Граница Пуассона

В математике граница Пуассона — это пространство с мерой, связанное со случайным блужданием . Это объект, предназначенный для кодирования асимптотического поведения случайного блуждания, то есть того, как траектории расходятся, когда количество шагов стремится к бесконечности. Несмотря на то, что его называют границей, в целом это чисто теоретико-мерный объект, а не граница в топологическом смысле . Однако в случае, когда случайное блуждание происходит в топологическом пространстве, граница Пуассона может быть связана с границей Мартина , которая представляет собой аналитическую конструкцию, дающую настоящую топологическую границу. Обе границы связаны с гармоническими функциями в пространстве через обобщения формулы Пуассона .

Случай гиперболической плоскости

Формула Пуассона утверждает, что для положительной гармонической функции $f$ на диске устройства $\mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}$ (то есть, $\Delta f=0$ где $\Delta$ — оператор Лапласа–Бельтрами, связанный с метрикой Пуанкаре на $\mathbb {D}$) существует единственная мера $\mu$ на границе $\partial \mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}$ такое, что равенство

$f(z)=\int _{\partial \mathbb {D} }K(z,\xi )\,d\mu (\xi )$ где $K(z,\xi )={\frac {1-|z|^{2}}{|\xi -z|^{2}}}$ — ядро ​​Пуассона ,

держится для всех $z\in \mathbb {D}$. Один из способов интерпретировать это состоит в том, что функции $K(\cdot ,\xi )$ для $\xi \in \partial \mathbb {D}$ масштабируются все крайние точки конуса неотрицательных гармонических функций. Эта аналитическая интерпретация множества $\partial \mathbb {D}$ приводит к более общему понятию минимальной границы Мартина (которая в данном случае является полной границей Мартина ).

Этот факт также можно интерпретировать вероятностно. Если $W_{t}$ Марковский процесс связан с $\Delta$ (т.е. броуновское движение на диске с римановой метрикой Пуанкаре), то процесс $f(W_{t})$ с непрерывным временем является мартингалом и поэтому почти всюду сходится к функции в винеровском пространстве возможных (бесконечных) траекторий для $W_{t}$. Таким образом, формула Пуассона отождествляет это измеренное пространство с построенной выше границей Мартина и, в конечном счете, $\partial \mathbb {D}$ наделенный классом меры Лебега (заметим, что это отождествление можно провести непосредственно, поскольку путь в пространстве Винера почти наверняка сходится к точке на $\partial \mathbb {D}$). Эта интерпретация $\partial \mathbb {D}$ поскольку пространство траекторий марковского процесса является частным случаем построения пуассоновской границы.

Наконец, приведенные выше конструкции можно дискретизировать, т.е. ограничить случайными блужданиями по орбитам фуксовой группы, действующей на $\mathbb {D}$. Это дает отождествление экстремальных положительных гармонических функций на группе и пространства траекторий случайного блуждания по группе (обе относительно заданной вероятностной меры) с топологическим/измеренным пространством $\mathbb {D}$.

Определение

Пуассоновская граница случайного блуждания в дискретной группе

Позволять $G$ быть дискретной группой и $\mu$ вероятностная мера на $G$, который будет использоваться для определения случайного блуждания $X_{t}$ на $G$ (марковский процесс с дискретным временем, вероятности перехода которого равны $p(x,y)=\mu (xy^{-1})$); мера $\mu$ называется распределением шагов для случайного блуждания. Позволять $m$ быть еще одной мерой $G$, которое будет начальным состоянием случайного блуждания. Пространство $G^{\mathbb {N} }$ траекторий для $X_{t}$ наделен мерой $\mathbb {P} _{m}$ чьи маргиналы $m*\mu ^{*n}$ (где $*$ обозначает свертку мер; это распределение случайного блуждания после $n$ шаги). Также существует отношение эквивалентности $\sim$ на $G^{\mathbb {N} }$, который идентифицирует $(x_{t})$ к $(y_{t})$ если существует $n,m\in \mathbb {N}$ такой, что $x_{t+n}=y_{t+m}$ для всех $t\geq 0$ (у обеих траекторий один и тот же «хвост»). Пуассоновская граница ​ $(G,\mu )$ тогда это измеренное пространство $\Gamma$ получается как частное $(G^{\mathbb {N} },\mathbb {P} _{m})$ по отношению эквивалентности $\sim$.

