Модульные формы по модулю p

В математике модулярные формы представляют собой особые комплексные аналитические функции в верхней полуплоскости, представляющие интерес для комплексного анализа и теории чисел . При сокращении по простому модулю p существует теория, аналогичная классической теории комплексных модулярных форм и p -адической теории модулярных форм .

Приведение модульных форм по модулю 2

Условия уменьшения по модулю 2

Модульные формы являются аналитическими функциями, поэтому допускают ряд Фурье . Поскольку модульные формы также удовлетворяют определенному функциональному уравнению относительно группового действия модулярной группы , этот ряд Фурье может быть выражен через $q=e^{2\pi iz}$.Итак, если $f$ является модулярной формой, то существуют коэффициенты $c(n)$ такой, что $f(z)=\sum _{n\in \mathbb {N} }c(n)q^{n}$.Чтобы уменьшить по модулю 2, рассмотрим подпространство модулярных форм с коэффициентами $q$-серии представляют собой целые числа (поскольку комплексные числа , как правило, не могут быть уменьшены по модулю 2).Тогда можно уменьшить все коэффициенты по модулю 2, что даст модульную форму по модулю 2.

Основа модульных форм по модулю 2

Модульные формы создаются $G_{4}$ и $G_{6}$. Тогда можно нормализовать $G_{4}$ и $G_{6}$ к $E_{4}$ и $E_{6}$, имеющие целые коэффициенты в своих $q$-ряд.Это дает генераторы модульных форм, которые можно сократить по модулю 2.Обратите внимание, что базис Миллера обладает некоторыми интересными свойствами: после уменьшения по модулю 2, $E_{4}$ и $E_{6}$ просто $1$; то есть тривиальное сокращение.Чтобы получить нетривиальную редукцию, необходимо использовать модульный дискриминант $\Delta$.Таким образом, модульные формы рассматриваются как полиномы от $E_{4}$, $E_{6}$ и $\Delta$ (над комплексом $\mathbb {C}$ в общем, но рассматривается в целых числах $\mathbb {Z}$ для приведения), после приведения по модулю 2 они становятся просто полиномами от $\Delta$ над $\mathbb {F} _{2}$.

Модульный дискриминант по модулю 2

Модульный дискриминант определяется бесконечным произведением, $\Delta (q)=q\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})^{24}=\sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)q^{n},$где $\tau (n)$ — тау-функция Рамануджана .Результаты Кольберга и Жан-Пьер Серр покажите, что по модулю 2 мы имеем $\Delta (q)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }q^{(2m+1)^{2}}{\bmod {2}}$ то есть, $q$-серия $\Delta$ по модулю 2 состоит из $q$ степеням нечетных квадратов.

Операторы Хеке по модулю 2

Действие операторов Гекке имеет фундаментальное значение для понимания структуры пространств модульных форм. Поэтому оправдано попытаться уменьшить их по модулю 2.

Операторы Гекке для модульной формы $f$ определяются следующим образом: $T_{n}f(z)=n^{2k-1}\sum _{a\geq 1,\,ad=n,\,0\leq b<d}d^{-2k}f\left({\frac {az+b}{d}}\right)$с $n\in \mathbb {N}$.

Операторы Хеке могут быть определены на $q$-серия следующим образом: если $f(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }c(n)q^{n}$, затем $T_{n}f(z)=\sum _{m\in \mathbb {Z} }\gamma (m)q^{m}$ с

$\gamma (z)=\sum _{a|(n,m),\,a\geq 1}a^{2k-1}c\left({\frac {mn}{a^{2}}}\right).$

Поскольку модульные формы были сокращены с помощью $q$-серии, имеет смысл использовать $q$- определение серии. Сумма значительно упрощает операторы Гекке простых чисел (т.е. когда $m$ является простым): имеется только два слагаемых. Это очень удобно для приведения по модулю 2, поскольку формула значительно упрощается.При наличии более двух слагаемых будет много отмен по модулю 2, и легитимность процесса будет сомнительной. Таким образом, операторы Гекке по модулю 2 обычно определяются только для простых чисел.

