Инвариант Кассона

В 3-мерной топологии , части математической области геометрической топологии , инвариант Кэссона — это целочисленный инвариант ориентированных интегральных гомологических 3-сфер , введенный Эндрю Кассоном .

Кевин Уокер (1992) нашел расширение трехмерных сфер рациональной гомологии , названное инвариантом Кассона-Уокера , а Кристин Лескоп (1995) распространила этот инвариант на все замкнутые ориентированные трехмерные многообразия .

Определение

Инвариант Кассона — это сюръективное отображение.λ из ориентированных целочисленных гомологических 3-сфер в Z, удовлетворяющих следующим свойствам:

• λ( S ³ ) = 0.
• Пусть Σ — целочисленная 3-сфера гомологии. Тогда для любого узла K и любого целого числа n разность

$\lambda \left(\Sigma +{\frac {1}{n+1}}\cdot K\right)-\lambda \left(\Sigma +{\frac {1}{n}}\cdot K\right)$

не зависит от n . Здесь $\Sigma +{\frac {1}{m}}\cdot K$ обозначает ${\frac {1}{m}}$ Операция Дена по К. на Σ

• Для любого граничного звена K ∪ L в Σ следующее выражение равно нулю:

$\lambda \left(\Sigma +{\frac {1}{m+1}}\cdot K+{\frac {1}{n+1}}\cdot L\right)-\lambda \left(\Sigma +{\frac {1}{m}}\cdot K+{\frac {1}{n+1}}\cdot L\right)-\lambda \left(\Sigma +{\frac {1}{m+1}}\cdot K+{\frac {1}{n}}\cdot L\right)+\lambda \left(\Sigma +{\frac {1}{m}}\cdot K+{\frac {1}{n}}\cdot L\right)$

Инвариант Кассона уникален (по отношению к указанным выше свойствам) с точностью до общей мультипликативной константы.

Характеристики

• Если К — трилистник, то

$\lambda \left(\Sigma +{\frac {1}{n+1}}\cdot K\right)-\lambda \left(\Sigma +{\frac {1}{n}}\cdot K\right)=\pm 1$.

• Инвариант Кассона равен 1 (или -1) для сферы гомологий Пуанкаре .
• Инвариант Кассона меняет знак, если ориентация M меняется на противоположную.
• M Инвариант Рохлина равен . инварианту Кэссона по модулю 2
• Инвариант Кэссона аддитивен относительно связного суммирования гомологичных 3-сфер.
• Инвариант Кассона является своего рода эйлеровой характеристикой гомологии Флоера .
• Для любого целого числа n

$\lambda \left(M+{\frac {1}{n+1}}\cdot K\right)-\lambda \left(M+{\frac {1}{n}}\cdot K\right)=\phi _{1}(K),$

где $\phi _{1}(K)$ коэффициент $z^{2}$ в полиноме Александера – Конвея $\nabla _{K}(z)$, и конгруэнтен (по модулю 2) инварианту Arf K .

• Инвариант Кассона — это часть инварианта Ле-Мураками-Оцуки степени 1 .
• Инвариант Кассона многообразия Зейферта $\Sigma (p,q,r)$ определяется формулой:

$\lambda (\Sigma (p,q,r))=-{\frac {1}{8}}\left[1-{\frac {1}{3pqr}}\left(1-p^{2}q^{2}r^{2}+p^{2}q^{2}+q^{2}r^{2}+p^{2}r^{2}\right)-d(p,qr)-d(q,pr)-d(r,pq)\right]$

где

$d(a,b)=-{\frac {1}{a}}\sum _{k=1}^{a-1}\cot \left({\frac {\pi k}{a}}\right)\cot \left({\frac {\pi bk}{a}}\right)$

Инвариант Кассона как количество представлений

Неформально говоря, инвариант Кассона насчитывает половину числа классов сопряженности представлений фундаментальной группы 3-сферы гомологии M в группу SU(2) . Это можно уточнить следующим образом.

