Закон Кюри

Не путать с законом Кюри-Вейсса .

Для многих парамагнетиков намагниченность магнитному материала прямо пропорциональна приложенному полю при достаточно высоких температурах и малых полях. Однако если материал нагреть, эта пропорциональность снижается. При фиксированном значении поля магнитная восприимчивость обратно пропорциональна температуре, т. е.

$M=\chi H,\quad \chi ={\frac {C}{T}},$

где

$\chi >0$ – (объемная) магнитная восприимчивость,

$M$ — величина результирующей намагниченности ( А / м ),

$H$ - величина приложенного магнитного поля (А/м),

$T$ — абсолютная температура ( К ),

$C$ специфичная для материала . — константа Кюри (K),

Пьер Кюри обнаружил это соотношение, теперь известное как закон Кюри, путем подбора данных эксперимента. Это справедливо только для высоких температур и слабых магнитных полей. Как показывают приведенные ниже выводы, намагниченность насыщается в противоположном пределе низких температур и сильных полей. Если константа Кюри равна нулю, доминируют другие магнитные эффекты, такие как диамагнетизм Ланжевена или парамагнетизм Ван Флека .

Вывод с помощью квантовой механики

Намагниченность парамагнетика как функция обратной температуры

Простая модель парамагнетика концентрируется на составляющих его частицах , которые не взаимодействуют друг с другом. Каждая частица имеет магнитный момент, определяемый выражением ${\vec {\mu }}$. Энергия момента магнитного в магнитном поле определяется выражением

$E=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} ,$

где $\mathbf {B} =\mu _{0}(\mathbf {H} +\mathbf {M} )$ — плотность магнитного поля, измеряемая в теслах (Тл).

Частицы с двумя состояниями (спин-1/2)

Чтобы упростить расчет, мы будем работать с частицей с двумя состояниями : она может либо выравнивать свой магнитный момент с магнитным полем, либо против него. Таким образом, тогда единственными возможными значениями магнитного момента являются $\mu$ и $-\mu$. Если да, то такая частица имеет только две возможные энергии: $-\mu B$ когда он выровнен по полю и $+\mu B$ когда оно ориентировано противоположно полю.

Степень, в которой магнитные моменты совпадают с полем, можно рассчитать по статистической сумме . Для одной частицы это

$Z_{1}=\sum _{n=0,1}e^{-E_{n}\beta }=e^{\mu B\beta }+e^{-\mu B\beta }=2\cosh(\mu B\beta ).$

Статистическая сумма для набора из N таких частиц, если они не взаимодействуют друг с другом, равна

$Z=Z_{1}^{N},$

и свободная энергия поэтому

$G=-{\frac {1}{\beta }}\log Z=-Nk_{\rm {B}}T\log Z_{1}.$

Намагниченность является отрицательной производной свободной энергии по приложенному полю, поэтому намагниченность единицы объема равна

$M=n\mu \tanh {\frac {\mu B}{k_{\rm {B}}T}},$

где n — плотность магнитных моментов. Приведенная выше формула известна как парамагнитное уравнение Ланжевена . Пьер Кюри нашел приближение к этому закону , применимое к относительно высоким температурам и низким магнитным полям, используемым в его экспериментах . С увеличением температуры и уменьшением магнитного поля аргумент гиперболического тангенса уменьшается. В Кюри режиме

${\frac {\mu B}{k_{\rm {B}}T}}\ll 1.$

Более того, если $|x|\ll 1$, затем

$\tanh x\approx x,$

поэтому намагниченность мала, и мы можем написать $B\approx \mu _{0}H$, и таким образом

$M\approx {\frac {\mu _{0}\mu ^{2}n}{k_{\rm {B}}}}{\frac {H}{T}}.$

В этом режиме магнитная восприимчивость, определяемая выражением

$\chi ={\frac {\partial M}{\partial H}}\approx {\frac {M}{H}}$

урожайность

$\chi (T\to \infty )={\frac {C}{T}},$

с константой Кюри, определяемой выражением $C=\mu _{0}n\mu ^{2}/k_{\rm {B}}$, в кельвинах (К).

