Jump to content

Теорема Крамерса

(Перенаправлено из теоремы Крамерса )

В квантовой механике утверждает теорема вырождения Крамерса , что для каждого собственного состояния энергии симметричной системы с обращением времени и полуцелым общим спином существует другое собственное состояние с той же энергией, связанное обращением времени. Другими словами, вырождение каждого энергетического уровня является четным числом, если он имеет полуцелый спин. Теорема названа в честь голландского физика Х.А. Крамерса .

В теоретической физике симметрия обращения времени - это симметрия физических законов при преобразовании обращения времени:

Если оператор Гамильтона коммутирует с оператором обращения времени, то есть

тогда для каждого собственного состояния энергии , состояние, обращенное во времени также является собственным состоянием с той же энергией. Эти два состояния иногда называют парой Крамерса . [ 1 ] В общем, это обращенное во времени состояние может быть идентично исходному, но это невозможно в системе с полуцелым спином: поскольку обращение времени меняет все угловые моменты, обращение полуцелого спина не может привести к тому же состоянию ( магнитное квантовое число никогда не бывает нулевым).

Математическое утверждение и доказательство

[ редактировать ]

В квантовой механике операция обращения времени представлена ​​антиунитарным оператором действующий в гильбертовом пространстве . Если случится так , то имеем следующую простую теорему:

Если — антиунитарный оператор, действующий в гильбертовом пространстве удовлетворяющий и вектор в , затем ортогонален .

Доказательство

[ редактировать ]

По определению антиунитарного оператора , где и являются векторами в . Замена и и используя это , мы получаем что подразумевает, что .

Следовательно, если гамильтониан симметричен относительно обращения времени, т. е. коммутирует с , то все его собственные энергетические пространства имеют четное вырождение, поскольку применение к произвольному собственному состоянию энергии дает другое собственное состояние энергии оно ортогонально первому. Свойство ортогональности имеет решающее значение, поскольку оно означает, что два собственных состояния и представляют различные физические состояния. Если, наоборот, они находились в одном и том же физическом состоянии, то за угол , что подразумевало бы

Чтобы завершить теорему о вырождении Крамерса, нам просто нужно доказать, что оператор обращения времени действуя в с полунечетным спином, удовлетворяет гильбертовом пространстве . Это следует из того, что оператор спина представляет собой тип углового момента и, как таковой, должен менять направление при :

Точнее, оператор который обладает этим свойством, обычно записывается как

где является оператором вращения в направление и представляет собой комплексное отображение сопряжения в спиновый базис. [ 2 ]

С имеет действительные матричные компоненты в основе, тогда

Следовательно, для полунечетных спинов , у нас есть . Это тот же самый знак минус, который появляется при выполнении полного вращение в системах с полунечетными спинами , таких как фермионы .

Последствия

[ редактировать ]

Энергетические уровни системы с нечетным общим числом фермионов (таких как электроны , протоны и нейтроны ) остаются по крайней мере дважды вырожденными в присутствии чисто электрических полей (т. е. отсутствия внешних магнитных полей ). Впервые он был открыт в 1930 году Х.А. Крамерсом. [ 3 ] как следствие уравнения Брейта . Как показал Юджин Вигнер в 1932 году, [ 4 ] это следствие относительно обращения времени инвариантности электрических полей и следует из применения антиунитарного Т - оператора к волновой функции нечетного числа фермионов. Теорема справедлива для любой конфигурации статических или изменяющихся во времени электрических полей.

Например, атом водорода (H) содержит один протон и один электрон, поэтому теорема Крамерса неприменима. Действительно, самый низкий (сверхтонкий) энергетический уровень H невырожден, хотя общая система может иметь вырождение по другим причинам. ( С другой стороны , изотоп дейтерия D) содержит дополнительный нейтрон, так что общее число фермионов равно трем, и теорема применима. Основное состояние D содержит две сверхтонкие компоненты, двукратно и четырехкратно вырожденные.

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Чжан, Фань; Кейн, CL; Меле, Э.Дж. (2 августа 2013 г.). «Топологическая сверхпроводимость, инвариантная к обращению времени, и майорановские пары Крамерса» . Письма о физических отзывах . 111 (5): 056402. arXiv : 1212.4232 . Бибкод : 2013PhRvL.111e6402Z . doi : 10.1103/PhysRevLett.111.056402 . ПМИД   23952423 . S2CID   31559089 .
  2. ^ Тасаки, Хэл (2020). «2.3: Обращение времени и вырождение Крамерса». Физика и математика квантовых систем многих тел . Чам: Спрингер. ISBN  978-3-030-41265-4 . OCLC   1154567924 .
  3. ^ Крамерс, HA (1930). «Общая теория парамагнитного вращения в кристаллах» (PDF) . Труды Королевской Нидерландской академии искусств и наук (на французском языке). 33 (6–10): 959–972.
  4. ^ Э. Вигнер, Об операции обращения времени в квантовой механике, Nachr. Геттинген 31, 546–559 (1932) http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=GDZPPN002509032
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 5ebbc1b35a832ba5b89e034516965861__1686774600
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/5e/61/5ebbc1b35a832ba5b89e034516965861.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Kramers' theorem - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)