Ангармонизм

В классической механике ангармонизмом называется отклонение системы от осциллятора состояния гармонического . Генератор , который не совершает гармонических колебаний , известен как ангармонический осциллятор, где систему можно аппроксимировать гармоническим осциллятором, а ангармонизм можно рассчитать с помощью теории возмущений . Если ангармонизм велик, другие численные методы необходимо использовать . В действительности все колебательные системы являются ангармоническими, но тем ближе к гармоническому осциллятору, чем меньше амплитуда колебаний.

В результате возникают колебания с частотами $2\omega$ и $3\omega$ и т. д., где $\omega$ — основная частота генератора, появляется. Кроме того, частота $\omega$ отклоняется от частоты $\omega _{0}$ гармонических колебаний. См. также интермодуляцию и комбинирование тонов . В первом приближении сдвиг частоты $\Delta \omega =\omega -\omega _{0}$ пропорциональна квадрату амплитуды колебаний $A$ :

\Delta \omega \propto A^{2}

В системе осцилляторов с собственными частотами $\omega _{\alpha }$ , $\omega _{\beta }$ , ... ангармонизм приводит к дополнительным колебаниям с частотами $\omega _{\alpha }\pm \omega _{\beta }$ .

Ангармонизм также изменяет энергетический профиль резонансной кривой, приводя к таким интересным явлениям, как эффект сгиба и супергармонический резонанс.

Общий принцип

Гармонические и ангармонические осцилляторы

«Блок на пружине» — классический пример гармонических колебаний. В зависимости от местоположения блока

x

он будет испытывать возвращающую силу по направлению к середине. Возвращающая сила пропорциональна

x

, поэтому система демонстрирует простое гармоническое движение.

Маятник – это простой гармонический осциллятор. В зависимости от углового положения массы

θ

восстанавливающая сила толкает координату

θ

обратно к середине. Этот осциллятор является ангармоническим, поскольку восстанавливающая сила пропорциональна не

θ

, а

sin(θ)

. Поскольку линейная функция

y = θ

аппроксимирует нелинейную функцию

y = sin(θ)

, когда

θ

мало, систему можно смоделировать как гармонический осциллятор для небольших колебаний.

Осциллятор — это физическая система, характеризующаяся периодическим движением, такая как маятник, камертон или вибрирующая двухатомная молекула . С математической точки зрения, основной особенностью осциллятора является то, что для некоторой координаты $x$ системы сила, величина которой зависит от $x,$ будет отталкивать $x$ от крайних значений и обратно к некоторому центральному значению $x 0$ , заставляя $x$ колебаться между крайностями. Например, $x$ может обозначать смещение маятника из его исходного положения $x =0$ . По мере увеличения абсолютного значения $x$ растет и восстанавливающая сила, действующая на вес маятника, которая толкает его обратно в положение покоя.

В гармонических генераторах восстанавливающая сила пропорциональна по величине (и противоположна по направлению) смещению $x$ от естественного положения $x 0$ . Полученное дифференциальное уравнение подразумевает, что $x$ должен колебаться синусоидально с течением времени с периодом колебаний, присущим системе. $x$ может колебаться с любой амплитудой, но всегда будет иметь одинаковый период.

Однако ангармонические осцилляторы характеризуются нелинейной зависимостью восстанавливающей силы от смещения x. Следовательно, период колебаний ангармонического осциллятора может зависеть от его амплитуды колебаний.

В результате нелинейности ангармонических осцилляторов частота колебаний может меняться в зависимости от смещения системы. Эти изменения частоты вибрации приводят к тому, что энергия основной частоты вибрации передается на другие частоты посредством процесса, известного как параметрическая связь. ^{[ нужны разъяснения ]}

Рассматривая нелинейную восстанавливающую силу как функцию $F (x - x 0)$ от смещения x из его естественного положения, мы можем заменить $F$ ее линейной аппроксимацией $F 1 = F ' (0) \cdot (x - x 0)$ в нуле. смещение. Аппроксимирующая функция F ₁ линейна, поэтому она будет описывать простое гармоническое движение. Кроме того, эта функция $F 1$ точна, когда $x - x 0$ мало. По этой причине ангармоническое движение можно аппроксимировать как гармоническое, если колебания малы.

Примеры по физике

В физическом мире существует множество систем, которые можно смоделировать как ангармонические осцилляторы в дополнение к нелинейной системе масса-пружина. Например, атом, состоящий из положительно заряженного ядра, окруженного отрицательно заряженным электронным облаком, испытывает смещение между центром масс ядра и электронным облаком при наличии электрического поля. Величина этого смещения, называемая электрическим дипольным моментом, линейно связана с приложенным полем для малых полей, но по мере увеличения величины поля соотношение поля и дипольного момента становится нелинейным, как и в механической системе.

Другие примеры ангармонических осцилляторов включают маятник с большим углом; неравновесные полупроводники, обладающие большой популяцией горячих носителей, демонстрирующие нелинейное поведение различного типа, связанное с эффективной массой носителей; и ионосферная плазма, которая также демонстрирует нелинейное поведение, основанное на ангармонизме плазмы, поперечных колеблющихся струнах . Фактически, практически все осцилляторы становятся ангармоничными, когда их амплитуда накачки превышает некоторый порог, и в результате для описания их поведения необходимо использовать нелинейные уравнения движения.