Пространство представления компактного ориентированного 3-многообразия M определяется как ${\mathcal {R}}(M)=R^{\mathrm {irr} }(M)/SU(2)$ где $R^{\mathrm {irr} }(M)$ обозначает пространство неприводимых SU(2)-представлений $\pi _{1}(M)$. Для разделения Хигора $\Sigma =M_{1}\cup _{F}M_{2}$ из $M$, инвариант Кэссона равен ${\frac {(-1)^{g}}{2}}$ раз алгебраическое пересечение ${\mathcal {R}}(M_{1})$ с ${\mathcal {R}}(M_{2})$.

Обобщения

Рациональные гомологии 3-сфер

Кевин Уокер нашел расширение инварианта Кассона на трехмерные сферы рациональной гомологии . Инвариант Кассона-Уокера — это сюръективное отображение λ _CW из ориентированных 3-сфер рациональных гомологий в Q, удовлетворяющее следующим свойствам:

1. л( С ³ ) = 0.

2. Для любого 1-компонентного операции Дена представления ( K , µ) ориентированной сферы рациональных гомологий M ′ в ориентированной сфере рациональных гомологий M :

$\lambda _{CW}(M^{\prime })=\lambda _{CW}(M)+{\frac {\langle m,\mu \rangle }{\langle m,\nu \rangle \langle \mu ,\nu \rangle }}\Delta _{W}^{\prime \prime }(M-K)(1)+\tau _{W}(m,\mu ;\nu )$

где:

• m — ориентированный меридиан узла K , а µ — характеристическая кривая операции.
• ν — образующее ядро ​​естественного отображения H ₁ (∂ N ( K ), Z ) → H ₁ ( M − K , Z ).
• $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ — форма пересечения трубчатой ​​окрестности узла N ( K ).
• ∆ — полином Александера, нормированный так, что действие t соответствует действию генератора $H_{1}(M-K)/{\text{Torsion}}$ в бесконечном циклическом накрытии M − K , симметричен и принимает значение 1 в точке 1.
• $\tau _{W}(m,\mu ;\nu )=-\mathrm {sgn} \langle y,m\rangle s(\langle x,m\rangle ,\langle y,m\rangle )+\mathrm {sgn} \langle y,\mu \rangle s(\langle x,\mu \rangle ,\langle y,\mu \rangle )+{\frac {(\delta ^{2}-1)\langle m,\mu \rangle }{12\langle m,\nu \rangle \langle \mu ,\nu \rangle }}$

где x , y — генераторы H ₁ (∂ N ( K ), Z ) такие, что $\langle x,y\rangle =1$, v = δ y для целого числа δ и s ( p , q ) — сумма Дедекинда .

Обратите внимание, что для сфер целочисленной гомологии нормализация Уокера в два раза больше, чем нормализация Кассона: $\lambda _{CW}(M)=2\lambda (M)$.

Компактные ориентированные 3-многообразия

Кристина Лескоп определила расширение λ _CWL инварианта Кассона-Уокера для ориентированных компактных 3-многообразий . Он уникально характеризуется следующими свойствами:

• первое число Бетти M Если равно нулю,

$\lambda _{CWL}(M)={\tfrac {1}{2}}\left\vert H_{1}(M)\right\vert \lambda _{CW}(M)$.

• Если первое число Бетти M равно единице,

$\lambda _{CWL}(M)={\frac {\Delta _{M}^{\prime \prime }(1)}{2}}-{\frac {\mathrm {torsion} (H_{1}(M,\mathbb {Z} ))}{12}}$

где Δ — полином Александера, нормированный так, чтобы быть симметричным и принимать положительное значение при 1.