Если $\theta$ — начальное распределение случайного блуждания со ступенчатым распределением $\mu$ тогда мера $\nu _{\theta }$ на $\Gamma$ получено как продвижение вперед $\mathbb {P} _{\theta }$. Это стационарная мера $(G,\mu )$, это означает, что

$\int _{G}\nu (g^{-1}A)\mu (g)=\nu _{\theta }(A).$

Можно дать неявное определение границы Пуассона как максимального $G$-комплект с $(G,\mu )$-стационарная мера $\nu$, удовлетворяя дополнительному условию, что $(X_{t})_{*}\nu$ почти наверняка слабо сходится к массе Дирака .

Формула Пуассона

Позволять $f$ быть $\mu$-гармоническая функция включена $G$, это означает, что $\sum _{h\in G}f(hg)\mu (h)=f(g)$. Тогда случайная величина $f(X_{t})$ является мартингалом с дискретным временем и поэтому сходится почти наверняка. Обозначим через ${\hat {f}}$ функция на $\Gamma$ полученный путем взятия предела значений $f$ вдоль траектории (это определено почти всюду на $G^{\mathbb {N} }$ и инвариантен к сдвигу). Позволять $x\in G$ и пусть $\nu _{x}$ — мера, полученная построением выше с $\theta =\delta _{x}$ (масса Дирака при $x$). Если $f$ либо положительно, либо ограничено, тогда ${\hat {f}}$ тоже есть, и у нас есть формула Пуассона :

$f(x)=\int _{\Gamma }{\hat {f}}(\gamma )\,d\nu _{x}(\gamma ).$

Это устанавливает биекцию между $\mu$-гармонические ограниченные функции и существенно ограниченные измеримые функции на $\Gamma$. В частности, граница Пуассона $(G,\mu )$ тривиален, то есть сводится к точке тогда и только тогда, когда единственная ограниченная $\mu$-гармонические функции на $G$ постоянны.

Общее определение

Общая установка - это марковский оператор в измеренном пространстве - понятие, которое обобщает марковский оператор. $f\mapsto \mu *f$ связан со случайным блужданием. Большая часть теории может быть развита в этой абстрактной и очень общей постановке.

Граница Мартина

Граница Мартина дискретной группы

Позволять $G,\mu$ быть случайным блужданием в дискретной группе. Позволять $p_{n}(x,y)$ быть вероятностью получить от $x$ к $y$ в $n$ шаги, т.е. $\mu ^{*n}(x^{-1}y)$. Зеленое ядро ​​по определению:

${\mathcal {G}}(x,y)=\sum _{n\geq 1}p_{n}(x,y).$

Если блуждание нестационарно, то этот ряд сходится для всех $x,y$. Исправить точку $o\in G$ и определите ядро ​​Мартина: ${\mathcal {K}}_{o}(x,y)={\frac {{\mathcal {G}}(x,y)}{{\mathcal {G}}(o,y)}}$. Вложение $y\mapsto {\mathcal {K}}_{o}(\cdot ,y)$ имеет относительно компактный образ для топологии поточечной сходимости, а компактификация Мартина является замыканием этого образа. точка $\gamma \in \Gamma$ обычно обозначается обозначением ${\mathcal {K}}(\cdot ,\gamma )$.

Ядра Мартина являются положительными гармоническими функциями, и каждая положительная гармоническая функция может быть выражена как интеграл функций на границе, то есть для каждой положительной гармонической функции существует мера $\nu _{o,f}$ на $\Gamma$ такая, что справедлива формула типа Пуассона:

$f(x)=\int {\mathcal {K}}_{o}(x,\gamma )\,d\nu _{o,f}(\gamma ).$

Меры $\nu _{o,f}$ опираются на минимальную границу Мартина, элементы которой также можно охарактеризовать как минимальные. Положительная гармоническая функция $u$ называется минимальным, если для любой гармонической функции $v$ с $0\leq v\leq u$ существует $c\in [0,1]$ такой, что $v=cu$.

