Слабая формулировка
Слабые формулировки являются важными инструментами для анализа математических уравнений , которые позволяют перенести концепции линейной алгебры для решения проблем в других областях, таких как уравнения в частных производных . В слабой формулировке уравнения или условия больше не обязаны выполняться абсолютно (и это даже не четко определено) и вместо этого имеют слабые решения только относительно определенных «пробных векторов» или « пробных функций ». В сильной формулировке пространство решений строится так, что эти уравнения или условия уже выполнены.
Теорема Лакса-Милгрэма , названная в честь Питера Лакса и Артура Милгрэма , доказавших ее в 1954 году, дает слабые формулировки для некоторых систем в гильбертовых пространствах .
Общая концепция [ править ]
Позволять — банахово пространство , пусть быть двойным пространством , позволять , [ нужны разъяснения ] и пусть . Вектор является решением уравнения
тогда и только тогда, когда для всех ,
Особый выбор называется тестовым вектором (вообще) или тестовой функцией (если является функциональным пространством).
Чтобы привести это к общей форме слабой формулировки, найдите такой, что
определив билинейную форму
Пример 1: линейная система уравнений [ править ]
Теперь позвольте и быть линейным отображением . Тогда слабая формулировка уравнения
включает в себя поиск такой, что для всех имеет место следующее уравнение:
где обозначает внутренний продукт .
С является линейным отображением, достаточно проверить с помощью базисных векторов , и мы получаем
Собственно, расширение , получим матричную форму уравнения
где и .
Билинейная форма, связанная с этой слабой формулировкой, равна
Пример 2: уравнение Пуассона [ править ]
Чтобы решить уравнение Пуассона
в домене с на его границе и указать пространство решений позже можно будет использовать - скалярное произведение
вывести слабую формулировку. Затем тестирование с дифференцируемыми функциями урожайность
Левую часть этого уравнения можно сделать более симметричной, проинтегрировав по частям, воспользовавшись тождеством Грина и полагая, что на :
Это то, что обычно называют слабой формулировкой уравнения Пуассона . Функции в пространстве решений должно быть нулем на границе и иметь производные, интегрируемые с квадратом . Подходящим пространством, удовлетворяющим этим требованиям, является пространство Соболева. функций со слабыми производными в и с нулевыми граничными условиями, поэтому .
Общая форма получается присвоением
и
Лакса Милгрэма Теорема -
Это формулировка теоремы Лакса-Милгрэма , основанная на свойствах симметричной части билинейной формы . Это не самая общая форма.
Позволять быть гильбертовым пространством и билинейная форма на , что
- ограничено : и
- принудительный :
Тогда для любого ограниченного , есть единственное решение к уравнению
и это держится
Приложение к примеру 1 [ править ]
Здесь применение теоремы Лакса–Милгрэма является более сильным результатом, чем необходимо.
- Ограниченность: все билинейные формы на ограничены. В частности, у нас есть
- Коэрцитивность: на самом деле это означает, что части собственных значений действительные не меньше, чем . Поскольку из этого, в частности, следует, что ни одно собственное значение не равно нулю, система разрешима.
Кроме того, это дает оценку где — минимальная действительная часть собственного значения .
Приложение к примеру 2 [ править ]
Вот, выбирай с нормой
где нормой справа является - норма на (это обеспечивает истинную норму по неравенству Пуанкаре ).Но мы видим это и по неравенству Коши–Шварца , .
Следовательно, для любого , есть единственное решение уравнения Пуассона и мы имеем оценку
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- Лакс, Питер Д .; Милгрэм, Артур Н. (1954), «Параболические уравнения», Вклад в теорию уравнений в частных производных , Анналы математических исследований, том. 33, Принстон, Нью-Джерси : Princeton University Press , стр. 167–190, doi : 10.1515/9781400882182-010 , ISBN. 9781400882182 , МР 0067317 , Збл 0058.08703