Жидкость Гершеля – Балкли

Жидкость Гершеля -Балкли представляет собой обобщенную модель неньютоновской жидкости , в которой деформация , испытываемая жидкостью, связана с напряжением сложным нелинейным образом. Эту зависимость характеризуют три параметра: консистенция k , индекс текучести n и предел текучести сдвига. $\tau _{0}$. Консистенция представляет собой простую константу пропорциональности, а индекс текучести измеряет степень разжижения или сгущения жидкости при сдвиге. Обычная краска является одним из примеров жидкости, разжижающей при сдвиге, тогда как ооблек представляет собой один из вариантов жидкости, загущающей при сдвиге. Наконец, предел текучести количественно определяет величину напряжения, которое может испытать жидкость, прежде чем она поддастся и начнет течь.

Эта модель неньютоновской жидкости была предложена Уинслоу Гершелем и Рональдом Балкли в 1926 году.

Определение

В одном измерении материальное уравнение модели Гершеля-Балкли после достижения предела текучести можно записать в виде:

${\dot {\gamma }}=0,\qquad \qquad \mathrm {if} \ \tau <\tau _{0}$

$\tau =\tau _{0}+k{\dot {\gamma }}^{n},\qquad \mathrm {if} \ \tau \geq \tau _{0}$

где $\tau$ – напряжение сдвига [Па], $\tau _{0}$ предел текучести [Па], $k$ индекс консистенции [Па $\cdot$с $^{n}$], ${\dot {\gamma }}$ скорость сдвига [с $^{-1}$], и $n$ индекс текучести [безразмерный]. Если $\tau <\tau _{0}$ жидкость Гершеля-Балкли ведет себя как твердое (недеформируемое) твердое тело, в противном случае она ведет себя как жидкость. Для $n<1$ жидкость разжижается при сдвиге, тогда как для $n>1$ жидкость загустевает при сдвиге. Если $n=1$ и $\tau _{0}=0$Эта модель сводится к модели ньютоновской жидкости .

Переформулировав его в тензор, мы можем вместо этого написать:

${\underline {\underline {\dot {\gamma }}}}=0,\qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm {if} \ |{\underline {\underline {\tau }}}|<\tau _{0}$

${\underline {\underline {\tau }}}=\left({\frac {\tau _{0}}{|{\underline {\underline {\dot {\gamma }}}}|}}+k|{\underline {\underline {\dot {\gamma }}}}|^{n-1}\right){\underline {\underline {\dot {\gamma }}}},\qquad \qquad \mathrm {if} \ |{\underline {\underline {\tau }}}|\geq \tau _{0}$

Обратите внимание, что двойное подчеркивание указывает на тензорную величину.

Моделирование жидкостей Гершеля-Балкли с использованием регуляризации

Вязкость, связанная с напряжением Гершеля-Балкли, стремится к бесконечности, когда скорость деформации приближается к нулю. Это расхождение затрудняет реализацию модели при численном моделировании, поэтому обычно реализуют регуляризованные модели с верхней предельной вязкостью. Например, жидкость Гершеля-Балкли можно аппроксимировать как обобщенную модель ньютоновской жидкости с эффективной (или кажущейся) вязкостью, определяемой как

$\mu _{\operatorname {eff} }={\begin{cases}\mu _{0},&|{\dot {\gamma }}|\leq {\dot {\gamma }}_{0}\\\tau _{0}|{\dot {\gamma }}|^{-1}+k|{\dot {\gamma }}|^{n-1},&|{\dot {\gamma }}|\geq {\dot {\gamma }}_{0}\end{cases}}$

Здесь предельная вязкость $\mu _{0}$ заменяет дивергенцию при малых скоростях деформации. Его значение выбрано таким, что $\mu _{0}=k{\dot {\gamma }}_{0}^{n-1}+\tau _{0}{\dot {\gamma }}_{0}^{-1}$ чтобы гарантировать, что вязкость является непрерывной функцией скорости деформации. Большая предельная вязкость означает, что жидкость будет течь только в ответ на большую приложенную силу. Эта особенность отражает Бингама поведение жидкости по типу . Невозможно полностью отразить жесткое поведение, описываемое определяющим уравнением модели Гершеля-Балкли, используя регуляризованную модель. Это связано с тем, что конечная эффективная вязкость всегда приводит к небольшой степени текучести под действием внешних сил (например, силы тяжести). Таким образом, характерный временной масштаб изучаемого явления является важным фактором при выборе порога регуляризации.