На самом деле существует целое семейство компактификаций Мартина. Определим порождающий ряд Грина как

${\mathcal {G}}_{r}(x,y)=\sum _{n\geq 1}p_{n}(x,y)r^{n}.$

Обозначим через $R$ радиус сходимости этого степенного ряда и определить для $1\leq r\leq R$ тот $r$-Мартин ядро ​​от ${\mathcal {K}}_{o,r}(x,y)={\frac {{\mathcal {G}}_{r}(x,y)}{{\mathcal {G}}_{r}(o,y)}}$.Закрытие вложения $y\mapsto {\mathcal {K}}_{o,r}(\cdot ,y)$ называется $r$-Мартиновская компактификация.

Граница Мартина риманова многообразия

Для риманова многообразия граница Мартина, если она существует, строится аналогично предыдущему с использованием функции Грина оператора Лапласа–Бельтрами $\Delta$. В этом случае снова имеется целое семейство компактификаций Мартина, связанных с операторами $\Delta +\lambda$ для $0\leq \lambda \leq \lambda _{0}$ где $\lambda _{0}$ это нижняя часть спектра. Примерами использования этой конструкции для определения компактификации являются ограниченные области на плоскости и симметрические пространства некомпактного типа.

Связь между границами Мартина и Пуассона

Мера $\nu _{o,1}$ соответствующая постоянной функции, называется гармонической мерой на границе Мартина. С этой мерой граница Мартина изоморфна границе Пуассона.

Примеры

Нильпотентные группы

Границы Пуассона и Мартина тривиальны для симметричных случайных блужданий в нильпотентных группах. С другой стороны, когда случайное блуждание нецентрировано, изучение полной границы Мартина, включая минимальные функции, является гораздо менее убедительным.

Группы Ли и дискретные подгруппы

Для случайных блужданий на полупростой группе Ли (с абсолютно непрерывным по мере Хаара распределением шагов) граница Пуассона равна границе Фюрстенберга . Пуассоновская граница броуновского движения в ассоциированном симметрическом пространстве также является границей Фюрстенберга. Полная граница Мартина в этих случаях также хорошо изучена и всегда может быть описана геометрическим образом. Например, для групп ранга один (например, групп изометрий гиперболических пространств ) полная граница Мартина совпадает с минимальной границей Мартина (ситуация в группах более высокого ранга сложнее).

Граница Пуассона плотной по Зарисскому подгруппы полупростой группы Ли, например решетки , также равна границе Фюрстенберга группы.

Гиперболические группы

Для случайных блужданий по гиперболической группе при довольно слабых предположениях о распределении шагов, которые всегда выполняются для простого блуждания (более общее условие состоит в том, чтобы первый момент был конечным), граница Пуассона всегда равна границе Громова. Например, пуассоновская граница свободной группы — это пространство концов ее дерева Кэли. Идентификация полной границы Мартина является более сложной задачей; в случае, если случайное блуждание имеет конечный диапазон (распределение шагов поддерживается на конечном множестве), граница Мартина совпадает с минимальной границей Мартина, и обе совпадают с границей Громова.

Ссылки

• Баллманн, Вернер; Ледрапье, Франсуа (1994). «Граница Пуассона для многообразий ранга один и их кокомпактных решеток». Форум Математика . Том. 6, нет. 3. С. 301–313. МР   1269841 .
• Фюрстенберг, Гарри (1963). «Формула Пуассона для полупростых групп Ли». Энн. математики . 2. Том. 77. С. 335–386. МР   0146298 .
• Гиварк, Ив; Цзи, Лижень; Тейлор, Джон К. (1998). Компактификации симметрических пространств . Биркхойзер.
• Кайманович, Вадим А. (1996). «Границы инвариантных марковских операторов: проблема идентификации». В Полликотте, Марк; Шмидт, Клаус (ред.). Эргодическая теория Z ^д действия (Уорвик, 1993–1994) . Лондонская математика. Соц. Конспект лекций Сер. Том. 228. Кембриджский университет. Пресс, Кембридж. стр. 127–176. МР   1411218 .
• Кайманович, Вадим А. (2000). «Формула Пуассона для групп с гиперболическими свойствами». Энн. математики . 2. Том. 152. стр. 659–692. МР   1815698 .