В режиме низких температур или высоких полей $M$ стремится к максимальному значению $n\mu$, что соответствует тому, что все частицы полностью выровнены по полю. Поскольку этот расчет не описывает электроны, внедренные глубоко в поверхность Ферми , которым согласно принципу Паули запрещено менять свои спины, он не иллюстрирует квантовую статистику проблемы при низких температурах. Используя распределение Ферми – Дирака , можно обнаружить, что при низких температурах $M$ линейно зависит от магнитного поля, так что магнитная восприимчивость выходит на константу.

Общий случай

Когда частицы имеют произвольный спин (любое количество состояний спина), формула немного сложнее.В слабых магнитных полях или высокой температуре вращение подчиняется закону Кюри:

$C={\frac {\mu _{0}\mu _{\text{B}}^{2}}{3k_{\rm {B}}}}ng^{2}J(J+1),$

где $J$ — квантовое число полного углового момента , $g$ – g -фактор (такой, что $\mu =gJ\mu _{\text{B}}$ магнитный момент). Для двухуровневой системы с магнитным моментом $\mu$, формула сводится к $$C={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}n\mu _{0}\mu ^{2},$$как указано выше, а соответствующие выражения в гауссовских единицах имеют вид $$C={\frac {\mu _{\rm {B}}^{2}}{3k_{\rm {B}}}}ng^{2}J(J+1),$$$$C={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}n\mu ^{2}.$$

Эту более общую формулу и ее вывод (включая сильное поле и низкую температуру) см. в статье « Функция Бриллюэна» .Когда спин приближается к бесконечности, формула намагниченности приближается к классическому значению, полученному в следующем разделе.

Вывод с помощью классической статистической механики

Альтернативная трактовка применяется, когда парамагнетики представляют собой классические свободно вращающиеся магнитные моменты. В этом случае их положение будет определяться их углами в сферических координатах , а энергия для одного из них будет равна:

$E=-\mu B\cos \theta ,$

где $\theta$ представляет собой угол между магнитным моментом имагнитное поле (которое мы считаем направленным в $z$координата.) Соответствующая статистическая сумма равна

$Z=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta ).$

Мы видим, что нет никакой зависимости от $\phi$ угол, а также мы можемизменить переменные на $y=\cos \theta$ чтобы получить

$Z=2\pi \int _{-1}^{1}dy\exp(\mu B\beta y)=2\pi {\exp(\mu B\beta )-\exp(-\mu B\beta ) \over \mu B\beta }={4\pi \sinh(\mu B\beta ) \over \mu B\beta .}$

Теперь ожидаемое значение $z$ компоненты намагниченности (две другие, как видно, равны нулю (из-за интегрирования по $\phi$), как и должно быть, будет задано

$\left\langle \mu _{z}\right\rangle ={1 \over Z}\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta )\left[\mu \cos \theta \right].$

Для упрощения расчета мы видим, что это можно записать как дифференцирование $Z$:

$\left\langle \mu _{z}\right\rangle ={1 \over Z\beta }{\frac {\partial Z}{\partial B}}={1 \over \beta }{\frac {\partial \ln Z}{\partial B}}$

(Этот подход также можно использовать для приведенной выше модели, но расчет был настолько простым, чтоэто не так полезно.)

Проводя вывод, находим

$M=n\left\langle \mu _{z}\right\rangle =n\mu L(\mu B\beta ),$

где $L$ функция Ланжевена :

$L(x)=\coth x-{1 \over x}.$

Эта функция может показаться единственной для малых $x$, но это не так, поскольку два сингулярных члена компенсируют друг друга. Фактически, его поведение для небольших аргументов $L(x)\approx x/3$, поэтому предел Кюри также применяется, но с константой КюриВ этом случае в три раза меньше. Аналогично, функция насыщается при $1$ для больших значений его аргумента, а также восстанавливается противоположный предел.

История

Пьер Кюри в 1895 году заметил, что магнитная восприимчивость кислорода обратно пропорциональна температуре. Десять лет спустя Поль Ланжевен представил классический вывод этой зависимости.

См. также

• Закон Кюри – Вейсса

Внешние ссылки

• Закон Кюри в Мерриам-Вебстере