Ангармонизм играет роль в колебаниях решетки и молекул, в квантовых колебаниях, ^[1] и в акустике . Атомы в молекуле или твердом теле колеблются вокруг своего положения равновесия. Когда эти колебания имеют малые амплитуды, их можно описать гармоническими осцилляторами . Однако когда амплитуды колебаний велики, например, при высоких температурах, ангармонизм становится важным. Примером эффектов ангармоничности является тепловое расширение твердых тел, которое обычно изучается в квазигармоническом приближении . Изучение колеблющихся ангармонических систем с помощью квантовой механики является сложной вычислительной задачей, поскольку ангармонизм не только усложняет потенциал, испытываемый каждым осциллятором, но также приводит к возникновению связи между осцилляторами. Можно использовать методы первых принципов, такие как теория функционала плотности, для отображения ангармонического потенциала, испытываемого атомами в обеих молекулах. ^[2] и твердые вещества. ^[3] Точные энергии ангармонических колебаний затем можно получить путем решения уравнений ангармонических колебаний атомов в рамках теории среднего поля . Наконец, можно использовать теорию возмущений Мёллера – Плессе, чтобы выйти за рамки формализма среднего поля.

Период колебаний

Рассмотрим массу $m$ движение в потенциальной скважине $U(x)$ . Период колебаний может быть получен ^[4] $T={\sqrt {2m}}\int _{x_{-}}^{x_{+}}{\frac {dx}{\sqrt {E-U(x)}}}$ где крайности движения определяются выражением $x_{-}<x<x_{+}$ и $U(x_{-})=U(x_{+})=E$ .

См. также

Ссылки

Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (1976), Механика (3-е изд.), Pergamon Press, ISBN 978-0-08-021022-3
Филиппони, А.; Кавичия, Д.Р. (2011), «Ангармоническая динамика массового генератора с пружиной O-образной формы», American Journal of Physics , 79 (7): 730–735, Bibcode : 2011AmJPh..79..730F , doi : 10.1119/1.3579129

^ Лим, Киран Ф.; Коулман, Уильям Ф. (август 2005 г.), «Влияние ангармоничности на двухатомную вибрацию: моделирование в электронной таблице» , J. Chem. Образование. , 82 (8): 1263, Бибкод : 2005JChEd..82.1263F , doi : 10.1021/ed082p1263.1
^ Юнг, Дж.О.; Бенни Гербер, Р. (1996), "Колебательные волновые функции и спектроскопия (H ₂ O) _n , n =2,3,4,5: Колебательное самосогласованное поле с корреляционными поправками", J. Chem. Физ. , 105 (23): 10332, Бибкод : 1996JChPh.10510332J , doi : 10.1063/1.472960
^ Монсеррат, Б.; Драммонд, Северная Дакота; Потребности, Р.Дж. (2013), «Ангармонические колебательные свойства в периодических системах: энергия, электрон-фононная связь и напряжение», Phys. Rev. B , 87 (14): 144302, arXiv : 1303.0745 , Bibcode : 2013PhRvB..87n4302M , doi : 10.1103/PhysRevB.87.144302 , S2CID 118687212
^ Аморе, Паоло; Фернандес, Франсиско М. (2005). «Точные и приближенные выражения для периода ангармонических осцилляторов». Европейский журнал физики . 26 (4): 589–601. arXiv : math-ph/0409034 . Бибкод : 2005EJPh...26..589A . дои : 10.1088/0143-0807/26/4/004 . S2CID 119615357 .

Внешние ссылки

Элмер, Франц-Иосиф (20 июля 1998 г.), Нелинейный резонанс , Базельский университет , заархивировано из оригинала 13 июня 2011 г. , получено 28 октября 2010 г.

[1] Лим, Киран Ф.; Коулман, Уильям Ф. (август 2005 г.), «Влияние ангармоничности на двухатомную вибрацию: моделирование в электронной таблице» , J. Chem. Образование. , 82 (8): 1263, Бибкод : 2005JChEd..82.1263F , doi : 10.1021/ed082p1263.1

[2] Юнг, Дж.О.; Бенни Гербер, Р. (1996), "Колебательные волновые функции и спектроскопия (H ₂ O) _n , n =2,3,4,5: Колебательное самосогласованное поле с корреляционными поправками", J. Chem. Физ. , 105 (23): 10332, Бибкод : 1996JChPh.10510332J , doi : 10.1063/1.472960

[3] Монсеррат, Б.; Драммонд, Северная Дакота; Потребности, Р.Дж. (2013), «Ангармонические колебательные свойства в периодических системах: энергия, электрон-фононная связь и напряжение», Phys. Rev. B , 87 (14): 144302, arXiv : 1303.0745 , Bibcode : 2013PhRvB..87n4302M , doi : 10.1103/PhysRevB.87.144302 , S2CID 118687212

[4] Аморе, Паоло; Фернандес, Франсиско М. (2005). «Точные и приближенные выражения для периода ангармонических осцилляторов». Европейский журнал физики . 26 (4): 589–601. arXiv : math-ph/0409034 . Бибкод : 2005EJPh...26..589A . дои : 10.1088/0143-0807/26/4/004 . S2CID 119615357 .

[1]

[2]

[3]

[4]