С $f$ модульная форма по модулю 2 с $q$-представительство $f(q)=\sum _{n\in \mathbb {N} }c(n)q^{n}$, хедж-оператор $T_{p}$ на $f$ определяется ${\overline {T_{p}}}|f(q)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\gamma (n)q^{n}$ где

$\gamma (n)={\begin{cases}c(np)&{\text{ if }}p\nmid n\\c(np)+c(n/p)&{\text{ if }}p\mid n\end{cases}}\quad {\text{ and }}p{\text{ an odd prime}}.$

Важно отметить, что операторы Гекке по модулю 2 обладают интересным свойством нильпотентности.Определение порядка их нильпотентности — задача, решенная Жаном-Пьером Серром и Жаном-Луи Николя в статье, опубликованной в 2012 году:

Алгебра Гекке по модулю 2

Алгебра Гекке также может быть приведена по модулю 2.Это алгебра, порожденная операторами Гекке по модулю 2 над $\mathbb {F} _{2}$.

Следуя обозначениям Серра и Николя, ${\mathcal {F}}=\left\langle \Delta ^{k}\mid k{\text{ odd}}\right\rangle$, то есть ${\mathcal {F}}=\left\langle \Delta ,\Delta ^{3},\Delta ^{5},\Delta ^{7},\Delta ^{9},\dots \right\rangle$. Письмо ${\mathcal {F}}(n)=\left\langle \Delta ,\Delta ^{3},\Delta ^{5},\dots ,\Delta ^{2n-1}\right\rangle$ так что $\dim({\mathcal {F}}(n))=n$, определять $A(n)$ как $\mathbb {F} _{2}$-подалгебра ${\text{End}}\left({\mathcal {F}}(n)\right)$ данный $\mathbb {F} _{2}$ и $T_{p}$.

То есть, если ${\mathfrak {m}}(n)=\{T_{p_{1}}\cdot T_{p_{2}}\cdots T_{p_{k}}\mid p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}\in \mathbb {P} ,k\geq 1\}$ является подвекторным пространством ${\mathcal {F}}$, мы получаем $A(n)=\mathbb {F} _{2}\oplus {\mathfrak {m}}(n)$.

Наконец, определим алгебру Гекке $A$ следующее:С ${\mathcal {F}}(n)\subset {\mathcal {F}}(n+1)$, можно ограничить элементы $A(n+1)$ к ${\mathcal {F}}$ чтобы получить элемент $A(n)$.При рассмотрении карты $\phi _{n}:A(n+1)\to A(n)$ как ограничение на ${\mathcal {F}}(n)$, затем $\phi _{n}$ является гомоморфизмом.Как $A(1)$ либо единица, либо ноль, $A(1)\cong \mathbb {F} _{2}$.Таким образом, получается следующая цепочка: $\dots \to A(n+1)\to A(n)\to A(n-1)\to \dots \to A(2)\to A(1)\cong \mathbb {F} _{2}$.Затем определим хедж-алгебру $A$ быть проективным пределом вышеизложенного $A(n)$ как $n\to \infty$.Явно это означает $A=\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }A(n)=\left\lbrace T_{p_{1}}\cdot T_{p_{2}}\cdots T_{p_{k}}|p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}\in \mathbb {P} ,k\geq 0\right\rbrace$.

Основное свойство алгебры Гекке $A$ заключается в том, что он порождается серией $T_{3}$ и $T_{5}$. То есть: $A=\mathbb {F} _{2}\left[T_{p}\mid p\in \mathbb {P} \right]=\mathbb {F} _{2}\left[\left[T_{3},T_{5}\right]\right]$.

Итак, для любого простого числа $p\in \mathbb {P}$, можно найти коэффициенты $a_{ij}(p)\in \mathbb {F} _{2}$ такой, что $T_{p}=\sum _{i+j\geq 1}a_{ij}(p)T_{3}^{i}T_{5}^{j}$.