Установлен уровень

Точки на постоянные срезы

x 2 = f (x 1)

.

Линии на постоянных срезах

x 3 = f (x 1, x 2)

.

Плоскости на постоянных срезах

x 4 = f (x 1, x 2, x 3)

.

(n - 1)

-мерные множества уровня для функций вида

f (x 1, x 2, \dots, x n) = a 1 x 1 + a 2 x 2 + \dots + a n x n

где

a 1, a 2, \dots, a n

— константы в

(n + 1)

-мерном евклидовом пространстве для

n = 1, 2, 3

.

Точки на постоянные срезы

x 2 = f (x 1)

.

Контурные кривые на постоянных срезах

x 3 знак равно f (x 1, x 2)

.

Искривленные поверхности на постоянных срезах

x 4 = f (x 1, x 2, x 3)

.

(n - 1)

-мерные множества уровня нелинейных функций

f (x 1, x 2, \dots, x n

) в

(n + 1)

-мерном евклидовом пространстве для

n = 1, 2, 3

.

В математике множество уровней действительной функции $f$ от $n$ действительных переменных — это набор , в котором функция принимает заданное постоянное значение $c$ , то есть:

L_{c}(f)=\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid f(x_{1},\ldots ,x_{n})=c\right\}~.

Когда количество независимых переменных равно двум, набор уровней называется уровня кривой , также известной как контурная линия или изолиния ; таким образом, кривая уровня — это совокупность всех действительных решений уравнения с двумя переменными $x 1$ и $x 2$ . Когда $n = 3$ , множество уровней называется уровня поверхностью (или изоповерхностью ); таким образом, поверхность уровня — это совокупность всех действительных корней уравнения с тремя переменными $x 1$ , $x 2$ и $x 3$ . Для более высоких значений $n$ набор уровней представляет собой уровня гиперповерхность , набор всех действительных корней уравнения с $n > 3$ переменными.

Набор уровней является частным случаем волокна .

Альтернативные названия

Наборы уровней отображаются во многих приложениях, часто под разными именами. Например, неявная кривая — это кривая уровня, которую рассматривают независимо от соседних с ней кривых, подчеркивая, что такая кривая определяется неявным уравнением . Аналогично поверхность уровня иногда называют неявной поверхностью или изоповерхностью .

Также используется название изоконтур, что означает контур равной высоты. В различных областях применения изоконтуры получили специфические названия, указывающие зачастую на характер значений рассматриваемой функции, такие как изобара , изотерма , изогона , изохрона , изокванта и кривая безразличия .

Примеры

Рассмотрим двумерное евклидово расстояние: $d(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ Набор уровней $L_{r}(d)$ этой функции состоит из тех точек, которые лежат на расстоянии $r$ от начала координат, которые образуют круг . Например, $(3,4)\in L_{5}(d)$ , потому что $d(3,4)=5$ . Геометрически это означает, что точка $(3,4)$ лежит на окружности радиуса 5 с центром в начале координат. В более общем смысле, сфера в метрическом пространстве. $(M,m)$ с радиусом $r$ сосредоточено в $x\in M$ может быть определен как набор уровней $L_{r}(y\mapsto m(x,y))$ .

Вторым примером является график функции Химмельблау, показанный на рисунке справа. Каждая показанная кривая представляет собой кривую уровня функции, и они расположены логарифмически: если кривая представляет $L_{x}$ , кривая непосредственно «внутри» представляет $L_{x/10}$ , а кривая непосредственно «снаружи» представляет $L_{10x}$ .

Наборы уровней в сравнении с градиентом

Теорема : функция

f

дифференцируема , градиент в этой точке f

f

в точке либо равен нулю, либо перпендикулярен множеству уровня

Если

.

Чтобы понять, что это значит, представьте, что два туриста находятся в одном и том же месте на горе. Один из них смелый и решает идти в ту сторону, где склон самый крутой. Другой более осторожен и не хочет ни подниматься, ни спускаться, выбирая путь, который остается на той же высоте. По нашей аналогии, приведенная выше теорема гласит, что два туриста пойдут в направлениях, перпендикулярных друг другу.

Следствием этой теоремы (и ее доказательства) является то, что если $дифференцируемо$ , множество уровня является гиперповерхностью и многообразием вне критических точек f $f$ . В критической точке набор уровней может быть сведен к точке (например, при экстремуме f $локальном$ ) или может иметь особенность, такая как точка самопересечения или точка возврата .

Наборы подуровней и суперуровней

Набор формы

L_{c}^{-}(f)=\left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})\leq c\right\}

называется подуровней набором f (или, альтернативно, нижнего уровня или траншеей f набором ). Строгое подуровней множество f — это

\left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})<c\right\}

Сходным образом

L_{c}^{+}(f)=\left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})\geq c\right\}

называется суперуровня набором f (или, альтернативно, набором верхнего уровня f ) . И строгий набор суперуровней f равен

\left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})>c\right\}

Множества подуровней играют важную роль в теории минимизации . По теореме Вейерштрасса некоторого из ограниченности непустого множества подуровней и полунепрерывности снизу функции следует, что функция достигает минимума. Выпуклость квазивыпуклые всех множеств подуровней характеризует функции . ^[2]

См. также

Ссылки

^ Симионеску, Пенсильвания (2011). «Некоторые достижения в визуализации ограниченных функций и неравенств двух переменных». Журнал вычислительной техники и информатики в технике . 11 (1). дои : 10.1115/1.3570770 .
^ Кивиэль, Кшиштоф К. (2001). «Сходимость и эффективность субградиентных методов квазивыпуклой минимизации». Математическое программирование, серия А. 90 (1). Берлин, Гейдельберг: Springer: 1–25. дои : 10.1007/PL00011414 . ISSN 0025-5610 . МР 1819784 . S2CID 10043417 .

[1] Симионеску, Пенсильвания (2011). «Некоторые достижения в визуализации ограниченных функций и неравенств двух переменных». Журнал вычислительной техники и информатики в технике . 11 (1). дои : 10.1115/1.3570770 .

[2] Кивиэль, Кшиштоф К. (2001). «Сходимость и эффективность субградиентных методов квазивыпуклой минимизации». Математическое программирование, серия А. 90 (1). Берлин, Гейдельберг: Springer: 1–25. дои : 10.1007/PL00011414 . ISSN 0025-5610 . МР 1819784 . S2CID 10043417 .

[1]

[2]