• Если первое число Бетти числа M равно двум,

$\lambda _{CWL}(M)=\left\vert \mathrm {torsion} (H_{1}(M))\right\vert \mathrm {Link} _{M}(\gamma ,\gamma ^{\prime })$

где γ — ориентированная кривая, заданная пересечением двух образующих $S_{1},S_{2}$ из $H_{2}(M;\mathbb {Z} )$ и $\gamma ^{\prime }$ — кривая, параллельная γ, индуцированная тривиализацией трубчатой ​​окрестности γ, определяемой формулой $S_{1},S_{2}$.

• Если первое число Бетти M равно трем, то для a , b , c основа для $H_{1}(M;\mathbb {Z} )$, затем

$\lambda _{CWL}(M)=\left\vert \mathrm {torsion} (H_{1}(M;\mathbb {Z} ))\right\vert \left((a\cup b\cup c)([M])\right)^{2}$.

• Если первое число Бетти M больше трех, $\lambda _{CWL}(M)=0$.

Инвариант Кассона – Уокера – Лескопа обладает следующими свойствами:

• Когда ориентация M меняет поведение $\lambda _{CWL}(M)$ зависит от первого числа Бетти $b_{1}(M)=\operatorname {rank} H_{1}(M;\mathbb {Z} )$из М : если ${\overline {M}}$ есть M с противоположной ориентацией, то

$\lambda _{CWL}({\overline {M}})=(-1)^{b_{1}(M)+1}\lambda _{CWL}(M).$

То есть, если первое число Бетти M нечетно, инвариант Кассона-Уокера-Лескопа не изменяется, а если оно четное, то он меняет знак.

• Для коннект-сумм многообразий

$\lambda _{CWL}(M_{1}\#M_{2})=\left\vert H_{1}(M_{2})\right\vert \lambda _{CWL}(M_{1})+\left\vert H_{1}(M_{1})\right\vert \lambda _{CWL}(M_{2})$

СОЛНЦЕ)

В 1990 году К. Таубс показал, что SU(2)-инвариант Кассона сферы 3-гомологий M имеет теоретико-калибровочную интерпретацию как эйлерову характеристику ${\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}$, где ${\mathcal {A}}$ — пространство связностей SU(2) на M и ${\mathcal {G}}$ – группа калибровочных преобразований. Он рассматривал инвариант Черна–Саймонса как $S^{1}$-значная функция Морса на ${\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}$ и использовал инвариантность относительно возмущений, чтобы определить инвариант, который он приравнял к инварианту Кассона SU (2). ( Таубес (1990) )

Х. Боден и К. Геральд (1998) использовали аналогичный подход для определения SU (3) -инварианта Кассона для целочисленных гомологических 3-сфер.

Ссылки

• Селман Акбулут и Джон Маккарти, инвариант Кассона для ориентированных гомологических 3-сфер - объяснение. Математические заметки, 36. Издательство Принстонского университета, Принстон, Нью-Джерси, 1990. ISBN   0-691-08563-3
• Майкл Атья , Новые инварианты 3- и 4-мерных многообразий. Математическое наследие Германа Вейля (Дарем, Северная Каролина, 1987), 285–299, Proc. Симпозиумы. Чистая математика, 48 лет, амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, 1988.
• Ханс Боден и Кристофер Геральд, Инвариант Кассона SU (3) для целочисленных гомологических 3-сфер. Журнал дифференциальной геометрии 50 (1998), 147–206.
• Кристин Лескоп, Глобальная хирургическая формула для инварианта Кассона-Уокера. 1995, ISBN   0-691-02132-5
• Николай Савельев, Лекции по топологии 3-многообразий: введение в инвариант Кэссона. де Грюйтер, Берлин, 1999. ISBN   3-11-016271-7 ISBN   3-11-016272-5
• Таубс, Клиффорд Генри (1990), «Инвариантная и калибровочная теория Кассона», Журнал дифференциальной геометрии , 31 : 547–599.
• Кевин Уокер, расширение инварианта Кассона. Анналы математических исследований, 126. Издательство Принстонского университета, Принстон, Нью-Джерси, 1992. ISBN   0-691-08766-0 ISBN   0-691-02532-0