриваемой проблемы модулей.

Связь со схемой Гильберта

Более сложное решение проблемы «правильного» подсчета степени вырожденного подмногообразия состоит в работе подсхемами с $\mathbb {P} ^{n-1}$ а не подвиды. Схемы могут отслеживать бесконечно малую информацию, чего не могут делать многообразия и алгебраические циклы.

Например, если две точки многообразия сближаются друг с другом в алгебраическом семействе, предельным подмногообразием является одна точка, предельным алгебраическим циклом является точка с кратностью 2, а предельной подсхемой является «жирная точка», содержащая касательную. направление, в котором столкнулись две точки.

Гильберта Схема $\operatorname {Hilb} (k,d,n)$ представляет собой точную схему модулей замкнутых подсхем размерности k-1 и степени d внутри $\mathbb {P} ^{n-1}$ . ^[10] Каждая замкнутая подсхема определяет эффективный алгебраический цикл, а индуцированное отображение

\operatorname {Hilb} (k,d,n)\longrightarrow \operatorname {Gr} (k,d,n)

.

называется отображением цикла или морфизмом Гильберта-Чоу . Это отображение в общем случае является изоморфизмом точек из $\operatorname {Gr} (k,d,n)$ соответствующие неприводимым подмногообразиям степени d, но более интересными могут быть слои над непростыми алгебраическими циклами.

Чау-коэффициент

Фактор Чоу параметризует замыкания орбит общего положения . Оно построено как замкнутое подмногообразие многообразия Чоу.

Теорема Капранова утверждает, что пространство модулей ${\overline {M}}_{0,n}$ стабильных n кривых рода нуль с отмеченными точками является фактором Чоу грассманиана $\operatorname {Gr} (2,\mathbb {C} ^{n})$ стандартным максимальным тором.

См. также

Ссылки

^ Обозначения сортов чау-чау не являются стандартными между ссылками.
^ Здесь и далее мы предполагаем, что основное поле алгебраически замкнуто и имеет характеристику 0, поэтому мы можем определить «общее» как любое явление, характеризующееся условием открытости Зарисского. Степень можно определить в более широком смысле, но подсчет общих пересечений, возможно, является наиболее интуитивным.
^ Обратите внимание, что степень присуща не X как разновидности, а скорее его вложению в $\mathbb {P} ^{n-1}$ .
^ Предполагается, что все семьи плоские .
^ Алгебраический цикл коразмерности 1 также называется дивизором Вейля .
^ [ГКЗ94, глава 3, предложение 2.2]
^ «Степень» определена в этой статье только для подмногообразий проективного пространства. Однако координаты Плюкера позволяют аналогично определить степень для подмногообразий грассманианов.
^ в Форма степени d данном контексте означает однородную координату степени d. Для грассманиана это может быть задано полиномом степени d в координатах Плюккера и четко определено с точностью до соотношений Плюккера.
^ см. [ГКЗ94, глава 4, теорема 1.1]
^ Существуют значительные различия в использовании термина «схема Гильберта». Некоторые авторы не проводят деление по размерности или степени, другие предполагают, что размерность равна 0 (т. е. схема точек Гильберта), а третьи рассматривают более общие схемы, чем $\mathbb {P} ^{n-1}$ .

Чоу, В.-Л. ; ван дер Варден, Б.Л. (1937), «Zur алгебраическая геометрия IX.», Mathematische Annalen , 113 : 692–704, doi : 10.1007/BF01571660 , S2CID 125073468
Гельфанд, Израиль М .; Капранов Михаил Михайлович ; Зелевинский, И.Андрей В. (1994). Дискриминанты, результанты и многомерные детерминанты . Биркхойзер , Бостон, Массачусетс. ISBN 978-0-8176-4771-1 .
Ходж, Западная Вирджиния ; Педо, Дэниел (1994) [1947]. Методы алгебраической геометрии, том I (книга II) . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-46900-5 . МР 0028055 .
Ходж, Западная Вирджиния ; Педо, Дэниел (1994) [1952]. Методы алгебраической геометрии: Том 2 Книга III: Общая теория алгебраических многообразий в проективном пространстве. Книга IV: Квадрикки и многообразия Грассмана . Кембриджская математическая библиотека. Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-46901-2 . МР 0048065 .
Михаил Капранов, Факторы Чоу грассманиана, Сборник семинаров И. М. Гельфанда, 29–110, Адв. Советская матем., 16, ч. 2, амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, 1993.
Коллар, Янош (1996), Рациональные кривые алгебраических многообразий , Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag
Коллар, Янош , «Глава 1» , Книга о модулях поверхностей
Куликов, Вал.С. (2001) [1994], «Разновидность Чау» , Математическая энциклопедия , EMS Press
Мамфорд, Дэвид ; Фогарти, Джон; Кирван, Фрэнсис (1994). Геометрическая теория инвариантов . Результаты по математике и смежным областям (2)]. Том 34 (3-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer Verlag . ISBN 978-3-540-56963-3 . МР 1304906 .

[1] Обозначения сортов чау-чау не являются стандартными между ссылками.

[2] Здесь и далее мы предполагаем, что основное поле алгебраически замкнуто и имеет характеристику 0, поэтому мы можем определить «общее» как любое явление, характеризующееся условием открытости Зарисского. Степень можно определить в более широком смысле, но подсчет общих пересечений, возможно, является наиболее интуитивным.

[3] Обратите внимание, что степень присуща не X как разновидности, а скорее его вложению в $\mathbb {P} ^{n-1}$ .

[4] Предполагается, что все семьи плоские .

[5] Алгебраический цикл коразмерности 1 также называется дивизором Вейля .

[6] [ГКЗ94, глава 3, предложение 2.2]

[7] «Степень» определена в этой статье только для подмногообразий проективного пространства. Однако координаты Плюкера позволяют аналогично определить степень для подмногообразий грассманианов.

[8] в Форма степени d данном контексте означает однородную координату степени d. Для грассманиана это может быть задано полиномом степени d в координатах Плюккера и четко определено с точностью до соотношений Плюккера.

[9] см. [ГКЗ94, глава 4, теорема 1.1]

[10] Существуют значительные различия в использовании термина «схема Гильберта». Некоторые авторы не проводят деление по размерности или степени, другие предполагают, что размерность равна 0 (т. е. схема точек Гильберта), а третьи рассматривают более общие схемы, чем $\mathbb {P} ^{n-1}$ .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]