Теорема Крамерса
В квантовой механике утверждает теорема вырождения Крамерса , что для каждого собственного состояния энергии симметричной системы с обращением времени и полуцелым общим спином существует другое собственное состояние с той же энергией, связанное обращением времени. Другими словами, вырождение каждого энергетического уровня является четным числом, если он имеет полуцелый спин. Теорема названа в честь голландского физика Х.А. Крамерса .
В теоретической физике симметрия обращения времени - это симметрия физических законов при преобразовании обращения времени:
Если оператор Гамильтона коммутирует с оператором обращения времени, то есть
тогда для каждого собственного состояния энергии , состояние, обращенное во времени также является собственным состоянием с той же энергией. Эти два состояния иногда называют парой Крамерса . [ 1 ] В общем, это обращенное во времени состояние может быть идентично исходному, но это невозможно в системе с полуцелым спином: поскольку обращение времени меняет все угловые моменты, обращение полуцелого спина не может привести к тому же состоянию ( магнитное квантовое число никогда не бывает нулевым).
Математическое утверждение и доказательство
[ редактировать ]В квантовой механике операция обращения времени представлена антиунитарным оператором действующий в гильбертовом пространстве . Если случится так , то имеем следующую простую теорему:
Если — антиунитарный оператор, действующий в гильбертовом пространстве удовлетворяющий и вектор в , затем ортогонален .
Доказательство
[ редактировать ]По определению антиунитарного оператора , где и являются векторами в . Замена и и используя это , мы получаем что подразумевает, что .
Следовательно, если гамильтониан симметричен относительно обращения времени, т. е. коммутирует с , то все его собственные энергетические пространства имеют четное вырождение, поскольку применение к произвольному собственному состоянию энергии дает другое собственное состояние энергии оно ортогонально первому. Свойство ортогональности имеет решающее значение, поскольку оно означает, что два собственных состояния и представляют различные физические состояния. Если, наоборот, они находились в одном и том же физическом состоянии, то за угол , что подразумевало бы
Чтобы завершить теорему о вырождении Крамерса, нам просто нужно доказать, что оператор обращения времени действуя в с полунечетным спином, удовлетворяет гильбертовом пространстве . Это следует из того, что оператор спина представляет собой тип углового момента и, как таковой, должен менять направление при :
Точнее, оператор который обладает этим свойством, обычно записывается как
где является оператором вращения в направление и представляет собой комплексное отображение сопряжения в спиновый базис. [ 2 ]
С имеет действительные матричные компоненты в основе, тогда
Следовательно, для полунечетных спинов , у нас есть . Это тот же самый знак минус, который появляется при выполнении полного вращение в системах с полунечетными спинами , таких как фермионы .
Последствия
[ редактировать ]Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, добавив к нему . ( август 2022 г. ) |
Энергетические уровни системы с нечетным общим числом фермионов (таких как электроны , протоны и нейтроны ) остаются по крайней мере дважды вырожденными в присутствии чисто электрических полей (т. е. отсутствия внешних магнитных полей ). Впервые он был открыт в 1930 году Х.А. Крамерсом. [ 3 ] как следствие уравнения Брейта . Как показал Юджин Вигнер в 1932 году, [ 4 ] это следствие относительно обращения времени инвариантности электрических полей и следует из применения антиунитарного Т - оператора к волновой функции нечетного числа фермионов. Теорема справедлива для любой конфигурации статических или изменяющихся во времени электрических полей.
Например, атом водорода (H) содержит один протон и один электрон, поэтому теорема Крамерса неприменима. Действительно, самый низкий (сверхтонкий) энергетический уровень H невырожден, хотя общая система может иметь вырождение по другим причинам. ( С другой стороны , изотоп дейтерия D) содержит дополнительный нейтрон, так что общее число фермионов равно трем, и теорема применима. Основное состояние D содержит две сверхтонкие компоненты, двукратно и четырехкратно вырожденные.
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Чжан, Фань; Кейн, CL; Меле, Э.Дж. (2 августа 2013 г.). «Топологическая сверхпроводимость, инвариантная к обращению времени, и майорановские пары Крамерса» . Письма о физических отзывах . 111 (5): 056402. arXiv : 1212.4232 . Бибкод : 2013PhRvL.111e6402Z . doi : 10.1103/PhysRevLett.111.056402 . ПМИД 23952423 . S2CID 31559089 .
- ^ Тасаки, Хэл (2020). «2.3: Обращение времени и вырождение Крамерса». Физика и математика квантовых систем многих тел . Чам: Спрингер. ISBN 978-3-030-41265-4 . OCLC 1154567924 .
- ^ Крамерс, HA (1930). «Общая теория парамагнитного вращения в кристаллах» (PDF) . Труды Королевской Нидерландской академии искусств и наук (на французском языке). 33 (6–10): 959–972.
- ^ Э. Вигнер, Об операции обращения времени в квантовой механике, Nachr. Геттинген 31, 546–559 (1932) http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=GDZPPN002509032