Слабая формулировка

Слабые формулировки являются важными инструментами для анализа математических уравнений , которые позволяют перенести концепции линейной алгебры для решения проблем в других областях, таких как уравнения в частных производных . В слабой формулировке уравнения или условия больше не обязаны выполняться абсолютно (и это даже не четко определено) и вместо этого имеют слабые решения только относительно определенных «пробных векторов» или « пробных функций ». В сильной формулировке пространство решений строится так, что эти уравнения или условия уже выполнены.

Теорема Лакса-Милгрэма , названная в честь Питера Лакса и Артура Милгрэма , доказавших ее в 1954 году, дает слабые формулировки для некоторых систем в гильбертовых пространствах .

Общая концепция [ править ]

Позволять $V$ — банахово пространство , пусть $V'$ быть двойным пространством $V$ , позволять $A\colon V\to V'$ , ^{[ нужны разъяснения ]} и пусть $f\in V'$ . Вектор $u\in V$ является решением уравнения

$Au=f$

тогда и только тогда, когда для всех $v\in V$ ,

$(Au)(v)=f(v).$

Особый выбор $v$ называется тестовым вектором (вообще) или тестовой функцией (если $V$ является функциональным пространством).

Чтобы привести это к общей форме слабой формулировки, найдите $u\in V$ такой, что

$a(u,v)=f(v)\quad \forall v\in V,$

определив билинейную форму

$a(u,v):=(Au)(v).$

Пример 1: линейная система уравнений [ править ]

Теперь позвольте $V=\mathbb {R} ^{n}$ и $A:V\to V$ быть линейным отображением . Тогда слабая формулировка уравнения

$Au=f$

включает в себя поиск $u\in V$ такой, что для всех $v\in V$ имеет место следующее уравнение:

$\langle Au,v\rangle =\langle f,v\rangle ,$

где $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ обозначает внутренний продукт .

С $A$ является линейным отображением, достаточно проверить с помощью базисных векторов , и мы получаем

$\langle Au,e_{i}\rangle =\langle f,e_{i}\rangle ,\quad i=1,\ldots ,n.$

Собственно, расширение $u=\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j}$ , получим матричную форму уравнения

$\mathbf {A} \mathbf {u} =\mathbf {f} ,$

где $a_{ij}=\langle Ae_{j},e_{i}\rangle$ и $f_{i}=\langle f,e_{i}\rangle$ .

Билинейная форма, связанная с этой слабой формулировкой, равна

$a(u,v)=\mathbf {v} ^{T}\mathbf {A} \mathbf {u} .$

Пример 2: уравнение Пуассона [ править ]

Чтобы решить уравнение Пуассона

$-\nabla ^{2}u=f,$

в домене $\Omega \subset \mathbb {R} ^{d}$ с $u=0$ на его границе и указать пространство решений $V$ позже можно будет использовать $L^{2}$ - скалярное произведение

$\langle u,v\rangle =\int _{\Omega }uv\,dx$

вывести слабую формулировку. Затем тестирование с дифференцируемыми функциями $v$ урожайность

$-\int _{\Omega }(\nabla ^{2}u)v\,dx=\int _{\Omega }fv\,dx.$

Левую часть этого уравнения можно сделать более симметричной, проинтегрировав по частям, воспользовавшись тождеством Грина и полагая, что $v=0$ на $\partial \Omega$ :

$\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx=\int _{\Omega }fv\,dx.$

Это то, что обычно называют слабой формулировкой уравнения Пуассона . Функции в пространстве решений $V$ должно быть нулем на границе и иметь производные, интегрируемые с квадратом . Подходящим пространством, удовлетворяющим этим требованиям, является пространство Соболева. $H_{0}^{1}(\Omega )$ функций со слабыми производными в $L^{2}(\Omega )$ и с нулевыми граничными условиями, поэтому $V=H_{0}^{1}(\Omega )$ .

Общая форма получается присвоением

$a(u,v)=\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx$

и

$f(v)=\int _{\Omega }fv\,dx.$

Лакса Милгрэма Теорема -

Это формулировка теоремы Лакса-Милгрэма , основанная на свойствах симметричной части билинейной формы . Это не самая общая форма.

Позволять $V$ быть гильбертовым пространством и $a(\cdot ,\cdot )$ билинейная форма на $V$ , что

ограничено : $|a(u,v)|\leq C\|u\|\|v\|\,;$ и
принудительный : $a(u,u)\geq c\|u\|^{2}\,.$

Тогда для любого ограниченного $f\in V'$ , есть единственное решение $u\in V$ к уравнению

$a(u,v)=f(v)\quad \forall v\in V$

и это держится

$\|u\|\leq {\frac {1}{c}}\|f\|_{V'}\,.$

Приложение к примеру 1 [ править ]

Здесь применение теоремы Лакса–Милгрэма является более сильным результатом, чем необходимо.

Ограниченность: все билинейные формы на $\mathbb {R} ^{n}$ ограничены. В частности, у нас есть $|a(u,v)|\leq \|A\|\,\|u\|\,\|v\|$
Коэрцитивность: на самом деле это означает, что части собственных значений действительные $A$ не меньше, чем $c$ . Поскольку из этого, в частности, следует, что ни одно собственное значение не равно нулю, система разрешима.

Кроме того, это дает оценку $\|u\|\leq {\frac {1}{c}}\|f\|,$ где $c$ — минимальная действительная часть собственного значения $A$ .

Приложение к примеру 2 [ править ]

Вот, выбирай $V=H_{0}^{1}(\Omega )$ с нормой $\|v\|_{V}:=\|\nabla v\|,$

где нормой справа является $L^{2}$ - норма на $\Omega$ (это обеспечивает истинную норму $V$ по неравенству Пуанкаре ).Но мы видим это $|a(u,u)|=\|\nabla u\|^{2}$ и по неравенству Коши–Шварца , $|a(u,v)|\leq \|\nabla u\|\,\|\nabla v\|$ .