В несжимаемом потоке тензор вязких напряжений выражается как вязкость, умноженная на тензор скорости деформации.

$\tau _{ij}=2\mu _{\operatorname {eff} }(|{\dot {\gamma }}|)E_{ij}=\mu _{\operatorname {eff} }(|{\dot {\gamma }}|)\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right),$

(Обратите внимание, что $\mu _{\operatorname {eff} }(|{\dot {\gamma }}|)$ указывает на то, что эффективная вязкость является функцией скорости сдвига.) Кроме того, величина скорости сдвига определяется выражением

$|{\dot {\gamma }}|={\sqrt {2E_{ij}E^{ij}}}$.

Величина скорости сдвига представляет собой изотропное приближение и связана со вторым инвариантом тензора скорости деформации.

$II_{E}=tr(E_{ij}E^{jk})=E_{ij}E^{ij}$.

Поток канала

Принципиальная схема горизонтального потока, вызываемого давлением. Поток однонаправлен в направлении градиента давления.

Часто встречающаяся ситуация в экспериментах — давлением. течение в канале, вызванное (см. схему). Эта ситуация демонстрирует равновесие, при котором поток существует только в горизонтальном направлении (вдоль направления градиента давления), а эффекты градиента давления и вязкости находятся в балансе. Тогда уравнения Навье-Стокса вместе с реологической моделью сводятся к одному уравнению:

Профиль скорости жидкости Гершеля–Балкли для различных показателей течения n . В каждом случае безразмерное давление равно $\pi _{0}=-10$. Сплошная кривая — для обычной ньютоновской жидкости ( поток Пуазейля ), пунктирная кривая — для жидкости, загущающейся при сдвиге, а пунктирная кривая — для жидкости, утоняющейся при сдвиге.

${\frac {\partial p}{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left(\mu {\frac {\partial u}{\partial z}}\right)\,\,\,={\begin{cases}\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial {z}^{2}}},&\left|{\frac {\partial u}{\partial z}}\right|<\gamma _{0}\\\\{\frac {\partial }{\partial z}}\left[\left(k\left|{\frac {\partial u}{\partial z}}\right|^{n-1}+\tau _{0}\left|{\frac {\partial u}{\partial z}}\right|^{-1}\right){\frac {\partial u}{\partial z}}\right],&\left|{\frac {\partial u}{\partial z}}\right|\geq \gamma _{0}\end{cases}}$

Чтобы решить это уравнение, необходимо обезразмерить участвующие величины. глубина канала H В качестве масштаба длины выбирается , в качестве масштаба скорости принимается средняя скорость V , а в качестве масштаба давления принимается $P_{0}=k\left(V/H\right)^{n}$. Этот анализ вводит безразмерный градиент давления

$\pi _{0}={\frac {H}{P_{0}}}{\frac {\partial p}{\partial x}},$

которое отрицательно для потока слева направо, и число Бингама:

$Bn={\frac {\tau _{0}}{k}}\left({\frac {H}{V}}\right)^{n}.$

Далее область решения разбивается на три части, справедливые для отрицательного градиента давления:

• Область вблизи нижней стенки, где $\partial u/\partial z>\gamma _{0}$;
• Область жидкого ядра, где $|\partial u/\partial z|<\gamma _{0}$;
• Область вблизи верхней стены, где $\partial u/\partial z<-\gamma _{0}$,

Решение этого уравнения дает профиль скорости:

$u\left(z\right)={\begin{cases}{\frac {n}{n+1}}{\frac {1}{\pi _{0}}}\left[\left(\pi _{0}\left(z-z_{1}\right)+\gamma _{0}^{n}\right)^{1+\left(1/n\right)}-\left(-\pi _{0}z_{1}+\gamma _{0}^{n}\right)^{1+\left(1/n\right)}\right],&z\in \left[0,z_{1}\right]\\{\frac {\pi _{0}}{2\mu _{0}}}\left(z^{2}-z\right)+k,&z\in \left[z_{1},z_{2}\right],\\{\frac {n}{n+1}}{\frac {1}{\pi _{0}}}\left[\left(-\pi _{0}\left(z-z_{2}\right)+\gamma _{0}^{n}\right)^{1+\left(1/n\right)}-\left(-\pi _{0}\left(1-z_{2}\right)+\gamma _{0}^{n}\right)^{1+\left(1/n\right)}\right],&z\in \left[z_{2},1\right]\\\end{cases}}$

Здесь k — константа согласования такая, что $u\left(z_{1}\right)$ является непрерывным. Профиль соблюдает условия прилипания на границах канала,

$u(0)=u(1)=0,$

Используя те же аргументы непрерывности, показано, что $z_{1,2}={\tfrac {1}{2}}\pm \delta$, где

$\delta ={\frac {\gamma _{0}\mu _{0}}{|\pi _{0}|}}\leq {\tfrac {1}{2}}.$

С $\mu _{0}=\gamma _{0}^{n-1}+Bn/\gamma _{0}$, для данного $\left(\gamma _{0},Bn\right)$ пара, существует критический градиент давления

$|\pi _{0,\mathrm {c} }|=2\left(\gamma _{0}+Bn\right).$

Примените любой градиент давления, меньший по величине, чем это критическое значение, и жидкость не будет течь; таким образом, его бингамская природа очевидна. Любой градиент давления, превышающий это критическое значение, приведет к возникновению потока. Поток, связанный с жидкостью, сгущающейся при сдвиге, замедляется по сравнению с потоком, связанным с жидкостью, разжижающей сдвиг.

Расход трубы

Для ламинарного потока Чилтон и Стейнсби предоставьте следующее уравнение для расчета падения давления. Уравнение требует итеративного решения для извлечения перепада давления, поскольку оно присутствует в обеих частях уравнения.

${\frac {\Delta P}{L}}={\frac {4K}{D}}\left({\frac {8V}{D}}\right)^{n}\left({\frac {3n+1}{4n}}\right)^{n}{\frac {1}{1-X}}\left({\frac {1}{1-aX-bX^{2}-cX^{3}}}\right)^{n}$

$X={\frac {4L\tau _{y}}{D\Delta P}}$

$a={\frac {1}{2n+1}}$

$b={\frac {2n}{\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}}$

$c={\frac {2n^{2}}{\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}}$

Для турбулентного потока авторы предлагают метод, который требует знания напряжения сдвига стенки, но не предоставляют метода расчета напряжения сдвига стенки. Их процедура расширена в Хатуте.

$R={\frac {4n\rho VD\left(1-aX-bX^{2}-cX^{3}\right)}{\mu _{Wall}\left(3n+1\right)}}$

$\mu _{Wall}=\tau _{Wall}^{1-1/n}\left({\frac {K}{1-X}}\right)^{1/n}$

$\tau _{Wall}={\frac {D\Delta P}{4L}}$

Все единицы измерения — СИ.

$\Delta P$ Падение давления, Па.

$L$ Длина трубы, м

$D$ Диаметр трубы, м

$V$ Средняя скорость жидкости, $m/s$

Чилтон и Стейнсби утверждают, что определение числа Рейнольдса как

$Re={\frac {R}{n^{2}\left(1-X\right)^{4}}}$

стандартные ньютоновские корреляции коэффициентов трения позволяет использовать .

Затем можно рассчитать падение давления, учитывая подходящую корреляцию коэффициента трения. Требуется итеративная процедура, поскольку падение давления необходимо как для начала расчетов, так и для того, чтобы стать их результатом.

См. также

• Вязкость

Внешние ссылки

• Описание жидкости Гершеля-Балкли; графическое сравнение реологических моделей. Архивировано 31 мая 2012 г. на Wayback Machine.